概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版.docx
- 文档编号:26540029
- 上传时间:2023-06-20
- 格式:DOCX
- 页数:29
- 大小:29.76KB
概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版.docx
《概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版.docx(29页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版
概率论与数理统计课后习题集答案解析完整编辑校对版
复旦大学
习题一1.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C
〔1〕
A发生,B,C都不发生;
〔2〕
A与B发生,C
〔3〕
A,B,C都发生;
〔4〕
A,B,C
〔5〕
A,B,C都不发生;
〔6〕
A,B,C
〔7〕
A,B,C至多有2个发生;
〔8〕
A,B,C至少有2个发生.
】
【解】〔1〕
ABC
〔2〕
ABC
〔3〕
ABC〔4〕
A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
(5)ABC=ABC
(6)ABC
(7)ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C
(8)AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3..
4.设A,B为随机事件,且P〔A〕=0.7,P(AB)=0.3,求P〔AB〕.
【解】
P〔AB〕=1P〔AB〕=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.65.设A,B是两事件,且P〔A〕=0.6,P(B)=0.7,
〔1〕
在什么条件下P〔AB
〔2〕
在什么条件下P〔AB
】
【解】〔1〕
当AB=A时,P〔AB〕取到最大值为0.6.〔2〕
当A∪B=Ω时,P〔AB〕取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P〔A〕=P〔B〕=1/4,P〔C〕=1/3且P〔AB〕=P〔BC〕=0,P〔AC〕=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
【解】
P〔A∪B∪C〕=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
【解】
p=5332131313131352CCCC/C
8.对一个五人学习小组考虑生日问题:
〔1〕
求五个人的生日都在星期日的概率;
〔2〕
求五个人的生日都不在星期日的概率;〔3〕
求五个人的生日不都在星期日的概率.】
【解】〔1〕
设A1={五个人的生日都在星期日},根本领件总数为75,有利事件仅1个,故
P〔A1〕=517=〔17〕
5
〔亦可用独立性求解,下同〕
〔2〕
设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P〔A2〕=5567=(67)5
(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P〔A3〕=1P(A1)=1(17)5
9..见教材习题参考答案.10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件〔n<N〕.试求其中恰有m件〔m≤M〕正品〔记为A〕的概率.
〔1〕
n件是同时取出的;〔2〕
n
〔3〕
n件是有放回逐件取出的.
】
【解】〔1〕
P〔A〕=CC/CmnmnMNMN
(2)由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有PnN种,n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有PmM种,从NM件次品中取nm件的排列数为PnmNM种,故P〔A〕=CPPPmmnmnMNMnN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P〔A〕=CCCmnmMNMnN可以看出,用第二种方法简便得多.〔3〕
由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n
次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,nm次取得次品,每次都有NM种取法,共有〔NM〕
nm种取法,故()C()/mmnmnnPAMNMN
此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,那么取得m件正品的概率为()C1mnmmnMMPANN11..见教材习题参考答案.12.
50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.假设将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,那么这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?
【解】设A={发生一个部件强度太弱}133103501()CC/C1960PA
13.7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【解】
设Ai={恰有i个白球}〔i=2,3〕,显然A2与A3互斥.213434233377CCC184(),()C35C35PAPA
故
232322()()()35PAAPAPA
14.0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:
〔1〕
两粒都发芽的概率;〔2〕
至少有一粒发芽的概率;〔3〕
恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},〔i=1,2〕
(1)1212()()()0.70.80.56PAAPAPA
(2)12()0.70.80.70.80.94PAA
(3)2112()0.80.30.20.70.38PAAAA
15.3次正面才停止.〔1〕
问正好在第6次停止的概率;〔2〕
问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.】
【解】〔1〕
223151115()()22232pC
(2)1342111C()()22245/325p
16.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】
设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,那么33312123330()(0.3)(0.4)C0.7(0.3)C0.6(0.4)iiiPAB
22223333C(0.7)0.3C(0.6)0.4+(0.7)(0.6)
=0.32076175双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】
4111152222410CCCCC131C21p
18.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:
〔1〕
在下雨条件下下雪的概率;〔2〕
这天下雨或下雪的概率.【解】
设A={下雨},B={下雪}.〔1〕
()0.1()0.2()0.5PABpBAPA
〔2〕
()()()()0.30.50.10.7pABPAPBPAB
19.3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率〔小孩为男为女是等可能的〕.【解】
设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87PABPBAPA
或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7PBA
20.5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率〔假设男人和女人各占人数的一半〕.【解】
设A={此人是男人},B={此人是色盲},那么由贝叶斯公式()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA
0.50.05200.50.050.50.00252121.9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.
