新全概率论习题答案河科大docx.docx
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第一章随机事件及其概率
1.
1)
2)
Q={10,11,12,13,…}={n\neZ,n>10).
3)
以"+;分别表示正品和次品,并以表示检查的四个产品依次为次品,正品,次品,次品。
写
下检查四个产品所有可能的结果$,根据条件可得样本空间。
。
++一+,
+++-,
++++,+——
+——+,+—+—,+—++,
—+++,
++++,+
一+++,
4)。
={(工)切<1}.
2]){A—B)—C=ABC2)(「B)-C=ABC,3)A+B+C=4)ABC
5)Q—以+3+。
)=冒有36)Q—以3+3。
+幺。
)=刀有+百C+冒亍
7)Q—=,8)AB+AC+BC3.解:
由两个事件和的概率公式P以+B)=PM)+P(B)-P(4B),知道
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=1.3-P(A+B).又因为F(4B)VP以).所以
(1)当P以+B)=P(B)=0.7时,P(4B)取到最大值0.6。
(2)当尸(/+3)=1时,F('B)取到最小值o.3。
4.
解:
依题意所求为R,+B+C),所以
P(A+B+C)=P(A)+F(B)+P(C)-P(AB)一R/C)-P(BC)+P(4BC)
=-+-+--0——0+0(•.•0
4448
_5
-8,
5.
解:
依题意,
”顼)=»=牌
P(BA)
P{A)+P(B)-P{AB)
P(0)-P®)0.7-0.5
===U.Zj.尸(力)+P(B)-P(AB)0.7+0.6-0.5
P3)=P(^)P(5|^=|xl=±,P(B)==I,
6.解:
山条件概率公式得到3412尸("—
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(如)=;+>[=?
.所以46123
7.解:
1)
P(AlA2)=
°10-*104°
尸以1A2\jAlA2)=P(A1A2)+P{Ax4)==1—法一法=日
3)Jo-Ho与o43
,丁』一丁-一,丁C;C:
+C《C?
1
尸(44UW4)=P(W&)+P(W刀2)=—5^-=7
4)Jo》.
8.解:
(1)以/表示第一次从甲袋中取得白球这一事件,B表不后从乙袋中取
得白球这一事件,则所求为RB),由题意及全概率公式得
P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=x—^+1+-^—x—-—
n+mN+M+\n+mN+M+\
(2)以4,总京3分别表不从第一个盒了中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和两个白球,B表示,,然后从第二个盒子取得一个白球这一事件,则容易推知
5=冬旦,5=冬=四,5=马=邑,
1C;18-C;183C;18
眼14)=号,P(B1妇=§,P(BI&)=—
由全概率公式得
p(5)=Yp(^)p(jbm)=—X—+—xA+AxZ=^2.
去’18111811181199
9.解:
以刀表示随机挑选的人为色盲,B表示随机挑选的人为男子。
则所求
就是尸(初/).由贝叶斯公式可得
P®P(B)P(A\B)05x0.0520
P(A)~P(B)P(A15)+P(B)P(AI5)~0.5x0.05+0.5x0.0025-21'
10.解:
(D以/表任挑出的一箱为第一箱,以B表示第一次取到的零件是一等
品。
则所求为P/),由全概率公式得
__1IQ11Q2
P(B)=P(A)P(B\A)+jP(A)jP(BIA)=-x—+-x—=-.
112502305
(2)以C表示第二次取到的零件是一等品。
则所求为PE),山条件
概率及全概率公式得
__Lx笙+k堂
D,八m、_P(BO_P(A)P(BC\A)+P(A)P(BC\2)_2X^[+2_690
P(B)P(B)21421
5
11.解:
以AB,C分别表示三人独自译出密码,则所求为P(/+B+C)。
由事件
的运算律知道(A+B+C)=ABC,三个事件独立的性质,知道A,B,C也相互独立。
从而
___4233
P{A+B+C)=\-P{A+B+C)=\-P(ABC)=\-P(A)P(B)P(C)=\--^-^-=-.
第二章随机变量及其分布
1.解:
X的分布规律为
C2
P{X=k}=-^9S3,4,5
或
X
3
4
5
Pk
1/10
3/10
6/1
2.解:
X的分布规律为
P{X=k}=^^,k=0,1,2
或
X
0
1
2
Pk
22/35
12/35
1/35
3.解:
设X表示在同一时刻被使用的设备数则X~B(5,0.1)
P{x=2}=C;0.120.93=0.0729
P{x>3}=<3}=1-P{x=0}-P{x=1}-P{x=2}
=1—C?
