版高中数学 第二章 数列 25 等比数列的前n项和一学案 新人教A版必修5.docx
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2.5等比数列的前n项和
(一)
[学习目标] 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
知识点一 等比数列前n项和公式
1.等比数列前n项和公式
(1)公式:
Sn=
(2)注意:
应用该公式时,一定不要忽略q=1的情况.
2.等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时,公式Sn=适用于已知a1,q和项数n,而公式Sn=更适用于已知a1,q和末项an,使用时依据条件灵活选用.
思考 设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N*),则f(n)等于( )
A.(8n-1)B.(8n+1-1)
C.(8n+2-1)D.(8n+3-1)
答案 B
解析 f(n)=2+24+27+…+23n+1=
=(8n+1-1).
知识点二 错位相减法
1.推导等比数列前n项和的方法
一般地,等比数列{an}的前n项和可写为:
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
用公比q乘①的两边,可得
qSn=a1+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②
由①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,
整理得Sn=(q≠1).
2.我们把上述方法叫错位相减法,一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且q≠1.
题型一 等比数列基本量的计算
例1 在等比数列{an}中,
(1)S2=30,S3=155,求Sn;
(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
解
(1)由题意知
解得或
从而Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)方法一 由题意知
解得
从而S5==.
方法二 由(a1+a3)q3=a4+a6,
得q3=,从而q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10,
所以a1=8,从而S5==.
(3)因为a2an-1=a1an=128,
所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根.
从而或
又Sn==126,
所以q为2或.
反思与感悟
(1)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组求解,就能求出另两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
(2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
跟踪训练1 在等比数列{an}中,
(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;
(2)已知S4=1,S8=17,求an.
解
(1)由Sn=得11=,
∴q=-2,
又由an=a1qn-1得16=(-2)n-1,
∴n=5.
(2)若q=1,则S8=2S4,不合题意,∴q≠1,
∴S4==1,S8==17,
两式相除得=17=1+q4,
∴q=2或q=-2,
∴a1=或a1=-,
∴an=·2n-1或-·(-2)n-1.
题型二 错位相减法求和
例2 设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Sn.
解
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q.
由题意有q>0且解得
∴an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=2n-1.
(2)由
(1)知=,
Sn=1+++…++,①
Sn=++…+++,②
①-②得
Sn=1+++…++-
=1+2(++…++)-
=1+2×-=3-,
∴Sn=6-.
反思与感悟 一般地,如果数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可以采用错位相减法.在作差时,要注意第一项与最后一项的处理.有时还要注意对公比q的讨论.
跟踪训练2 求数列{nxn}的前n项和.
解
(1)当x=0时,Sn=0.
(2)当x=1时,Sn=.
(3)当x≠0且x≠1时,
Sn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn,①
xSn=x2+2x3+…+(n-1)xn+nxn+1,②
①-②得,
(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1
=-nxn+1,
∴Sn=·[nxn+1-(n+1)xn+1],
∴Sn=
题型三 等差、等比数列的综合问题
例3 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解
(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.
当n=1时,a1=S1=11,符合上式.
所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d,
由即
可解得b1=4,d=3.
所以bn=3n+1.
(2)由
(1)知cn==3(n+1)·2n+1..
又Tn=c1+c2+…+cn.
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1].
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2].
两式作差,得
-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×=-3n·2n+2.
所以Tn=-3n·2n+2.
反思与感悟 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值,同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.
跟踪训练3 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an及其前n项和Sn;
(2)设bn=1+log3an,求数列的前10项和T10.
解
(1)设{an}的公比为q,依题意得
,解得,
因此,an=3n-1,Sn==.
(2)由
(1)知bn=1+log3an=1+(n-1)=n,
则==-,
所以T10=++…+
=1-+-+…+-
=1-=.
例4 等比数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn=________.
错解 Sn=
错因分析 忽视等比数列前n项和公式的应用条件,未对等比数列的公比2a分类讨论,导致错误.
正解 公比为q=2a,
当2a=1,即a=时,2a=1,Sn=n;
当q≠1,即a≠时,2a≠1,则Sn=.
答案
误区警示 准确理解公式,重视分类讨论
应用等比数列前n项和公式时,要注意公比q是否为1,因为等比数列前n项和公式是“分段函数”形式.若题中公比不明确,要分情况讨论,如本例,公比为q=2a,应该分2a=1,2a≠1两种情况讨论,否则结论就不完整.
1.已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=2,则S5等于( )
A.93B.-93
C.45D.-45
答案 A
解析 S5===93.
2.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=6,a2+a3+a4=-3,则a3+a4+a5+a6+a7等于( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 =
==q=-,
由a1+a2+a3=6,且q=-,得a1=8,
可得a2=a1q=8×=-4,
∴a3+a4+a5+a6+a7=S7-a1-a2=-a1-a2=-8-(-4)=.
3.设等比数列{an}的公比q=3,前n项和为Sn,则等于________.
答案
解析 由题意得S4==40a1,又a2=3a1,
∴=.
4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和是________.
答案 120
解析 ∵a5=a2·q3,∴q3==27.
∴公比q=3,从而a1=3,
∴S4===120.
5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.
答案 1 121
解析 由
解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,由已知可得:
an+1=2Sn+1,①
an=2Sn-1+1,②
①-②得an+1-an=2an,
∴an+1=3an,又a2=3a1,
∴{an}是以a1=1为首项,公比q=3的等比数列.
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