3第三讲 轴对称word教师版.docx
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3第三讲轴对称word教师版
第三讲轴对称
第一部分知识梳理
一、轴对称、轴对称图形
1.轴对称图形:
如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线.
2.轴对称:
把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫对称点.
二、轴对称图象的性质
1.对应线段相等,对应角相等;对称点的连线被对称轴垂直平分.
轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.新旧图象具有对称性.
2.轴对称的两个图形,它们对应线段或延长线相交,交点在对称轴上.
三、轴对称图形与轴对称的区别和联系
1.识别轴对称图形:
轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,若把一个图形沿某条直线对折,两部分完全重合,则称该图形为轴对称图形.这条直线为它的一个对称轴.轴对称图象有一条或几条对称轴.
2.轴对称图形是针对一个图形而言的,它是指一个图形所具有的对称性质,而轴对称则是针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系,轴对称图形沿对称轴对折后,其自身一部分与另一部分重合,而轴对称的两个图形沿对称轴对折后,一个图形与另一个图形重合.
3.当把轴对称的两个图形看成一个图形时,它就成了一个轴对称图形.
第二部分例题与解题思路方法归纳
【例题1】在如图3.2-1所示的正方形网格中,每个小正方
形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)
ABC的顶点A,C的坐标分别为(
,5),(
,3).
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
⑶写出点B′的坐标.
〖难度分级〗A类
〖试题来源〗2011湖南省永州市中考试题
〖选题意图〗求关于坐标轴对称的点的坐标,很多初学者由于
没有掌握牢坐标的特点,经常将坐标弄颠倒.在学习时,要结
合图象,反复练习,熟练掌握坐标特征.学习时要结合图象认
真分析、观察,最后得出正确答案.
〖解题思路〗对于点P(a,b),关于y轴对称的点,纵坐标相等,
横坐标互为相反数,即为P(-a,b);关于x轴对称的点,其横
坐标相等,纵坐标互为相反数,即为P(a,-b);关于原点对称
的点,其横坐标、纵坐标互为相反数.
〖参考答案〗⑴⑵如图3.2-1
(1),⑶B′(2,1)
【课堂训练题】
1.(2008年贵阳市)如图3.2-11,在平面直角坐标系xoy中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).
(1)求出△ABC的面积.
(2)在图3.2-11中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1.
(3)写出点A1,B1,C1的坐标.
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗
(1)7.5;
(2)如图;
(1)A1(1,5),B1(1,0),
C1(4,3).
图3.2-11
(1)
2.如图3.2-12,已知四边形ABCD,作四边形A1B1C1D,使四边形A1B1C1D1与四边形A1B1C1D1关于直线MN对称.
图3.2-12
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗如图所示:
图3.2-12
(1)
【例题2】为如图3.2-2所示,两条主要街道AB、CD交于点O,F处为邮局,该局职工小赵家住点E处,在∠AOD内有一社区活动中心M,若该活动中心M到两条街道的距离相等,同时到E点F点的距离也相等.
(1)在图中找出点M的位置;
(2)若小赵每天从家中去上班必须分别经过AB和CD街道上两个邮筒G、H处取出信件后再去邮局F处,则邮筒应分别设在两街道的何处,方能使小赵每天上班时所走的路程最短?
请在图中找出点G、H的位置,并指出小赵的最理想的行走路线.
图3.2-2
〖难度分级〗A类
〖试题来源〗经典习题
〖选题意图〗此题的主要意图是考查线段中垂线、角平分线性质以及轴对称图形的作图能力.将生活中的实际问题抽象为数学模型,在解决实际问题时,要看透所包含的几何问题,把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题.
〖解题思路〗到角两边距离相等的点的轨迹为该角的角平分线;到线段两端点距离相等的点的轨迹为线段的中垂线;最小值问题的求解方法是:
作出其中某一点关于直线的对称点,对称点和该点的连线与对称轴的交点,即是所作的点.
