学年人教版九年级数学上册二次函数yax2+bx+c的图象和性质同步测试及解析.docx
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学年人教版九年级数学上册二次函数yax2+bx+c的图象和性质同步测试及解析
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
预习要点:
1.一般地,二次函数y=ax2+bx+c可以通过化成y=a(x-h)2+k的形式,即y=a(x+
)2+
.因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是,顶点是.
2.从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以看出:
(1)如果a>0,当x<-
时,y随x的增大而,当x>-
时,y随x的增大而;
(2)如果a<0,当x<-
时,y随x的增大而,当x>-
时,y随x的增大而.
3.求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需求出的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于的方程组,求出的值,就可以写出二次函数的解析式.
4.(2016•益阳)关于抛物线y=x2−2x+1,下列说法错误的是( )
A.开口向上
B.与x轴有两个重合的交点
C.对称轴是直线x=1
D.当x>1时,y随x的增大而减小
5.(2016•怀化)二次函数y=x2+2x−3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A.开口向上,顶点坐标为(−1,−4)
B.开口向下,顶点坐标为(1,4)
C.开口向上,顶点坐标为(1,4)
D.开口向下,顶点坐标为(−1,−4)
6.(2016•广州)对于二次函数y=−
x2+x−4,下列说法正确的是( )
A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值−3
C.图象的顶点坐标为(−2,−7)D.图象与x轴有两个交点
7.(2016•齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(−1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1,x2=3;③3a+c>0④当y>0时,x的取值范围是−1≤x<3⑤当x<0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.已知二次函数的图象经过(1,0)、(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是( )
A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2−2x+3D.y=x2−3x+2
9.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( )
A.y=x2−2x+3B.y=x2−2x−3C.y=x2+2x−3D.y=x2+2x+3
10.(2016•枣庄模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(−3,0),对称轴为x=−1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③a−b+c=0;④5a<b.其中正确结论是.
11.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,则c的值为.
12.抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点坐标为.
13.若函数y=2x2−4x+m有最小值是3,则m=.
14.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图,回答:
(1)这个二次函数的表达式是;
(2)当x=时,y=3;
(3)根据图象回答:
当时,y>0.
15.已知抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=x2的形状相同,最高点坐标为(2,−3),则抛物线的解析式是.
同步小题12道
一.选择题
1.二次函数y=−x2−2x+5的顶点坐标、对称轴分别是( )
A.(1,6),x=1B.(−1,6),x=1
C.(−1,6),x=−1D.(1,6),x=−1
2.一次函数y=ax+b(ab≠0)的图象不经过第二象限,则抛物线y=ax2+bx的顶点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.抛物线y=x2−8x+m的顶点在x轴上,则m等于( )
A.−16B.−4C.8D.16
4.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的是( )
A.a>0,c>0B.a<0,c>0C.a>0,c<0D.a<0,c<0
5.已知函数y=x2+3x+a−2的图象过原点,则a的值为( )
A.2B.−2C.−3D.0
6.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( )
A.y=2(x+1)2+8B.y=18(x+1)2−8C.y=
(x−1)2+8D.y=2(x−1)2−8
二.填空题
7.抛物线y=2x2−6x−1的对称轴为.
8.(2016春•重庆校级月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
①abc>0;②a>b;③a−b+c>0;④4ac−8a>b2,其中正确的是(填序号)
9.抛物线y=ax2+bx+c开口向上,对称轴是直线x=1,A(−2,y1),B(0,y2),C(2,y3)在该抛物线上,则y1,y2,y3大小的关系是.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,−1)、B(0,2)、C(1,3);则二次函数的解析式.
三.解答题
11.已知抛物线的解析式为y=x2−2x−3,请确定该抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式,直接写出开口方向,顶点坐标和对称轴.
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论,正确的有哪些?
并说明理由.
(1)3a+b>0;
(2)0<b<a+1;(3)b+2a>0;(4)−
<a<−
.
答案:
预习要点:
1.配方x=-
(-
,
)
2.
(1)减小增大
(2)增大减小
3.a,b,ca,b,ca,b,c
4.【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象,根据二次函数的性质结合二次函数的图象,逐项分析四个选项,即可得出结论.
