阶段性测试题三 导数及其应用.docx
- 文档编号:26535432
- 上传时间:2023-06-20
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:128.59KB
阶段性测试题三 导数及其应用.docx
《阶段性测试题三 导数及其应用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《阶段性测试题三 导数及其应用.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
阶段性测试题三导数及其应用
阶段性测试题三导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·九江调研)甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1=t3-2t2+t和s2=3t2-t-1,则在t=2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( )
A.甲大 B.乙大
C.相等 D.无法比较
[答案] B
[解析] v1=s1′=3t2-4t+1,v2=s2′=6t-1,
所以在t=2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11,故乙的瞬时速度大.
2.(2011·山东文)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9B.-3
C.9D.15
[答案] C
[解析] 本题考查导数几何意义,求导公式等知识.导数最基本运算及应用是每年必考内容.
由y=x3+11知y′=3x2,所以y′|x=1=3,所以过点P(1,12)的切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0,令x=0易知选C.
3.(2012·安阳模拟)已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)B.f(x)=2(x-1)
C.f(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-1
[答案] A
[解析] 先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,f′(x)=3(x-1)2+3且f′
(1)=3(1-1)2+3=3.
4.(2012·许昌调研)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像,则下列判断正确的是( )
A.在区间(-3,1)上y=f(x)是增函数
B.在(1,3)上y=f(x)是减函数
C.在(4,5)上y=f(x)是增函数
D.在x=2时y=f(x)取到极小值
[答案] C
[解析] 由导函数图像与原函数的关系可知函数y=f(x)在(-3,-
)上是减函数,在(-
,1)上是增函数,知A错;由函数y=f(x)在(1,2)上是增函数,在(2,3)上是减函数,知B错;由函数y=f(x)在(4,5)上是增函数知C正确;由函数y=f(x)在x=2时取极大值,知D错.
5.(2012·汕头一模)如果函数f(x)=x4-x2,那么f′(i)=( )
A.-2iB.2i
C.6iD.-6i
[答案] D
[解析] 因为f′(x)=4x3-2x,
所以f′(i)=4i3-2i=-6i.
6.(2012·黄山调研)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x-y+1=0,则( )
A.f′(x0)<0B.f′(x0)>0
C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0,f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率,故f′(x0)=3.故选B.
7.(2012·海口质检)函数f(x)=excosx的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.0B.
C.1D.
[答案] B
[解析] f′(x)=(excosx)′=(ex)′cosx+ex(cosx)′=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx),则函数f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率k=f′(x)|x=0=ex(cosx-sinx)|x=0=e0=1,
故切线的倾斜角为
,故选B.
8.(文)(2012·九江模拟)已知f(x)=x3-ax在(-∞,-1]上递增,则a的取值范围是( )
A.a>3B.a≥3
C.a<3D.a≤3
[答案] D
[解析] 由f(x)=x3-ax,得f′(x)=3x2-a,
由3x2-a≥0对一切x∈(-∞,-1]恒成立,
3x2≥a,∴a≤3.
若a<3,则f′(x)>0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立.
若a=3,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0恒成立,
x=-1时,f′(-1)=0,∴a≤3.
(理)(2011·新课标理)由曲线y=
,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
A.
B.4
C.
D.6
[答案] C
[解析] 本题考查了定积分的应用.
依题意,如图所示,由
得其交点坐标为(4,2).
因此y=
与y=x-2及y轴所围成的图形的面积为
[
-(x-2)]dx=
(
-x+2)dx
=(
x
-
x2+2x)|
=
×8-
×16+2×4=
.
故选C.
