数值分析典型例题.docx
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数值分析典型例题
第一章典型例题
例3ln2=0.69314718,精确到10-3的近似值是多少?
解精确到10-3=0.001,即绝对误差限是=0.0005,故至少要保
留小数点后三位才可以。
ln20.693
第二章典型例题
例1用顺序消去法解线性方程组
xxx
xxx
xxx
解顺序消元
2141[Ab]32141241
r2
r1
(
3/2)
r3
r1
(
1/2)
2
1
4
1
2
1
4
1
0
0.5
5
r3
r2
(3)
0.5
5
5.5
5.5
0
0
1.5
2
0.5
0
0
17
17
于是有同解方程组
2x1x24x31
0.5x25x35.5
17x317
回代得解
x3=-1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X=(1,1,-1)T
例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组
xxx
xxx
xxx
解建立迭代格式
x1(k
1)
2x2(k)
2x
3(k)
1
x
2(k
1)
x1(k)
x3(k)
3
(=1,2,3,)
k
x
(k
1)
2x(k)
2x
(k)
5
3
1
2
第1次迭代,k=0
X
(0)
X
(1)
T
=,得到
=(1,3,5)
0
第2次迭代,k=1
x1
(2)
2
3
2
5
1
5
x2
(2)
1
5
3
3
x3
(2)
2
1
2
3
5
3
X
(2)=(5,-3,-3)T
第3次迭代,=2
k
x1(3)
2
(
3)
2
(
3)
11
x2(3)
5
(
3)
3
1
x3
(2)
2
5
2
(
3)
5
1
X
(3)
T
=(1,1,1)
第4次迭代,k=3
x
(2)
2
1
2
1
1
1
1
x2
(2)
1
1
3
1
x3
(2)
2
1
2
1
5
1
(4)
T
X
=(1,1,1)
例4证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。
证明例2中线性方程组的系数矩阵为
1
2
2
A=1
1
1
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
2
2
于是
D=0
1
0
D
-1
=D
~
0
0
~
0
1
L1
U0
0
0
1
2
2
0
0
0
0
雅可比迭代矩阵为
B0=
1~~
1
0
0
0
2
2
0
2
2
D
0
1
0
1
0
1
1
0
1
(LU)
0
0
1
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
IB01
1
1
1
2
2
2
2
2
[
(
2)
2(
1)]
2[22
(1))
3
0
得到矩阵B0的特征根1,2,3
0,根据迭代基本定理
4,雅可比迭代法收
敛。
高斯-赛德尔迭代矩阵为
G=-(D
~
1~
L)
U
1
0
0
1
0
2
2
1
0
0
0
2
2
0
2
2
=-1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
2
3
2
2
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
2
2
2
IG0
2
3
(
2)2
0
0
0
2
解得特征根为1=0,2,3=2。
由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔
迭代发散。
例5填空选择题:
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
x
x
x
x
x
x
x
x
作第1
次消元后的第2,3
个方程分别
为
。
答案:
x2
0.5x3
1.5
2x21.5x33.5
解答选a21=2为主元,作行互换,第1个方程变为:
2x1+2x2+3x3=3,
消元得到
x20.5x31.5
2x21.5x33.5
是应填写的内容。
3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组
xxx
xxx
xxx
的迭代格式中x2(k1)
=
(k=0,1,2,)
答案:
3x1(k1)
x3(k)
解答:
高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果,求x2
的值时应该用上x1的新值。
第三章典型例题
例1已知函数y=f(x)的观察数据为
xk
-2
0
4
5
yk
5
1
-3
1
试构造拉格朗日插值多项式Pn(x),并计算f(-1)的近似值。
[只给4对数据,求得的多项式不超过
3次]
解先构造基函数
l
(x)
x(x
)(x
)
x(x
)(x
)
)(
)(
)
(
l
(x
)(x
)(x
)
(x
)(x
)(x
)
(x)
())(
)(
)
(
l(x)
(x
)x(x
)
x(x
)(x
)
)(
)(
)
(
l3
(x
2)x(x
4)
(x2)x(x
4)
(x)
2)(5
0)(5
4)
35
(5
所求三次多项式为
P3(x)=
n
yklk(x)
k0
=
x(x)(x)
+
(x)(x)(x)
-
x(x
)(x)
+
()
(x)x(x
)
=xxx
f(-1)P3(-1)=
例3设x,x,x,...,xn是n+1个互异的插值节点,lk(x)(k,,,...,n)是
拉格朗日插值基函数,证明:
(1)
n
(2)
n
lk(x)xkm
xm(m,,
k
lk(x)
k
...,n)
证明
(1)
()=
()+
(
)++(
n
)=
yklk(x)
Pnx
y0l0
xy1l1
x
ynln
x
k
0
f(n
)(
)
(x),
f(x)
Pn(x)
Rn(x)
Rn(x)
)!
