初三数学知识点大全.docx

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初三数学知识点大全

笑看中考，数学基础知识考点梳理

一、实数及其运算

1.科学记数法：

科学记数法的形式是形如a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数．

（1）当要表示数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10n,其中1≤|a|＜10，n为正整数或零，其值等于原数中整数部分的位数减去1．

例：

540000000000=5．4×1011

（2）当要表示数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n,其中1≤|a|＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零个数的相反数（包括小数点前面的那个零）．例：

35000×10-9=3．5×104×10-9=3．5×10-5

2.近似数与有效数字

（1）有效数字：

对于一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．例：

0．05010的有效数字的个数有4个。

（2）利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．例：

1295330000将其精确到千万位，则这个数为1.30×109，有3个有效数字（科学记数之后的有效数字只和a有关系）。

1．50亿近似数精确到百万位（带单位的数看精确到哪一位，要把这个数还原，看最后一个有效数字所在的位置就是这个数所精确到的位数），有3个有效数字（带单位的数有效数字和单位没有关系）。

3.2×102精确到十位（科学记数法表示的数精确到哪一位，要把这个数还原，看最后一个有效数字所在的位置就是这个数所精确到的位数）。

3.相反数：

像-2和2这样，只有符号不同的两个数,绝对值相等叫做互为相反数，0的相反数是0。

两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。

4.绝对值：

数轴上一个数所对应的点与原点（点o）的距离叫做该数绝对值，0的绝对值是0。

绝对值只能为非负数。

|a|=a（a≥0），|a|=-a（a≤0），|a-b|=|b-a|。

5.平方根，算数平方根，立方根

平方根，又叫二次方根,根指数为2。

其中平方根是非负实数的称算术平方根，表示为√￣。

一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身，0的算数平方根是0；负数没有平方根。

例：

9的平方根是±3，算数平方根是3。

如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，根指数是3。

（1）正数的立方根是正数．

（2）负数的立方根是负数．（3）0的立方根是0．

6.实数，有理数，无理数：

实数分为有理数和无理数。

无理数是无限不循环小数。

如圆周率、√2等。

无理数可能通过这样4种形式形成的数：

①开方开不尽的数；②有特殊意义的数；③无限不循环小数；④三角函数.有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如7/22等。

7.在初中阶段，有三个常见的非负数︱

︱、

、

，如果︱

︱+

+

=0，则必是0+0+0=0的形式。

8.实数的有关运算:

√（a）=|a|，负指数：

a=1/，零指数：

a=1（a不为0），特殊角的三角函数值表：

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

9.估计无理数的大小：

一般情况下，是把无理数平方后在比较。

2、整式、分式与根式

1.同底数幂的运算法则：

2.因式分解：

一般步骤：

提公因式；公式

因式分解常见的错误：

①在符号上出现错误；②提公因式出现错误；③对因式分解概念不清，走回头路；④错误用等式性质去分母；⑤系数上出错；⑥分解不彻底；⑦局部分解.做题时你都能避免这些错误吗？

因式分解的方法（提公因式法、公式法）你都理解了吗？

对因式分解中的平方差公式、完全平方公式你都掌握了吗？

因式分解时，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，这你还清楚吗？

3.分式：

分式的基本概念　形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式的化简：

（1）.约分：

把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。

（2）.通分：

异分母的分式可以化成同分母（最简公分母）的分式，这一过程叫做通分。

如：

3/2和2/3可化为9/6和4/6.

分式运算常见的错误：

①概念不清，不会找最简公分母；②认识模糊，约分不彻底；③混淆“且”与“或”的运用；④不能正确运用分式的基本性质；⑤忽视本质，符号错误；⑥通分时去分母；⑦违背运算顺序；⑧结果不是最简分式.

4.求代数式的值中，

5.二次根式：

定义：

一般形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）。

6.式子有意义，字母的取值范围:

（1）分母不为零；

（2）偶次方被开方数大于等于零；（3）0次幂的底数不为零。

三、方程与不等式

1.到目前为止已经学了一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组，分式方程，一元一次不等式，一元一次不等式组。

2.解一次方程的一般步骤：

去分母，去括号，移项，系数化为一。

解分式方程时一定要带入最简公分母中检验。

解不等式最后一步系数化为一，如果同乘（或除）的数是负数，则不等号的方向要改变。

解不等式组最后要写出不等式的公共解。

解二元一次方程组有两种方法：

带入消元法，加减消元法，最后方程组的解要写在牛鼻括号里。

3.解一元二次方程的方法：

降幂法----把二次方程降为熟悉的一次方程来解。

具体方法有：

直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。

配方法和公式法是万能解法.求根公式

。

配方法的前提是二次项的系数化为一，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

4.一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式b-4ac

当b-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当b-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，

当b-4ac＜0时，方程没有实数根．

5.一元二次方程的根与系数的关系。

（1）如果一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x，x，那么根与系数关系为：

x+x=-b/a;xx=c/a.

