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一元一次方程应用题步骤
一元一次方程应用题步骤解题技巧
列方程(组)解应用题
一概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是:
⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。
一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答题。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。
在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。
因此,列方程是解应用题的关键。
(1)和、差、倍、分问题。
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。
审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。
1.课外数学小组原来女同学占全组人数的1/3,后来加入了4个女同学,女同学占全组人数的1/2,课外数学小组原来有多少名同学?
2.男女生若干人,男生与女生人数之比为4:
3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生,女生人数。
3.甲队有32人,乙队有28人,如果要使甲队人数是乙队人数的2倍,那么需从乙队抽调多少人到甲队?
(2)等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。
1.某农具厂用直径为6Cm的圆钢锻造半径为3Cm钢球毛坯,问圆钢应截多长?
(3)调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
①既有调入又有调出;
②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
1.甲队原有68人,乙队原有44人,现又有42名工人调入这两队,为了使乙队人数是甲队人数的3/4,问应调往甲、乙两队各多少人
2.某中学七年级学生组织春游,如果租用45座的客车,那么各辆车都坐满后还有15人没有座位;如果租用60座的客车,那么可以少租一辆车,并且每辆车正好坐满。
问七年级共有多少人?
3.某校初三年级学生参加社会实践活动,原计划租用30座客车若干辆,但还有15人无座位。
(1)设原计划租用30座客车X辆,试用含X的代数式表示该校初三年级学生的总人数
(2)现决定租用40座客车,则可比原计划租30座客车少一辆,且所租40座客车中有一辆没有坐满,只坐35人。
请你求出该校初三年级学生的总人数。
(4)行程问题。
要掌握行程中的基本关系:
路程=速度×时间。
相遇问题(相向而行),这类问题的相等关系是:
各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
甲走的路程+乙走的路程=全路程
1.AB两站间的路程448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米,问:
(1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇?
(2)两车相向而行,慢车先开出28分钟,快车开出后多少小时两车相遇?
(3)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
2.甲乙两人分别在相距68km的地方同向出发,乙在甲前面,甲每小时走16km,乙每小时走18km。
如果甲乙两人同时出发,问甲走多少时间后两人相距90km?
追及问题(同向而行),这类问题的等量关系是:
两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
同时不同地:
甲的时间=乙的时间
甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
同地不同时;甲的时间=乙的时间-时间差
甲的路程=乙的路程
1.一队学生去校外参加劳动,以4千米/每小时的速度步行前往,走了半小时后,学校有紧急通知要通知队长,通讯员骑自行车以14千米/每小时的速度按原路追上去,通讯员要多少分钟才能追上学生队伍?
2.A、B两站相距300千米,一列慢车从B站开出,行驶速度是每小时40千米,半小时后,一列快车从A站开出,行驶速度是每小时60千米,两车同向而行,慢车在前,快车出发多长时间追上慢车?
3.甲从A地以6千米/时的速度向B行驶,40分钟后,乙从A地以8千米/时的速度按甲走的路途追甲,结果在甲离B地还差5公里处追上甲,求A,B两地间的距离
环形跑道上的相遇和追及问题:
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
1.汽车在甲地和乙地之间来回一次,去时每小时行驶40千米,回来时每小时行驶30千米,回来时比去时多用了40分钟,求甲、乙两地之间的距离是多少千米?
2.甲、乙两人在400m环形跑道上步行,甲每分钟走60m,乙每分钟走40m,问:
(1)同时背向而行,几分钟后第一次相遇?
第二次呢?
(2)同向而行多少分钟第一次相遇?
第二次呢?
船(飞机)航行问题:
相对运动的合速度关系是:
顺水(风)速度=静水(无风)中速度+水(风)流速度;逆水(风)速度=静水(无风)中速度-水(风)流速度。
1.星期天爸爸带小明坐船往返于汉口的两码头之间,顺水航行6h,逆水航行比顺水航行多2h,若水流速度为每小时2km,则这两码头之间距离多少千米?
2.一艘轮船从甲地顺流而下8h到达乙地,原路返回需12h才能到达甲地,已知水流的速度是每小时3km,求甲、乙两地的距离
车上(离)桥问题:
①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程,所走路程为一个车长。
②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。
所走的路程为一个成长
③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程,所走路成为一个车长+桥长
④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程,所行路成为桥长-车长
行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点。
12.某桥长1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用50s,而整个火车在桥上的时间为30s,求火车的长度和速度
(5)工程问题。
其基本数量关系:
工作总量=工作效率×工作时间;合做的效率=各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
1.某项工作,甲单独完成需12天,乙单独完成需15天,若甲、乙合作若干天后,再由乙单独干6天可完成,若再由甲单独完成需几天?