〖参考答案〗解:
(1)分别作∠AOD的平分线和线段EF的中垂线,两线的交点即为社区活动中心M的位置(如图3.2-2
(1)).
(2)分别作E点关于AB对称点E′,F点关于CD的对称点F′,则E′F′的连线与AB、CD的交点G、H即为所求(如图3.2-2
(2)).
图3.2-2
(2)
图3.2-2
(1)
【课堂训练题】
1.如图3.2-21,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称
点
的坐标为(2,0),请在图中分别标明.
B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点
、
的位
置,并写出他们的坐标:
、
;
归纳与发现:
(2)
图3.2-21
结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平
分线l的对称点
的坐标为(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确
定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并
在图中画出Q点.(不要求写出坐标)
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗解:
(1)如图3.2-21
(1):
,
;
(2)(b,a);
(3)由
(2)得,D(1,-3)关于直线l的对称点
的
坐标为(-3,1),连接
E交直线l于点Q,此
时点Q到D、E两点的距离之和最小.
图3.2-21
(1)
2.如图3.2-22所示,河的同侧有A、B两个村庄,要把A村的产品运往B村,并规定要走
千米的河岸路,并还要使所走的路线最短,问河边码头应建在何处?
图3.2-22
〖难度分级〗A类
图3.2-22
(1)
〖参考答案〗如图3.2-22
(1)所示,设码头分别为M、N,则从A到B的路线为AMNB,不妨假设先走河岸路,沿河岸方向将A平移到A',使AA'=a,这时A'、B及河岸就构成了图1的模型.于是只要作点B关于河岸l的对称点B',连结A'B'与岸l交于点N,再将A'N平移回AM,则AMNB的长为满足条件的最短路线.如图3.2-22
(1)所示.
【例题3】台球是一项高雅的体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识.图3.2-3是一个台球桌,目标球F与本球E之间有一个G球阻挡,击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边.经过一次反弹后再撞击F球.他应将E球打到AB边上的哪一点?
请在图中用尺规作出这一点H.并作出E球的运行路线;(不写画法.保留作图痕迹)
图3.2-3
〖难度分级〗A类
〖试题来源〗2006年江苏省苏州市中考试题
〖选题意图〗实际生活中的台球问题,我们可以利用轴对称找出其弹击路线,小球经桌边反弹符合一个规律,类似于光的反射定律,入射角等于反射角.此类问题关键在于先分析好问题,建立图中的几何模型,再探讨解题思路.
〖解题思路〗找出E点关于AB的对称点E1,连接E1F,交AB于点H.便找出了小球和台球桌的撞击点.
〖参考答案〗解:
(1)如图3.2-3
(1),画图如下(可作点E关于直线AB的对称点E1,连结E1F,E1F与AB交于点H,球E的运动路线就是EH→HF).
图3.2-3
【课堂训练题】
1.如图3.2-31所示,EFGH是一个台球桌面,有白黑两球分别置于A、B两点位置上,试问:
怎样撞击黑球B,经桌边HE,EF连续反弹后,能准确地击中白球A?
图3.2-31
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗作法:
①作B关于HE的对称点B';②再作出A关于EF的对称A';
③连结A'B',交HE于点C,交EF于点D,连结BC、DA.
路线:
应沿BC方向撞击黑球B,其弹击路线为B→C→D→A.
图3.2-31
(1)
2.如图3.2-32所示,OA、O'A'是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的光线,请用作图的方法确定发光点S的位置,并将光路图补充完整.
图3.2-32
(1)
图3.2-32
〖难度分级〗A类
〖参考答案〗作法:
1.延长AO、A'O',它们相交于点S';
2.作S'关于镜面的对称点S;3.连结SO、SO'.如图3.2-32
(1)
【例题4】如图3.2-4,长方形ABCD中,点E在AB
边上,将△EBC沿CE所在直线折叠,使点B落在AD边上
的点B′处,再将折叠后的图形打开,若△AB′E的周长为4cm,
图3.2-4
△B′DC的周长为11cm,则B′D的长为_________cm.