（2）如果方程x+px+q=0的两个根是x，x，那么x+x=-P，

xx=q

（3）以x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x-（x+x）x+xx=0．

6.方程（组）和不等式（组）与函数图象有着密切的联系。

四、函数及其图像

1.一次函数：

y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

可表示为y=kx。

在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；　　

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；　　

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；　

当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：

当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；　　

当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；　　

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；　　

当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；　　

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；　　

当b＞0时，直线必通过第一、二象限；　　

当b＜0时，直线必通过第三、四象限。

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等,

y=kx+b∥y=kx+b，那么k=k，b≠b　　

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）y=kx+b⊥y=kx+b，那么k×k=-1

2.反比例函数：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；

k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

　　定义域为x≠0；值域为y≠0。

在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x，y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称

3.二次函数：

指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为Y=ax+bx+c（a不为0）。

其图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。

一般式：

y=bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a,）；二次函数图像与y轴交于（0,C）

顶点式：

（a≠0,a、h、k为常数）,顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

　　y=a（x-）（x-）,[仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线,即b-4ac≥0]；　　　　a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。

a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。

a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

二次函数与X轴交点的情况及与方程根之间关系。

当=>0时,函数图像与x轴有两个交点。

当==0时,函数图像与x轴有一个交点。

当=<0时,函数图像与x轴没有交点。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号　　

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　　

可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

二次函数的性质：

y=ax2（a≠0）

a>0

a<0

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

y=ax2+c（a≠0）

a>0

a<0

图象

开口方向

顶点坐标

对称轴

增减性

最值

抛物线y=ax2+c（a≠0）的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.

y=a（x-h）2（a≠0）

a>0

a<0

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的图象可由y=ax2的图象通过左右平移得到.

（a≠0）

a>0

a<0

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

（a≠0）

a>0

a<0

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

Y=ax+bx+c（a≠0）

a>0

a<0

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

特殊值的形式

　　①当x=1时y=

②当x=-1时y=　　

③当x=2时y=

　　④当x=-2时y=

4.图形的交点求法:

任何图形相交的时候，函数解析式对应的x相同y也相同。

5.图形的平移：

上加下减（对Y），左加右减（对X）。

6.图象中函数值的大小比较：

在同一坐标系中，函数图象在上面对应的函数值就大，相交时函数值相等。

五、统计与概率

1.抽样调查与普查：

总体，样本，样本容量。

2.数据集中程度的统计量：

平均数、中位数、众数。

平均数注意加权平均数求法。

中位数：

先找出所有数据再排序，奇数个数第

（n+1）/2位上的数就是中位数；偶数个数第n/2和（n/2）+1位上数的平均数就是中位数。

众数：

一组数据中，出现次数最多的那个数。

要找准中位数、众数就必须搞清楚研究的是什么问题。

3.数据的稳定性的统计量：

极差、方差、标准差。

极差=最大数-最小数。

方差：

标准差是方差的算数平方根。

4.求一组数据的稳定性，计算方差。

看自己在一组数据中的排名，看中位数。

必然事件（100%）

5.统计图表的使用：

频率=频数/总数。

扇形统计图的圆心角的度数=360x百分比.

确定事件

6.

7.当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在相应的概率附近，也就是说，频率与概率是近似相等的.频率的稳定值可以看作是个体在总体中所占百分数的估计值.