9.(2012·东北师大附中模拟)已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′
(2),则f(-1)与f
(1)的大小关系为( )
A.f(-1)=f
(1)B.f(-1)>f
(1)
C.f(-1) (1)D.以上答案都不对 [答案] B [解析] ∵f(x)=x2+2xf′ (2), ∴f′(x)=2x+2f′ (2), ∴f′ (2)=4+2f′ (2),即f′ (2)=-4, ∴f(x)=x2-8x=(x-4)2-16,且在(-∞,4]上为减函数, ∵-1<1<4,∴f(-1)>f (1). 10.(文)(2012·新乡一模)若a>2,则方程 x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有( ) A.0个根B.1个根 C.2个根D.3个根 [答案] B [解析] 设f(x)= x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax, 而a>2,所以f′(x)≤0⇔0≤x≤2a.又(0,2)(0,2a), 故f(x)在区间(0,2)上递减, f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f (2)= -4a<0. 故f(x)的图像在(0,2)上与x轴有一个交点. (理)(2011·辽宁理)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1)B.(-1,+∞) C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞) [答案] B [解析] 本小题考查内容为导数的应用及数形结合思想. 解法一: 令g(x)=2x+4,∴g′(x)=2,∴f′(x)>g′(x), 如图,f(x)>2x+4, 解为x>-1. 解法二: 设m(x)=f(x)-(2x+4),则m′(x)=f′(x)-2>0, ∴m(x)在R上是增函数. ∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0.∴m(x)>0的解集为{x|x>-1}, 即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞). [点评] 本题考查导数与单调函数之间的关系,以及解不等式的相关知识,难度较大. 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上) 11.(文)(2012·萍乡一模)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m,则M-m=________. [答案] 32 [解析] ∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2), 由f(-3)=17,f(3)=-1, f(-2)=24,f (2)=-8, 可知M-m=24-(-8)=32. (理)(2012·萍乡一模)已知t>0,若 (2x-1)dx=6,则t=________. [答案] 3 [解析] (2x-1)dx=(x2-x)| =t2-t=6, ∴t=3或t=-2(舍去). 12.(2012·合肥一模)已知曲线C: y=lnx-4x与直线x=1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方程是________. [答案] 3x+y-1=0 [解析] 由已知得y′= -4,所以当x=1时有y′=-3,即过点P的切线的斜率k=-3,又y=ln1-4=-4,故切点P(1,-4),所以点P处的切线方程为y+4=-3(x-1),即3x+y+1=0. 13.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是________. [答案] [解析] f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a), 由f′(x)<0,得-a ∴f(x)在区间(-∞,-a)内递增,在区间[-a,a]内递减,在区间(a,+∞)内递增, 极大值为f(-a)=2a3+a=a(2a2+1)>0,① 极小值为f(a)=a(1-2a2)<0,② 由①②得a∈ . 14.(2012·商丘调研)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________. [答案] [解析] 过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx相切, 设P(x0,x -lnx0),则k=y′| =2x0- , ∴2x0- =1,∴x0=1或x0=- (舍去), ∴P(1,1),∴d= = . 15.(2012·广州一模)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为________. [答案] -2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质. k=y′|x=1=n+1, ∴切线l: y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,xn= ,∴an=lg , ∴原式=lg +lg +…+lg =lg( × ×…× )=lg =-2. 三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)(2012·镇江一模)已知函数f(x)=x3-3x+1.试判断函数f(x)的单调性,并求其单调区间. [解析] 因为f(x)=x3-3x+1, 所以f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 由f′(x)<0,解得x∈(-1,1); 由f′(x)>0,解得x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞). 所以f(x)在[-1,1]上单调递减, 在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)的单调减区间是[-1,1], 单调增区间是(-∞,-1]与[1,+∞). 17.(本小题满分12分)设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a、b的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. [解析] (1)f′(x)=3x2-6ax+3b, f (1)=1-3a+3b=-11,① f′ (1)=3-6a+3b=k=-12.② 解由①、②组成的关于a,b的方程组,得a=1,b=-3. (2)f(x)=x3-3x2-9x, f′(x)=3x2-6x-9. 由f′(x)=0,得x1=-1,x2=3. ∴f(x)在(-∞,-1],[3,+∞)上是增函数,在(-1,3)上是减函数. 18.(本小题满分12分)(2011·安徽理)设f(x)= ,其中a为正实数. (1)当a= 时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. [解析] 对f(x)求导得f′(x)=ex .① (1)当a= 时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0, 解得x1= ,x2= . 结合①,可知 x f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 阶段性测试题三 导数及其应用 阶段性 测试 导数 及其 应用