0.l°0.95—C*0.1'0.94-C;0.120.93=0.00856
P{x<3}=C°0.l°0.95+Cj0.1*0.94+0.l20.93+C/0.l30.92=0.99954
P(x>l)=l-/?
(x=0}=l-C;,0.1',0.95=0.40954.解:
设〃次重复独立试验中,发生的次数为X,则X3(〃,0.3)
X~3(5,0.3)
P(x>3}=Cj0.330.72+C/0.340.7'+Cf0.350.7°=0.16308
X~3(7,0.3)
P{x>3}=l-P(x=0}-P(x=l}-JP{x=2}=l-C°0.3°0.77-Cj0.310.76-C'0.320.75=0.3529305
5.解:
设每分钟收到的呼唤次数为X,X尸(4)
_ooAk_ooAkooAk
⑴P{x=8}=2^—e-4-^—e-4=0.02977
(2)P{x>3}=e"4=0.56653
k=sk•k=9k!
k=4
6(l)P(x<3}=F(3)=l-e^-4x3=1-戒
(2)P{x>4}=l-P(x<4}=l-F(4-0)=l-[l-e-0-4x4]=e-1'6
(3)P{3 (4)P(x<3}+P(x>4}=l-P(3 (l)P{x<2}=F(2—0)=ln2.P{0 (2)-F(0)=l-0=l P(2 (2)=ln|-ln2=ln| (2)/(x)=b(x)=£'- 、0,其他 8.解: ⑴尸(x)=Q{xa}=j>(x*(x) 当X<1时: 尸。 )=£/(中(x)=」(W(x)=0 1< 吓片匚八洲中匚的小孙-9d(x)=x+『2 当1 iI*Jx -F(x)=fj(x*(x)=L皈(x)+k"-日汗⑴+^必⑴^ 当x>2时: 0,x<1 F(x)=k+--2,l X 所以: U'x>2 ⑵当x<0时: 尸3)=L/(址m)=° 当1C2时: F(x)=j/*(x)d(x)=J°(W(x)+pz/(x)+J(2-x*(x) =2x-—x2-1 2 XI F 当。 时: )+Jx6/(x)=—X2 o2 M2 (x)=£az/(x)+=1 i 0, lx2 2, 19 —x+2x—1,l 1, 0 x>2 所以: 9.解: 每只器件寿命大于1500小时的概率 1000八2 x3 P{X>1500)=匚/⑴刁⑴二 则任意取5只设其中寿命大与1500小时的器件为Y只则Y3(5,%) 1、5,1、4232 勺」勺=疝 5—3? -3 P(2 (1)-'(—0.5)=0 (1)-(1-0(0.5)) 10.解: (1)22 =0.8413+0.6915—1=0.5328 ]0-3-4-3 P(-4 (-^―)-(^(^—)二2。 (3.5)—1=2x0.9998—1=0.9996 p{\x\>2}=P{x<-2}+P{x>2}=+1-例2^)=。 (—2.5)+1-0(—0.5)=1-放(2.5)+0(0.5)=0.6977P(x>3}= 22Z d—3 (2)C=3;(3)%〉小。 .9则%算}"』2<3,有=崩』 1-"工M0.1«*)20.9士*21.29 即2得2则2所以刁V0.42 11.解设随机变量X表螺栓的长度x~M10.05,0.062) i^10.05+0.12-10.05,刀10.05—0.12—10.05、t—e(k) 1-P(10.05-0.12 0.060.06 =1—酒 (2)-液(―2)]=2—2。 (2)=2—2x0.9772=0.045612.解: "M") P{120 °°T6°)一©(120-16°)(J(J 40-4040 =^(-)-^(—)=2^(—)-1 (Jaa 404040 2。 (一)-l>0.80加一)>0.90—>1.29 要求贝ijb则b则 1.29即cr<31 第三章随机向量 1.解: P{X=0,Y=0}=0; P{X=0,K=l}=0; c;c* 1 C; 35' C\C\C\ 6 C; -35 C;C; _3. C* 35' C;C; _3 C; 35' c;c; 2. C; 35’ p{x=i,y=i}= P{X=3,K=1}= 尸{X=l,Y=0}=0; P{X=1,K=2}=警祟 C}C[C\_12t 心=2,5=%一35, C3c'2 P{X="=0}=W药; P(X=3,K=2)=0 2.解: ①尸(+oo,+oo)=[£/(x,y)dxdy=_[[fk(6-x-y)dy]dx=1 8k=1 k=— 8 ⑵P{X<1,K<3}=f[f: (6-x-0力]办=: 1 ⑶户{X<1.5}=F(1.5,+oo)= (4)P{X+P<4}= 27 (2——x)dx=— 232 22 x2-4x+6)dx=— 3.