高中数学函数总结大全.docx
- 文档编号:26540042
- 上传时间:2023-06-20
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:20.05KB
高中数学函数总结大全.docx
《高中数学函数总结大全.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学函数总结大全.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学函数总结大全
一次函数
一、定义与定义式:
自变量*和因变量y有如下关系:
y=k*+b
则此时称y是*的一次函数。
特别地,当b=0时,y是*的正比例函数。
即:
y=k*〔k为常数,k≠0〕
二、一次函数的性质:
1.y的变化值与对应的*的变化值成正比例,比值为k
即:
y=k*+b〔k为任意不为零的实数b取任何实数〕
2.当*=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:
1.作法与图形:
通过如下3个步骤
〔1〕列表;
〔2〕描点;
〔3〕连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
〔通常找函数图像与*轴和y轴的交点〕
2.性质:
〔1〕在一次函数上的任意一点P〔*,y〕,都满足等式:
y=k*+b。
〔2〕一次函数与y轴交点的坐标总是〔0,b),与*轴总是交于〔-b/k,0〕正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随*的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随*的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O〔0,0〕表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式:
点A〔*1,y1〕;B〔*2,y2〕,请确定过点A、B的一次函数的表达式。
〔1〕设一次函数的表达式〔也叫解析式〕为y=k*+b。
〔2〕因为在一次函数上的任意一点P〔*,y〕,都满足等式y=k*+b。
所以可以列出2个方程:
y1=k*1+b……①和y2=k*2+b……②
〔3〕解这个二元一次方程,得到k,b的值。
〔4〕最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用:
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
六、常用公式:
〔不全,希望有人补充〕
1.求函数图像的k值:
〔y1-y2)/(*1-*2)
2.求与*轴平行线段的中点:
|*1-*2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:
|y1-y2|/2
4.求任意线段的长:
√(*1-*2)^2+(y1-y2)^2〔注:
根号下〔*1-*2)与〔y1-y2)的平方和〕
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量*和因变量y之间存在如下关系:
y=a*^2+b*+c
〔a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.〕
则称y为*的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:
y=a*^2+b*+c〔a,b,c为常数,a≠0〕
顶点式:
y=a(*-h)^2+k[抛物线的顶点P〔h,k〕]
交点式:
y=a(*-*₁)(*-*₂)[仅限于与*轴有交点A〔*₁,0〕和B〔*₂,0〕的抛物线]
注:
在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a*₁,*₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=*^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
*=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴〔即直线*=0〕
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在*轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时〔即ab>0〕,对称轴在y轴左;
当a与b异号时〔即ab<0〕,对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于〔0,c〕
6.抛物线与*轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与*轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与*轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与*轴没有交点。
*的取值是虚数〔*=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a〕
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数〔以下称函数〕y=a*^2+b*+c,
当y=0时,二次函数为关于*的一元二次方程〔以下称方程〕,
即a*^2+b*+c=0
此时,函数图像与*轴有无交点即方程有无实数根。
函数与*轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=a*^2,y=a(*-h)^2,y=a(*-h)^2+k,y=a*^2+b*+c(各式中,a≠0)的图象形状一样,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
顶点坐标
对称轴
y=a*^2
(0,0)
*=0
y=a(*-h)^2
(h,0)
*=h
y=a(*-h)^2+k
(h,k)
*=h
y=a*^2+b*+c
(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)
*=-b/2a
当h>0时,y=a(*-h)^2的图象可由抛物线y=a*^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=a*^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(*-h)^2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=a*^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=a*^2+b*+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(*-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=a*^2+b*+c(a≠0)的图象:
当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线*=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=a*^2+b*+c(a≠0),假设a>0,当*≤-b/2a时,y随*的增大而减小;当*≥-b/2a时,y随*的增大而增大.假设a<0,当*≤-b/2a时,y随*的增大而增大;当*≥-b/2a时,y随*的增大而减小.