〖难度分级〗B类
〖试题来源〗2011年北京市西城区(北区)八年级第二学期抽样测试(有改动)
〖选题意图〗长方形这一内容初二上还没有学,但是在学平行线和特殊三角形的时候,经常会出现这类利用直角三角形来解决的折叠问题.本题关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用,解题时,①应抓住折叠前后的图形完全重合;②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图,找出对应关系.
〖解题思路〗折叠问题中求线段的长度,通常会用到方程思想和转化思想.根据题意,将题中涉及的线段用未知数表示,设B′D=x,AB′=y,AE=a,EB=b,根据折叠的对称性,EB′=BE=b,B′C=BC=AD=AB′+B′D=x+y,DC=AE+EB=a+b.由题中已知条件可得C△AB’E=AB′+EB′+AE
=y+b+a=4,C△B’DC=B′D+B′C+DC=x+(x+y)+(a+b)=11.
联立方程可得:
,
将y+b+a=4视作一个整体,可得x=3.5.
〖参考答案〗3.5;
【课堂训练题】
1.(2009年浙江衢州)在△ABC中,AB=12,AC=10,
BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式
折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周
长为().
A.9.5B.10.5
C.11D.15.5
〖难度分级〗B类
〖参考答案〗选D.解:
∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形,
∴△EDF≌△EAF,∴∠AEF=∠DEF,
∵AD是BC边上的高,∴EF‖CB,
又∠AEF=∠B,(两直线平行,同位角相等)
∴∠BDE=∠DEF,(两直线平行,内错角相等)
∴∠B=∠BDE,(等量替换)∴BE=DE,
∴△DEF的周长为△EAF的周长,即AE+EF+AF=(AB+BC+AC)/2=(12+10+9)/2=15.5.
点评:
本题考查了图形的折叠,认识到图形折叠后所形成的图形△AEF与△DEF全等是解题的关键.并涉及到中位线定理,对接受能力强的学生,可引导求证EF=
BC.
2.如图3.2-42,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC折叠,使点B和点C重合,折痕为DE,则△AEC的面积是()
A.1B.
图3.2-42
C.
D.2
〖参考答案〗选B.如图3.2-42
(1),
连接AD.由折叠得BE=EC,BD=DC=4/2=2,
∴BD=DC=AC=2.又∵∠ACB=60°,
∴△ADC为等边三角形.
∴AD=AC=DC=BD=2,∠DAC=60°.
图3.2-42
(1)
∴△ABD为等腰三角形,∴∠B=∠BAD=30°.
∴∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°.
由等积法,易知选B.
【例题5】已知,如图3.2-5,△ABC中,AB,BC,CA的中垂线分别为l1,l2,l3.
求证:
l1,l2,l3三线共点.
图3.2-5
〖难度分级〗B类
〖试题来源〗经典习题
〖选题意图〗三角形三边中垂线共点是重点和难点.该点叫三角形的“外心”,它与三条中线的交点重心,三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”.对大多数初中生来说,对于逻辑推理方面的训练是不够的,这就导致同学们在数学考试中遇到证明推理题就发怵.对于书本上的性质和定理,不仅要知其然,还要知其所以然.因为知道基本原理是证明的基础,知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力.
〖解题思路〗考虑先设l1,l2,交于点O,再证明O在l3上,从而达到证l1,l2,l3共点的目的.
〖参考答案〗证明:
设l1,l2交于O,连接OA,OB,OC
∵l1为AB中垂线,∴OA=OB.
同理OB=OC.∴OA=OB=OC.
图3.2-5
(1)
∴O在AC中垂线上.
即O在l3上,∴,l1,l2,l3共点.
【课堂训练题】
1.如图3.2-51,AD为△ABC的角平分线,AD的中垂线交AB于E,BC延长线于F,
求证∠CAF=∠B.