n
(n
当
(
)1时,
fx
1=Pn(x)Rn(x)
k
f
(n
)
(
)
(x)
lk(x)
)!
n
k
(n
由于f
(n
)(x)
,故有
n
lk(x)
k
(2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,,n,对固定xm(0mn),作拉格朗日插值多项式,有
xm
n
xkmlk(x)
f
(n
)
()
Pn(x)Rn(x)
n(x)
k
(n
)!
当n>m-1时,f(n+1)(x)=0,Rn(x)=0,所以
n
xkmlk(x)xm
k
注意:
对于次数不超过n的多项式Qn(x)anxnanxn..axa,
利用上结果,有
Qn(x)anxn
anxn
..axa
=an
n
n
n
n
lk(x)xkn
an
lk(x)xkn
...a
lk(x)xka
lk(x)
k
k
k
k
n
n
=
lk(x)[anxkn
an1xkn1
...axk
a0]
Qn(xk)lk(x)
k
0
k
0
n
Qn(xk)lk(x)正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。
可见,Qn(x)的拉
上式
k
0
格朗日插值多项式就是它自身,即次数不超过
n
的多项式在
+1个互
n
异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例5已知数据如表的第2,3列,试用直线拟合这组数据。
解计算列入表中。
n=5。
a0,a1满足的法方程组是
k
xk
yk
xk
xkyk
1
1
4
1
4
2
2
4.5
4
9
3
3
6
9
18
4
4
8
16
32
5
5
8.5
25
42.5
153155105.5
aa
aa.
解得a0=2.45,a1=1.25。
所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x
例6选择填空题
1.设y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3个值,那么满足
(
)=
(=0,1,2)的
()的插值多项式
(
)是
(就唯一性回答问
Pxk
ykk
fx
Px
题)
答案:
唯一的
3.
拉格朗日插值多项式的余项是
(
),牛顿插值多项式的余项是
(
)
(A)Rn(x)f(x)
f(n)
()
n(x)
Pn(x)
)!
(n
(B)f(x,x0,x1,x2,,xn)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1)(x-xn)
f(n
)()
(C)Rn(x)f(x)Pn(x)
)!