题21图
题22图】
【解】设两人到达时刻为某,y,那么0≤某,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上〞等价于|某y|>30.如图阴影局部所示.22301604P
22.0,1〕中随机地取两个数,求:
〔1〕
两个数之和小于65的概率;〔2〕
两个数之积小于14的概率.【解】
设两数为某,y,那么0<某,y<1.〔1〕
某+y<65.
11441725510.68125p
(2)某y=<14.
1111244111ddln242某p某y23.P〔A〕=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P〔B|A∪B〕
【解】
()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB
0.70.510.70.60.5424.个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】
设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球},i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有30()()()iiiPBPBAPA
33123213336996896796333333331515151515151515CCCCCCCCCCCCCCCCCC0.089
25.按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:
〔1〕考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?
〔2〕考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?
【解】设A={被调查学生是努力学习的},那么A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P〔A〕=0.8,P〔A〕=0.2,又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P〔B|A〕=0.9,P〔B|A〕=0.9,故由贝叶斯公式知〔1〕()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA
0.20.110.027020.80.90.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2)
()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA
0.80.140.30770.80.10.20.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.假设接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?
【解】
设A={原发信息是A},那么={原发信息是B}C={收到信息是A},那么={收到信息是B}由贝叶斯公式,得
()()()()()()()PAPCAPACPAPCAPAPCA
2/30.980.994922/30.981/30.0127.【解】设Ai={箱中原有i个白球}〔i=0,1,2〕,由题设条件知P〔Ai〕=13,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()iiiPBAPAPABPABPBPBAPA2/31/311/31/32/31/311/3328.96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】
设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA
设A={该客户是“谨慎的〞},B={该客户是“一般的〞},C={该客户是“冒失的〞},D={该客户在一年内出了事故}那么由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PADPAPDAPADPDPAPDAPBPDBPCPDC
0.20.050.0570.20.050.50.150.30.330.零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai={第i道工序出次品}〔i=1,2,3,4〕.412341()1()iiPAPAAAA
12341()()()()PAPAPAPA
10.980.970.950.970.124
31.0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9【解】设必须进行n次独立射击.1(0.8)0.9n
即为
(0.8)0.1n
故
n≥11至少必须进行11次独立射击.32.P〔A|B〕=P(A|B),那么A,B相互独立.【证】
(|)(|)PABPAB即()()()()PABPABPBPB
亦即
()()()()PABPBPABPB
()[1()][()()]()PABPBPAPABPB
因此
()()()PABPAPB
故A与B相互独立.33.15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】
设Ai={第i人能破译}〔i=1,2,3〕,那么31231231()1()1()()()iiPAPAAAPAPAPA
42310.6534
34.0.4,0.5,0.7,假设只有一人击中,那么飞机被击落的概率为0.2;假设有两人击中,那么飞机被击落的概率为0.6;假设三人都击中,那么飞机一定被击落,求:
飞机被击落的概率.【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3由全概率公式,得30()(|)()iiiPAPABPB
=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效,反之那么认为无效,求:
〔1〕
虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否认的概率.
〔2〕
新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.】
【解】〔1〕
3101100C(0.35)(0.65)0.5138kkkkp
(2)10102104C(0.25)(0.75)0.2241kkkkp36.6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率:
〔1〕
A=“某指定的一层有两位乘客离开〞;〔2〕
B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开〞;〔3〕
C=“恰有两位乘客在同一层离开〞;〔4〕
D=“至少有两位乘客在同一层离开〞.【解】
由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.〔1〕
2466C9()10PA,也可由6重贝努里模型:
224619()C()()1010PA
〔2〕
6个人在十层中任意六层离开,故6106P()10PB
〔3〕
由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:
①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948CCC种可能结果;②4人同时离开,有19C种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P种可能结果,故1213114610694899()CC(CCCCP)/10PC
〔4〕
D=B.故6106P()1()110PDPB
37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求以下事件的概率:
〔1〕
甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;〔2〕
甲、乙、丙三人坐在一起的概率;〔3〕
如果n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】
〔1〕
111pn
(2)23!
(3)!
3
(1)!
npnn(3)12
(1)!
13!
(2)!
;,3!
!
nnppnnnn
38.[0,a]
【解】
设这三段长分别为某,y,a某y.那么根本领件集为由0<某<a,0<y<a,0<a某y<a所构成的图形,有利事件集为由()()某ya某y某a某yyya某y某构成的图形,即02022a某aya某ya如图阴影局部所示,故所求概率为14p.39.某人有n把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开〔抽样是无放回的〕.证明试开k次〔k=1,2,…,n〕才能把门翻开的概率与k无关.【证】
11P1,1,2,,Pknknpknn
40.把一个外表涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i面涂有颜色的概率P〔Ai〕〔i=0,1,2,3〕.