概率的求法：

实验法（频率的稳定值）、等可能条件下概率的计算（列表或画树形图）、几何概率型（面积的比）等。

在求两步概率的有关问题时，要区分“放回”与“不放回”这两种情况的树状图（或列表），树形图是万能的求概率的方法。

六、线、角与三角形

1.线段的垂直平分线的做法。

线段垂直平分线性质：

线段垂直平分线到线段两端点距离相等。

线段垂直平分线判定：

到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上（通常找到这样的两点，便可确定线段垂直平分线）。

2.角平分线的做法：

角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边距离相等。

角平分线的判定：

在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上。

3.三角形：

内角和180度，外角和360度。

中位线：

三角形两边中点连线。

中位线平行且等于第三边的一半。

4.等腰三角形性质：

等边对等角。

三线合一（等腰三角形加上三线中任意一条线，便可推出其他两条线）。

轴对称图形但不是中心对称图形。

等腰三角形的判定：

等角对等边。

5.等边三角形

判定：

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6.直角三角形：

勾股定理：

勾股定理逆定理：

7.三角形全等的判定：

SSS,SAS,ASA，AAS,HL（直角三角形直角边和斜边对应相等）

三角形全等的性质：

全等三角形对应边等，对应角也相等。

8.全等变换：

折叠（轴对称），平移，旋转。

轴对称性质：

对应点连线被对称轴垂直平分。

典型题：

求PA+PB最小。

求角APB=角APD

9.图形平移就是图形上每一点的平移（方向和距离都相同）

旋转：

方向（顺时针、逆时针），旋转角（对应点和旋转中心连线的夹角）。

旋转中心的找法：

对应点连线的中垂线的交点。

当旋转角为180度时，两图形成中心对称。

10相似三角形的判定：

平行则相似；三边的比对应相等；两边的比对应相等夹角也相等；两角对应相等。

相似三角形的性质：

对应角相等，对应边的比相等都等于相似比。

三角形周长之比等于相似比，对应的三线之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

11.位似变换

12.黄金分割比是

，其近似值是

。

比例尺=图上距离/实际距离

七、四边形

1．多边形内角和定理n边形的内角的和等于：

（n－2）×180°，则正多边形各内角度数为：

（n－2）×180°÷n。

由n边形有n个内角，也有n个外角，知正n边形每个外角度数是360/n（等于其一个中心角的度数），所以每个内角的度数也可以表示为：

180-（360/n）

2.推论：

任意多边形的外角和=360°　已知正多边形内角度数则其边数为：

360÷（180－内角度数）

3.正多边形任意两个相邻角的连线所构成的三角形是等腰三角形。

n边形对角线条数：

n（n-3）/2。

正n边形都是轴对称图形，当n为偶数时是中心对称图形。

4.n个人两两握手共握：

n（n-i）/2。

n支球队单循环比赛共赛：

n（n-i）/2。

5.n个人互赠卡片（或照片）共赠：

n（n-i）　张。

6.对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。

7.梯形的判定：

一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

8.等腰梯形的性质：

两腰等；同一底上的两角等；对角线相等。

是轴对称但不是中心对称。

9.等腰梯形判定：

先判定是梯形，然后证出两腰等或同一底上一组角等或对角线相等即可。

10.在解决有关等腰梯形或直角梯形的问题时，常常通过作辅助线把它们转化为其它特殊四边形或三角形来进行思考，然后综合这些图形的性质来解决问题.

11.梯形的中位线等于上下底之和的一半。

面积=（上底+下底）x高/2

12.在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

判定（前提在同一平面内）

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；　　

这两个只能用于填空题和选择题

一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；　　

一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；

性质

　　（矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形。

）

（1）平行四边形对边平行且相等。

（2）平行四边形两条对角线互相平分。

（菱形和正方形）

　　（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补。

　　（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

（推论）

（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

　　（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

性质8

（7）一般的平行四边形不是轴对称图形，

菱形、矩形、正方形既是中心对称又是轴对称图形。

（8）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，

　　一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相（n+1）等分。

（9）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。

（10）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。

平行四边形中常用辅助线的添法

　一、联结对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

　三、联结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

　　四、联结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

　　五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

　　平行四边形的面积公式：

S平行四边=ah。

　平行四边形周长c=2（a+b）

矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，他们的特性：

（1）矩形：

对角线相等的平行四边形是矩形　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

　　三个角是直角的四边形是矩形　　长方形和正方形都是矩形。

连接矩形各边中点得到菱形。

宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

|

（2）菱形：

在一个平面内一组邻边相等的平行四边形是菱形。

　对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

　　四条边都相等的四边形是菱形。

菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算。

性质：

对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角

在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对角线相等的四边形的中点四边形定为矩形。

）

（3）正方形：

面积计算公式：

S=a·a或：

S=对角线×对角线÷2

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角为直角的菱形是正方形。

既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

正方形的中点四边形是正方形。

八、解直角三角形

1.锐角三角函数的定义：

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边；

　　余弦（cos）等于邻边比斜边；

正切（tan）等于对边比邻边；

2.sinA+cosA=1sin（90°-α）=cosα,cos（90°-α）=sinα

3.解直角三角形：

直角三角形五要素三边，两角。

至少知道2个元素（至少有一边）才能求出其他的3个元素。

九、圆

1.内心和外心：

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

内心是三角形三条内角平分线的交点。

三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．直角三角形的内心到边的距离（半径）等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

一般三角形的内切圆半径等于2s/c,（s是面积，c是周长）。

点o为三角形ABC的内心，则∠BOC=90°+A/2．

过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。

2.扇形：

在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径称为圆锥的母线。

扇形弧长公式：

面积公式：

s=n∏r/360,s=,圆锥侧面积：

圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形弧长。

底面半径：

母线长

圆锥侧面展开扇形的圆心角

1:

2

180

1:

3

120

1:

4

90

2.垂径定理：

定义：

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

　　推论一:

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

　　推论二:

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

　　推论三:

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:

在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

3.圆周角：

①圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半

　　②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半

　　③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等

　　④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一