(n
(D)f(x,x0,x1,x2,,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1)(x-xn)
答案:
(A),(D)。
见教材有关公式。
第四章典型例题
例1试确定求积公式f(x)dxf()f()的代数精度。
[依定义,对xk(k=0,1,2,3,),找公式精确成立的k数值]
解当f(x)取1,x,x2,时,计算求积公式何时精确成立。
(1)取f(x)=1,有
左边=f(x)dxdx,右边=f()f()
(2)取f(x)=x,有
左边=f(x)dxdx,右边=f()f()
(3)取f(x)=x2,有
左边=f(x)dxxdx,右边
=f()f()()()
(4)取f(x)=x3,有
左边=f(x)dxxdx,右边=f()f()()()
(5)取f(x)=x4,有
左
边
=
f(x)dxxdx
右
边
=f(
)f(
)(
)()
当k3求积公式精确成立,而x4公式不成立,可见该求积公式具有3次代数。
例5
h
h
试确定求积公式f(x)dx
2[f(0)f(h)]中的参
[f(0)f(h)]ah
0
2
数a,并证明该求积公式具有三次代数精度。
解公式中只有一个待定参数a。
当f(x)=1,x时,有
h
h[11]
0
即h=h
1dx
0
2
h
h[0
h]
ah2(11),h
2
h
2
x1dx
0
2
2
2
不能确定a,再令f(x)=x2,代入求积公式,得到
h
3
3
2dx
h[0h2]
ah2(202h),即h
h
2ah3
x
0
2
3
2
得a
h
h
2
[f(0)
f
(h)]
1.求积公式为
f(x)dxh[f(0)f(h)]
12
0
2
12
将()=
3代入上求积公式,有
fx
x
h
2
3dx
h[0h3]
h(303h2)
x
0
2
12
可见,该求积公式至少具有三次代数精度。
再将
(
)=
4代入上公式
fx
x
中,有
h
2
4dx
h[0h4]
h(404h3)
x
0
2
12
所以该求积公式具有三次代数精度。
例6选择填空题
1.牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点
是。
解答:
牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后,再估计其精度;高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。
第五章典型例题
例1证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要迭代多少次?
证明令f(x)=1-x-sinx
∵f(0)=1>0,f
(1)=-sin1<0
∴f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]有根。
又
f
()=1-cos>0(
[0,1]),故
()=0在区间[0,1]内有唯一实
x
xx
fx
根。
给定误差限=0.5×10-4,有
ln(b
a)
ln
ln.
ln
n
.
ln
ln
只要取n=14。
例2用迭代法求方程
x
5-4-2=0的最小正根。
计算过程保留4
x
位小数。
[分析]容易判断[1,2]是方程的有根区间。
若建立迭代格式
x
即(x)
x
(x)
x
(x
(,)),此时迭代发散。
x
建立迭代格式x
5
4x2,
(x)
54x
2,
(x)
4
4(1x2),
55(4x2)4
5
此时迭代收敛。
解建立迭代格式
x
x
(x)
x
(x)
4
4
x
2)),取初始值x0
1(可任取1,2之间的值)
(4x
2)4
(1
55
5
xx
1.4310
x
x
.
1.5051
xx.
xx.
取x1.5185
1.5165xx.1.5182
1.5185
例3试建立计算
a的牛顿迭代格式,并求
.的近似值,要
求迭代误差不超过10-5
[分析]首先建立迭代格式。
确定取几位小数
求到两个近似解之差
的绝对值不超过10-5。
解令x
a,f(x)
xa
,求x的值。
牛顿迭代格式为
xk
xk
f(xk)
xk
a
a
,...,)
f(xk)
xk
xk
(k
xk
xk
迭代误差不超过10-5,计算结果应保留小数点后6位。
当x=7或8时,x3=343或512,f()f(),而f()f(),取x0=8,
有
x
x
a
.
7.478078
x
x
x
a
.
.
7.439956
x
.
x
x
.
x
x
a
.
.
7.439760
x
.
x
x
.
x
x
a
.
.
7.439760
x
.
于是,取x
7.439760
例4用弦截法求方程x3-x2-1=0,在x=1.5附近的根。
计算中保留5位小数点。
[分析]先确定有根区间。
再代公式。
解f(x)=x3-x2-1,f
(1)=-1,f
(2)=3,有根区间取[1,2]
取x1=1,迭代公式为
xn
xn
f(xn)
(xn
xn
)(n=1,2,)
f(xn
f(xn)
)
x
x
x
x
(x
x
)
.
x
x
x
x
x
.
.
.
(.
)1.37662
.
.
x
.
.
.
(.
.)1.48881
.
.
.
.
.
.
(.
.
)1.46348
x.
.
.
.
.
x.
.
.
(.
.
)1.46553
.
.
.
.
取x1.46553,f
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