【解】
设Ai={小立方体有i面涂有颜色},i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上〔除去八个角外〕的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上〔除去棱〕的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000〔8+96+384〕=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000PAPA,24968()0.096,()0.00810001000PAPA.41.对任意的随机事件A,B,C
P〔AB〕+P〔AC〕P〔BC〕≤P(A).
【证】
()[()]()PAPABCPABAC
()()()PABPACPABC
()()()PABPACPBC
42.3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】
设iA={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故3413C3!
3()48PA
而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C1()416PA
因此
213319()1()()181616PAPAPA
或
12143323CCC9()416PA
43.币掷2n次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n次硬币,可能出现:
A={正面次数多于反面次数},B={正面次数少于反面次数},C={正面次数等于反面次数},A,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P〔A〕=P〔B〕.所以1()()2PCPA
由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为211()()()22nnnnPCC
故
2211()[1C]22nnnPA
44.n次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A={出现正面次数多于反面次数},B={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P〔A〕=P〔B〕
〔1〕
当n为奇数时,正、反面次数不会相等.由P〔A〕+P〔B〕=1得P〔A〕=P〔B〕=0.5
(2)当n为偶数时,由上题知211()[1C()]22nnnPA
45.n+1次,乙掷n次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】
令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数.显然有>正正〔甲乙〕
=〔甲正≤乙正〕=〔n+1甲反≤n乙反〕
=〔甲反≥1+乙反〕=〔甲反>乙反〕
由对称性知P〔甲正>乙正〕=P〔甲反>乙反〕
因此P(甲正>乙正)=1246.Surething〕:
假设P〔A|C〕≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C),那么P〔A〕≥P(B).【证】由P〔A|C〕≥P(B|C),得()(),()()PACPBCPCPC
即有
()()PACPBC
同理由
(|)(|),PACPBC
得
()(),PACPBC
故
()()()()()()PAPACPACPBCPBCPB
47.一列火车共有n节车厢,有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】
设Ai={第i节车厢是空的},〔i=1,…,n〕,那么121
(1)1()
(1)2()
(1)1()
(1)nkkikkijkiiinPAnnPAAnnPAAAn其中i1,i2,…,in1是1,2,…,n中的任n1个.显然n节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()
(1)C
(1)2()C
(1)1()C
(1)0()
(1)nnnkkinikijnijnnkniiiniiinnnniniSPAnnnSPAAnnSPAAAnSPASSSS
121121C
(1)C
(1)
(1)C
(1)kknnknnnnnnn
故所求概率为121121()1C
(1)C
(1)nkiinniPAnn111
(1)C
(1)nnknnn
48.设随机试验中,某一事件A出现的概率为ε>0.试证明:
不管ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,那么A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中,A至少出现一次的概率为1
(1)1()nn
49.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币〔次品硬币的两面均印有国徽〕.在袋中任取一只,将它投掷r次,每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知
(),()mnPBPBmnmn1(|),(|)12rPABPAB
那么由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)PABPBPABPBAPAPBPABPBPAB
121212rrrmmmnmnmnmnmn50.巴拿赫〔Banach〕火柴盒问题:
某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?
第一次用完一盒火柴时〔不是发现空〕而另一盒恰有r根的概率又【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,那么有121()()2PBPB.〔1〕发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了2nr次,设n次取自B1盒〔已空〕,nr次取自B2盒,第2nr+1次拿起B1,发现已空。
把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验,那么所求概率为12211112C()()C2222nnnrnnrnrrrp
式中2反映B1与B2盒的对称性〔即也可以是B2盒先取空〕.〔2〕
前2nr1次取火柴,有n1次取自B1盒,nr次取自B2盒,第2nr次取自B1盒,故概率为111212212111112C()()C()2222nnnrnnrnrnrp
51.n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】
设在一次试验中A出现的概率为p.那么由00112220()CCCC1nnnnnnnnnnqppqpqpqpq
0011222n0()CCC
(1)Cnnnnnnnnnnqppqpqpqpq
以上两式相减得所求概率为113331CCnnnnppqpq
1[1()]2nqp
1[1(12)]2np
假设要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率,那么只要将两式相加,即得21[1(12)]2npp.52.设A,B是任意两个随机事件,求P{〔A+B〕〔A+B〕〔A+B〕〔A+B〕}的值.【解】因为〔A∪B〕∩〔A∪B〕=AB∪AB〔A∪B〕∩〔A∪B〕=AB∪AB
所求
()
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 课后 习题集 答案 解析 完整 编辑 校对
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)