图3.2-51
〖难度分级〗B类
〖参考答案〗证明:
∵EF为AD中垂线,
∴AF=DF∴∠2+∠3=∠4,
又∠4=∠1+∠B∴∠2+∠3=∠1+∠B.
∵∠1=∠2,∴∠3=∠B即∠CAF=∠B.
2.如图3.2-42,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,CD为EF中垂线,求证BF=2AD.
图3.2-52
〖难度分级〗B类
〖参考答案〗证明:
如图3.2-52
(1).连接DE,DF,作DG⊥BC于G.
∵DC为EF的中垂线,
∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF∴∠1=∠2.
又∠A=90°,∴DA⊥AC,DG⊥BC.∴DA=DG.
又DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△GDF(HL).∴GF=AE.
图3.2-52
(1)
又AE=AD,∴AD=DG=GF.∠A=90°,AB=AC,∴∠B=45°.
在△BDG中∠B=45°,∠DGB=90°,∴∠BDG=45°.
∴DG=BG,∴DG=BG=GF.∴DG=
BF,AD=
BF.
【例题6】如图3.2-6,∠1=∠2,且AB>AC,点P是AD上的一点.
求证:
PB-PC<AB-AC.
图3.2-6
(1)
图3.2-6
〖难度分级〗C类
〖试题来源〗经典习题
〖选题意图〗此题有两个解题突破口,①利用角平分线为对称轴构造两个图形成轴对称是常用的辅助线;②利用三角形的三边关系求证几何不等式是常用的方法.此题对考查学生审题和创造性思维有一定效果.
〖解题思路〗由∠1=∠2想到,以AP为对称轴构造△AEP,便得到AB-AC=EB.EP=PC,将所求证的线段集中到一个三角形中,在利用三角形的三边关系便可使问题得证.
〖参考答案〗证明:
如图3.2-6
(1),∵∠1=∠2,且AB>AC,
∴以AP为对称轴构造△APE,使△AEP与△ACP关于AP对称.
∴AE=AC,PE=PC
∴AB-AC=AB-AE=BE.
在△PBE中,BE+PE>PB.
∴PB-PE<BE,
即PB-PC<AB-AC.
【课堂训练题】
1.如图3.2-61,△ABC中,AB=AC,过点A的直线MN∥BC,点P是MN上的任意点,
证明:
PB+PC≥2AB.
图3.2-61
(1)
图3.2-61
〖难度分级〗C类
〖参考答案〗证明:
作点C关于直线AP的对称点
.连接
P、A
.
易知△APC和△A
P关于直线AP对称.那么,AC=A
,∠2=∠3.
∵AB=AC,根据图形的对称性有∠1=∠2,∴∠1=∠3.
∵∠1+∠BAC+∠2=180°,∴∠BAC+∠2+∠3=180°.
∴B、A、C’三点共线.∴B
=AB+A
=AB+AC=2AB.
在△BP
中,BP+P
>B
.
∵P
=PC,B
=2AB.
∴BP+PC≥2AB.
2.如图3.2-62,AD是△ABC的中线,∠ADB与∠ADC的角平分线分别交AB,AC于点E、F.求证:
BE+CF>EF.
图3.2-62
(1)
〖难度分级〗C类
〖参考答案〗证明:
作点B关于ED的对称点,根据角平分线的对称性,易知点B在AD上,且DM=DB,连接ME、MF.易证△BED≌△MED和△CDF≌△MDF.∴EM=BE,MF=CF.在△EMF中,EM+MF>EF.∴BE+CF>EF.
第三部分课后自我检测试卷
A类试题
1.(2010黑龙江省绥化市)下列图形中不是轴对称图形的是()
2.(2008湖南省怀化市)小华在镜中看到身后墙上的钟,实际时间最接近8点的是().
A.B.C.D.
3.(2008山东省)将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.
将纸片展开,得到的图形是().
4.(2007辽宁省沈阳市)将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折,然后沿图③中的虚线裁剪,得到图④,最后将图④的纸片再展开铺平,则所得到的图案是( )
图① 图② 图③ 图④
A B C D
5.(2008山东省聊城市)把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角,那么打开以后的形状是().