解: fx(x)=rf(x,y)dy=< J-00 f4.8y(2-x)dy=2.4(2-x)x2 0 0 其它 £(*)=「,(时)次=〈 j4.8y(2-x)dx=2.4y(3-4y+y2) 0 0 其它 4.解: Zr(x)=^f(x,y)dy=- f4-oo £eydy=ex 0 x>0其它 人。 )=f(x,y)dx^< J—00 5.解: 10 "To其它 £e~ydx=yey 0 *>o 其它 因为相互独立,所以/'(x/)== 1翌 —e20 2 、() 其它 ⑵方程有实根则A=4X2-4F>0BPy P{PVX? }=J)[.: 力]办=f(l_e2)dx= =1-后[中⑴—0(0)]*0.1445 6.解: 21 c=一 4 F(+oo,+co)=fdxf,cxydy=c—=l (1) X13x21故 rzx\.—-x2ydy=—x2(y-x^),-1 &(x)="48 0,其它 ")=]匚? 0*1 0,其它 1,/(x)=故1°, 0 其它 则1<> 7.解: (1)由于X在(0,D上服从均匀分布 又N=e'单调递增且可导,其反函数为: "Iny 设y=e*的概率密度为: g(N) r,,,1 1(InJ;)l g(y)=i|1=p 于是10I0,其它 _£ (2)由于0<>,故Y=-21nX的反函数为My)=e2, g(y)=pw)]E))'|=**j>o 故1。 Io,5 8.解法1: 由于X和Y是两个相互独立的随机变量, £ co •4(z—y)_A3)力十曰 °可得 当zMO时,人⑵=0 当0 当IMz时,由0 z-l 人(z)=L/澎=广-e” A(x)=n/(x,^=r! 3+小「5血x〉o=0,x<0 解法2: 可有求密度函数的定义法计算得到。 —(x+l)e~xx>0 2 0x<0 y>0 同理 由于f(x,y)^fx(x)£3),故X和丫不相互独立的。 (2)解法1,公式法: *,、产〜、刀[-ze~zdx—z~e~zz>0 fz(z)=If(x,z-x)dx=]Jo2=〈2 ,[0[0z<0 解法2,定义法: 当z 当z>0弓(z)=RZ 力⑵=%(z)=2 0, z〉0, z<0. EquationChapter1Section1第四章随机变量的数字特征 1.解: 令刀表示一次检验就去调整设备的事件,设其概率为°,7表示每次检验发现的次品个数,易知 丁〜3(10,0.1),且X〜£(4,p)。 得, p=P(A)=P{T>l}=l-P{T 因为X~B(4,p),得E(X)=4xp=1.0556 +00150023000_ E(X)=\xf{x)dx=jJ二^3-3000)办=500+1000=1500 2.解: -ooo1500is。 。 1500 E(X)=Zxr=(-2)x0.4+0x0.3+2x03=-0.23.解: Z=1 00 E(X2)=2x: Pk=4x0.4+0x0.3+4x0.3=2.8 Z=1 00 E(3X2+5)=Z(3就+5)0=17x0.4+5x0.3+17x0.3=13.4 Z=1 E(3X2+5)=3E(X')+5=13.4 4.解: +oo+oo+oo E(Y)=E(2X)=2E(X)=2jxf(x)dx=2jxe~'dx=2(-xe~x1^+je~xdx)=2 (])-oo00 (2) +oo+oo E(Y)=E(e~2X)=^e~2xf(x)dx=e~3xdx=--e~3x1^=1 -ooo33 5.解: 333 E(X)==1x0.4+2x0.2+3x0.4=2 (1)z=lZ=1j=\ Z=1 333 £(/)=切坊°”=切为切地=-1x0.3+0x0.4+1x0.3=0 j=l7=1i=l z=Vx -1-0.5-1/3010.51/3 0.20.10.00.40.10.10.1 (3) x0.1)+...+0.5x0.1+|x0.1=-± 7 E(Z)=Zz,p,=Tx0.2+(-0.5 Z=1 z=(x-y)2 491610 Pk 0.30.40.00.20.1 5 EQ)-2ZjPj=4x0.3+9x0.4+16x0.0+1x0.2+0x0.1=5 Z=1 +004-001XA E(X)=jjxf(x,y)dxdy=^12xy2dydx=— 6.