4.抛物线y=a*^2+b*+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与*轴交于两点A(*₁,0)和B(*₂,0),其中的*1,*2是一元二次方程a*^2+b*+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|*₂-*₁|
当△=0.图象与*轴只有一个交点;
当△<0.图象与*轴没有交点.当a>0时,图象落在*轴的上方,*为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在*轴的下方,*为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=a*^2+b*+c的最值:
如果a>0(a<0),则当*=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为图象经过三个点或*、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=a*^2+b*+c(a≠0).
(2)当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:
y=a(*-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为图象与*轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a(*-*₁)(*-*₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
反比例函数
形如y=k/*(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。
自变量*的取值围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质:
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数,有f(-*)=-f(*),图像关于原点对称。
另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。
如图,上面给出了k分别为正和负〔2和-2〕时的函数图像。
当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
知识点:
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/*,假设在分母上加减任意一个实数(即y=k/〔*±m〕m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
〔加一个数时向左平移,减一个数时向右平移〕
对数函数
对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=*的对称图形,因为它们互为反函数。
〔1〕对数函数的定义域为大于0的实数集合。
〔2〕对数函数的值域为全部实数集合。
〔3〕函数总是通过〔1,0〕这点。
〔4〕a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。
〔5〕显然对数函数无界。
指数函数
指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得*能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
如下图为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到:
〔1〕指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
〔2〕指数函数的值域为大于0的实数集合。
〔3〕函数图形都是下凹的。
〔4〕a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
〔5〕可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中〔当然不能等于0〕,函数的曲线从分别接近于Y轴与*轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与*轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
〔6〕函数总是在*一个方向上无限趋向于*轴,永不相交。
〔7〕函数总是通过〔0,1〕这点。
〔8〕显然指数函数无界。
奇偶性
注图:
〔1〕为奇函数〔2〕为偶函数
1.定义
一般地,对于函数f(*)
〔1〕如果对于函数定义域的任意一个*,都有f(-*)=-f(*),则函数f(*)就叫做奇函数。
〔2〕如果对于函数定义域的任意一个*,都有f(-*)=f(*),则函数f(*)就叫做偶函数。
〔3〕如果对于函数定义域的任意一个*,f(-*)=-f(*)与f(-*)=f(*)同时成立,则函数f(*)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
〔4〕如果对于函数定义域的任意一个*,f(-*)=-f(*)与f(-*)=f(*)都不能成立,则函数f(*)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:
①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇〔或偶〕函数。
〔分析:
判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(*)比拟得出结论〕
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征:
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(*)为奇函数"=="f(*)的图像关于原点对称
点〔*,y〕→〔-*,-y〕
奇函数在*一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在*一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
定义域
〔高中函数定义〕设A,B是两个非空的数集,如果按*个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数*,在集合B中都有唯一确定的数f(*)和它对应,则就称f:
A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(*),*属于集合A。
其中,*叫作自变量,*的取值围A叫作函数的定义域;
值域
名称定义
函数中,应变量的取值围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
〔1〕化归法;〔2〕图象法〔数形结合〕,
〔3〕函数单调性法,
〔4〕配方法,〔5〕换元法,〔6〕反函数法〔逆求法〕,〔7〕判别式法,〔8〕复合函数法,〔9〕三角代换法,〔10〕根本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个根本“元件〞。
平时数学中,实行“定义域优先〞的原则,无可置疑。
然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬〞一手“软〞,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中〔典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化〕。
如果函数的值域是无限集的话,则求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域函的理解,从而深化对函数本质的认识。
“围〞与“值域〞一样吗.
“围〞与“值域〞是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。
“值域〞是所有函数值的集合〔即集合中每一个元素都是这个函数的取值〕,而“围〞则只是满足*个条件的一些值所在的集合〔即集合中的元素不一定都满足这个条件〕。
也就是说:
“值域〞是一个“围〞,而“围〞却不一定是“值域〞。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 函数 总结 大全
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)