2.某项工作甲单独做3小时完成,乙单独做4小时完成,现在甲现做1小时50分钟后,甲乙二人合作完成此工作。
求两人合作的时间。
3.一件工程,甲单独做要8天完成,乙单独做要12天完成,丙单独做要24天。
甲、乙合做了3天后,甲因事离去,由乙、丙合做,问乙丙还要几天才能完成工程
(6)溶液配制问题。
其基本数量关系是:
溶液质量=溶质质量+溶剂质量;溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数。
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
浓度是指溶质占溶液的质量百分比
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。
1.若乙杯蔗糖溶液的质量为60克,浓度为50%,要稀释成浓度为25%的溶液,需要加水多少克?
2.现有浓度为20%的酒精(纯酒精和水的混合液体)50克,加入若干克水后变成了浓度为10%的酒精。
问加入水多少克?
3若甲杯有含蔗糖16%的蔗糖溶液60克,要使含
蔗糖量增加到25%,需要加蔗糖多少克?
4.若甲杯有含蔗糖16%的蔗糖溶液60克,要使含
蔗糖量增加到25%,需要蒸发水多少克?
5.有含盐16%的盐水30克,要使含盐量为20%,
(1)需要加盐多少克?
(2)可以蒸发水多少克?
6、在质量分数为40%的酒精溶液中加入5千克水,质量分数变为30%,再加入多少千克酒精,质量分数变为50%?
(7)利润率问题。
其数量关系是:
商品的利润=商品售价-商品的进价;商品利润率=商品利润/商品进价×100%,注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。
商品售价=商品标价×折扣率
1.商店对某种商品调价,按原价的8折出售,此时商品的利润率是10%,此商品的进价为1600元,商品的原价是多少元?
2.某种商品的进价为800元,出售时的标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润率不低于5%,则至少可打几折?
3.一商店将每台彩电先按进价提高40%标出售价,然后广告宣传将以标价80%的优惠价出售,结果每台赚了300元,则每台彩电的进价是多少
4.某商店销售一种衬衫,四月份的营业额为5000元。
为了扩大销售,在五月份将每件衬衫按原价的八折销售,销售数量比四月份增加了40件,营业额比四月份增加了600元。
求四月份每件衬衫的售价。
(8)银行储蓄问题。
其数量关系是:
利息=本金×利率×存期;
本息=本金+利息,利息税=利息×利息税率
。
注意利率有日利率、月利率和年利率,
年利率=月利率×12=日利率×365。
1.李明以两种形式储蓄了1000元钱,一种储蓄年利率是2.52%,另一种是1.80%,一年后共得利息23元4分,两种储蓄各存了多少钱?
2.假设一种债券的月利率为0.25%,某人购买这种债券,一年后扣除20%的利息税后,得本息和为5120元,他当初购买了多少这种债券?
(9)数字问题。
要正确区分“数”与“数字”两个概念,这类问题通常采用间接设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式,一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。
1.有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字大5,并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5,求这个两位数。
2.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小4,如果把十位与个位上的数字对调,那么所得的两位数比原两位数的2倍少12,求原两位数。
3.一个三位数,3个数位上的数字和是15,百位上的数字比十位上的数字小1,个位上的数字比十位上的数字大1,求这个三位数
(10)年龄问题其基本数量关系:
大小两个年龄差不会变。
这类问题主要寻找的等量关系是:
抓住年龄增长,一年一岁,人人平等。
1.甲乙两人的年龄和是33岁,四年后甲比乙大3岁,问现在乙的年龄是多少?
2.李明今年8岁,妈妈今年36岁,问李明多少岁时,妈妈的年龄是李明年龄的3倍?
3.今年哥弟俩人的岁数加起来是55岁,曾经有一年,哥哥的岁数是今年弟弟的岁数,那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍。
问哥哥今年的年龄是多大?
(11.)排水进水问题
1.一个蓄水池有两个进水管和一个排水管,单独开甲管3h可以注满一池水,单独开乙管4h可以注满一池水,单独开丙管6h可以放尽一池水,若甲管先开放0.5h,而后乙、丙两管也开放,问再需多少小时可以注满一池水?
2.一个水池有两个注水管,两个水管同时注水,10小时可以注满水池;甲管单独开15小时可以注满水池。
现两管同时注水7小时后,关掉甲管,单独开乙管注水,还需几小时能注满水池?
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