【解答】解:
画出抛物线y=x2−2x+1的图象,如图所示.A、∵a=1,∴抛物线开口向上,A正确;B、∵令x2−2x+1=0,△=(−2)2−4×1×1=0,∴该抛物线与x轴有两个重合的交点,B正确;C、∵−
=−
=1,∴该抛物线对称轴是直线x=1,C正确;D、∵抛物线开口向上,且抛物线的对称轴为x=1,∴当x>1时,y随x的增大而增大,D不正确.
故选D
5.【分析】根据a>0确定出二次函数开口向上,再将函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标.
【解答】解:
∵二次函数y=x2+2x−3的二次项系数为a=1>0,∴函数图象开口向上,∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4,∴顶点坐标为(−1,−4).故选A.
6.【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式,再根据其解析式即可求解.
【解答】解:
∵二次函数y=−
x2+x−4可化为y=−
(x−2)2−3,又∵a=−
<0∴当x=2时,二次函数y=−
x2+x−4的最大值为−3.
故选B
7.【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=−2a,然后根据x=−1时函数值为负数可得到3a+c<0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断.
【解答】解:
∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2−4ac>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(−1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1,x2=3,所以②正确;∵x=−
=1,即b=−2a,而x=−1时,y<0,即a−b+c<0,∴a+2a+c<0,所以③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(−1,0),(3,0),∴当−1<x<3时,y>0,所以④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.故选B
8.【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标,可直接用待定系数法求解.
【解答】解:
设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(1,0)、(2,0)和(0,2)代入得:
,解之得
;所以该函数的解析式是y=x2−3x+2.
故选D
9.【分析】根据题意,把抛物线经过的三点代入函数的表达式,列出方程组,解出各系数则可.
【解答】解:
根据题意,图象与y轴交于负半轴,故c为负数,又四个选项中,B、C的c为−3,符合题意,故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,抛物线过(−1,0),(0,−3),(3,0),所以
,解得a=1,b=−2,c=−3,这个二次函数的表达式为y=x2−2x−3.
故选B
10.【解答】解:
①∵图象与x轴有交点,对称轴为x=−
=−1,与y轴的交点在y轴的正半轴上,又∵二次函数的图象是抛物线,∴与x轴有两个交点,∴b2−4ac>0,即b2>4ac,故①正确;②∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0,∵对称轴为x=−
=−1,∴2a=b,∴2a+b=4a,a≠0,故②错误;③∵x=−1时y有最大值,由图象可知y≠0,故③错误;④把x=1,x=−3代入解析式得a+b+c=0,9a−3b+c=0,两边相加整理得5a−b=−c<0,即5a<b,故④正确.
答案:
①④
11.【解答】解:
把(0,0)代入得c=0.
答案:
0.
12.【分析】把x=0代入抛物线y=−x2+3x−3,即得抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点.
【解答】解:
∵当x=0时,抛物线y=−x2+3x−3与y轴相交,∴把x=0代入y=−x2+3x−3,求得y=−3,∴抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点坐标为(0,−3).
答案:
(0,−3).
13.【分析】首先用配方法将一般式化为顶点式,顶点纵坐标即为最小值,列方程求解.
【解答】解:
∵y=2x2−4x+m=2(x−1)2+m−2,∴m−2=3,解得m=5,答案:
5.
14.【分析】
(1)已知顶点坐标和函数图象经过原点,故设抛物线解析式为y=a(x−1)2−1(a≠0),然后把原点坐标代入来求a的值;
(2)把y=3代入
(1)中函数关系进行解答相应的x的值;(3)根据图示直接填空.
【解答】解:
(1)如图,抛物线的顶点坐标是(1,−1).故设抛物线解析式为y=a(x−1)2−1(a≠0),又∵抛物线经过点(0,0),∴0=a(0−1)2−1,解得,a=1.故抛物线的解析式为:
y=(x−1)2−1.故填:
y=(x−1)2−1;
(2)由
(1)知,y=(x−1)2−1,当y=3时,3=(x−1)2−1,解得,x=3或x=−1.故填:
3或−1;(3)根据图示知,当x<0或x>2时,y>0.故填:
x<0或x>2.
15.【分析】根据y=ax2+bx+c的形状与y=x2形状相同,且有最高点,可确定函数图象开口向下,且a=−1,由顶点坐标写出其顶点式,再整理成一般式即可.
【解答】解:
∵y=ax2+bx+c的形状与y=x2形状相同,且有最高点(2,−3),∴抛物线的解析式是y=−(x−2)2−3=−x2+4x−7,
答案:
y=−x2+4x−7.