解: 005 +oo4-00lxq E(P)=Jjyf(x,y)dxdy=j^\ly3dydx=--oo-oo00" +00+001X[ E(XY)=jjxyf(x,y)dxdy=j^12xy3dydx=--00-00001 +00+001X E(X~+Y2)=jj(x2+y2)f(x,y)dxdy=jjl2(x2+v2)y~dydx=1-067 -oo-oo00 f(x)=< 7.解: X的分布密度为 1/2,0 0,其他。 由题意知』=Xx(10-X),则 E(A)=E(10X-X2)=j(10x-"(x)dx=-j(10x-x2)6&=—®8.67 -oo203 0001cA201448 E(A2)=E(10X-X2)2=-Jx4-20x3+100x2)dx=—-2o15 •,•,964 D(A)=E(A~)-(E(A))~=——®21.4245 8.解: 以X】和入2表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则T=X}+X2>由条件概率知X,(i=l,2)的概率 密度为 0, x>0,x<0. 两台仪器五故障工作的时间X1和入2显然相互独立。 利用两独立随机变量和密度函数公式求7的概率密度,对/>°,有 =25re$e—5S)办=25,/'. /(O=ffiMf2(t-x)dx J—co 当,〈°时,显然/(')=°,于是,得 /(0= 25te~5t 0, t>0,t<0. 由于X(=l,2)服从指数为5的指数分布,知 E(Xj)=? £»(X,)=刑=1,2). 因此,有 E(T)=E(X[+X2)=E(Xp+Eg=|, 由于Xl和相互独立,可见 D(T)=D(X1+X2)=D(XJ+D(X2)=&. 9.解: 93年考研数学一。 ⑴0,2 (2)不相关(3)不独立 E(X) 10.解: +co4-004-00[224 E(X? )=jx2fx(x)dx=jx2f(x,y)dxdy=—y^dydx=— -00mm8nn3 —00—00 ,11 £>(X)=E(X2)-(E(X))2=— 则36 由联合概率密度函数中x、y的对称性,得 711 E(Y)=-,D(Y)=—oJo ]22 ECXY)=—j^xy(x+y)dxdy 8oo 41 7ncov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-—°.3o cov(x,y)PXY=~I~~/' 1 TT D(X+Y)=D(X)+D(y)+2cov(X,K)=| 第五章大数定律和中心极限定理 1 3.解: 设第,■个数相加时的舍入误差为X,,则E(X,)=0,O(X,)=仍。 (1) Pg^|>15}=l-Pgx|<15}=l-P =2—2①(1.34)=0.1802 (2) P任x| £x-0i=l 10-0 >=20(20 -)-1>0.90n 0(20.-)>0.95 即VH 4,解: 设X«=l,2,•••/)是装运的第,•箱的重量(单位: 千克)。 〃是所求箱数。 由条件可把1,2,•••,〃)视为独立同分布 随机变量,而"箱的总重量 Tn=Xi+X2+-+Xn 是独立同分布的随机变量之和。 由条件知E(X,)=50,JQ(X,)=5: £(T)=50».7W)=5V^. 山中心极限定理知九近似服从正态分布N(5揶,5扁)。 箱数决定于条件 P{T,<5000}=F{"尸 (2) yjn 山此可见 1000-10mc插> 从而«<98-0199,即最多可以装98箱。 第六章数理统计的基本知识 12*—er2 1一右丈(矿为2/⑴二。 10,—8VXV+OO /(x1? ...,x10)=(r-—)10e2 1. .a/10 2. '分布;9. 3. 4.解: X,.-0 0.3 10X-o Z(—)2 ,=「0.3 〜/(10) (io-)[iov1441、 ...P宓2>1.44卜唯(浏〉时"{/(I。 )”}”.] _4 XN(12,一) 5.解: 5可参考书中P67页 P(|J-12|<1}=2①号)-1=0.7372 ⑵P{max(X|,X2,・“,X5)<15}=P{X]<15』2<15,“.,乂5<15}=(户{刀<15})5=0.93325 ⑶尸{血岫,葛,..*<10}=1—日(1一P{X,<10}) =l—(l—P{Xj<10})5=1—(1—中(—1))5=1—0.84135 第七章参数估计 1.样本均值X
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