A.六边形B.八边形C.十二边形D.十六边形
6.(2008浙江省台州市)把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图3.3-1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图3.3-2)的对应点所具有的性质是()
A.对应点连线与对称轴垂直
B.对应点连线被对称轴平分
C.对应点连线被对称轴垂直平分
D.对应点连线互相平行
图3.3-1图3.3-2
8.(2009湖北省黄石市)下列图形中,对称轴有且只有3条的是().
A.菱形B.等边三角形C.正方形D.圆
9.若点P关于x轴的对称点P1(2a+b,-a+1),关于y轴的对称点为P2(4-b,b+2),则P点的坐标为().
A.(9,3)B.(-3,-3)C.(9,-3)D.(-9,-3)
10.已知P(3,2a-5)与Q(3,a+2)关于x轴对称,则a=.
11.已知点M(x,y)与点N(-2,-3)关于x轴对称,则x+y=.
12.若点A(a,5)关于y轴的对称点是(-2,b),则点A的坐标是,它关于x轴对称点的坐标是.
13.(2008吉林省长春市)如图,有两个7×4的网格,网格中每个小正方形的边长均为1,每个网格中各画有一个梯形.请在图1、图2中分别画出一条线段,同时满足以下要求:
(1)线段的一个端点为梯形的顶点,另一个端点在梯形一边的格点上;
(2)将梯形分成两个图形,其中一个是轴对称图形;
(3)图1、图2中分成的轴对称图形不全等.
14.(2010山东省枣庄市)在3×3的正方形格点图中,有格点三角形ABC和三角形DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面给出的备用图中画出4个这样的△DEF.
15.(2010重庆市江津区)如图,有分别过A、B两个加油站的公路
、
相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等,而且P到两条公路
、
的距离也相等.请用尺规作图作出点P(不写作法,保留作图痕迹).
B类试题:
16.若三角形三边的中垂线的交点在某一边上,则该三角形一定是().
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
17.(2009山东省德州市)如图3.3-3所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′等于().
A.70°B.65°C.50°D.25°
图3.3-5
18.(2009湖北省荆门市)如图3.3-4,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则
().
A.40°B.30°C.20°D.10°
19.(2009宁夏回族自治区)在
的正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图3.3-5),若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么符合条件的小正方形共有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
20.(2010江西省南昌市)如图3.3-6,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°.现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH.则与∠BEG相等的角的个数为().
A.4B.3C.2D.1
图3.3-8
21.(2010吉林省吉林市)如图3.3-7,在矩形
,
12cm,
=6cm.点
分别在
上,将矩形
沿
折叠,使点
分别落在矩形
外部的点
、
处,则整个阴影部分图形的周长为( ).
A.18cmB.36cmC.40cmD.72cm
22.(2007浙江省温州市)如图3.3-8,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点E,F是中线AD上的两点,则图中阴影部分的面积是( ).
A.6B.12 C.24D.30
23.如图3.3-9,△ABC中∠A=120°,AB=AC,AB的中垂线交AB于D,BC于E.则
=.
图3.3-9图3.3-10
24.(2011四川绵阳)如图3.3-10,将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长为_____cm.
25.(2008江苏省徐州市)如图3.3-11,Rt△ABC中,∠B=90°,AB
=3cm,AC=5cm.将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,
则△ABE的周长=cm.
图3.3-11
26.如图3.3-11,AD为△ABC的高,∠B=2∠C,BD=5,BC=20,求AB的长.
图3.3-12
C类试题
27.(2011山东德州)长为1
,宽为a的矩形纸片(
),如图3.3-13那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一
下,剪下一
个边长等于此时矩形宽
度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为__________.
.
图3.3-13
28.在平面直角坐标系中,点M关于x轴对称点的坐标为(2x+y-5,3x-2y-4),点M关于y轴对称点的坐标为(5x-3y+3,-x+y+4),求点M的坐标.
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