同步小题12道
1.【分析】将二次函数的一般式配方为顶点式,可求顶点坐标及对称轴.
【解答】解:
∵y=−x2−2x+5=−(x+1)2+6,∴抛物线的顶点坐标为(−1,6),对称轴为x=−1.故选C
2.【解答】解:
∵一次函数y=ax+b(ab≠0)的图象不经过第二象限,∴a>0,b<0,∴抛物线y=ax2+bx的顶点(−
,
),−
>0,
<0,∴抛物线y=ax2+bx的顶点(−
,
)在第四象限.
故选D
3.【分析】顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.根据顶点公式即可求得m的值.
【解答】解:
抛物线的顶点纵坐标是:
,则得到:
=0,解得m=16.
故选D
4.【分析】首先根据开口方向确定a的符号,再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负,由此解决问题.
【解答】解:
∵图象开口方向向上,∴a>0;∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上,∴c<0;∴a>0,c<0.故选:
C
5.【分析】直接把原点坐标代入二次函数解析式得到关于a的方程,然后解方程即可.
【解答】解:
把(0,0)代入y=x2+3x+a−2得a−2=0,解得a=2.故选A.
6.【分析】顶点式:
y=a(x−h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.
【解答】解:
由图知道,抛物线的顶点坐标是(1,−8)故二次函数的解析式为y=2(x−1)2−8.
故选D
7.【分析】利用公式:
y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为(−
,
),列出方程求解则可.
【解答】解:
根据题意得:
−
=−
=
,
=
=−
,则顶点坐标是(
,−
).
答案:
(
,−
)
8.【解答】解:
∵抛物线的开口朝下,∴a<0;∵抛物线与y轴交点在y的正半轴,∴c>0;∵抛物线的对称轴x=−
在−1到0之间,即−1<−
<0,∴0>b>2a,即②不成立;∵c>0,0>b>a,∴abc>0,即①成立;∵当x=−1时,抛物线上的点在x轴上方,∴有a−b+c>0,即③成立;由图可知,抛物线顶点(−
,
)的纵坐标大于2,∴
>2,∵a<0,∴4ac−b2<8a,∴4ac−8a<b2,④不成立.
答案:
①③.
9.【分析】根据抛物线的性质,抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,由x取−2、0、2时,x取−2时所对应的点离对称轴最远,x取0与2时所对应的点离对称轴一样近,即可得到答案.
【解答】解:
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上,对称轴是直线x=1,∴抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,∵x取−2时所对应的点离对称轴最远,x取0与2时所对应的点离对称轴一样近,∴y1>y2=y3.故答案是:
y1>y2=y3.
10.【分析】根据点A,B,C在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,点的坐标满足方程的关系,将A(−1,−1)、B(0,2)、C(1,3)代入y=ax2+bx+c得a=−1,b=2,c=2.从而得出二次函数的解析式为y=−x2+2x+2.
【解答】解:
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,∵点A,B,C在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,∴将A(−1,−1)、B(0,2)、C(1,3)代入二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,得
,解得,a=−1,b=2,c=2.∴二次函数的解析式为y=−x2+2x+2.
答案:
y=−x2+2x+2.
11.【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式,直接写出开口方向,顶点坐标和对称轴.
解:
∵y=x2−2x−3,∴y=(x−1)2−4,∵a=1>0,∴该抛物线的开口方向上,∴对称轴和顶点坐标分别为:
x=1,(1,−4)
12.【分析】根据图象与坐标轴交点即可确定对称轴的位置以及解析式,进而分别得出答案.
解:
(1)当图象经过(−1,0),(4,0)时,抛物线对称轴为:
直线x=
,∵图象经过−1与−2之间,∴−
<
,∴−b>3a,∴3a+b<0,故此选项错误;
(2)当x=−1时,a−b+c>0,∵图象经过(0,1),∴c=1,∴a−b+1>0,∴a+1>b,∵对称轴在x轴正半轴,∴a,b异号,∵图象开口向下,∴a<0,∴b>0,∴0<b<a+1,此选项正确;(3)∵图象经过−1与−2之间,以及(4,0)点,∴−
>1,∴−b<2a,∴2a+b>0,故此选项正确;(4)当图象过点(−1,0),(4,0)时,设解析式为:
y=ax2+bx+1,则
,解得:
,当图象过点(−2,0),(4,0)时,设解析式为:
y=ax2+bx+1,则
,解得:
,∴−
<a<−
,故此选项正确.
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