泊松分布的概念及表和查表方法.docx
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泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法
Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-DenisPoisson)在1838年时发表。
中文名
泊松分布
外文名
poissondistribution
分类
数学
时间
1838年
台译
卜瓦松分布
提出
西莫恩·德尼·泊松
1命名原因
2分布特点
3关系
4应用场景
5应用示例
6推导
7形式与性质
命名原因
泊松分布实例
泊松分布(Poissondistribution),台译卜瓦松分布(法语:
loidePoisson,英语:
Poissondistribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discreteprobabilitydistribution)。
泊松分布是以18~19世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-DenisPoisson)命名的,他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点
泊松分布的概率函数为:
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
特征函数为
关系
泊松分布与二项分布
泊松分布
当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。
通常当n≧20,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算。
事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景
在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位(在早期学界认为人类行为是服从泊松分布,2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性)。
应用示例
泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示:
例如采用㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×106核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。
实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式:
……
是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。
由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此
就意味着全部死亡的概率。
推导
泊松分布是最重要的离散分布之一,它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。
在一定时间内某交通路口所发生的事故个数,是一个典型的例子。
泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
为方便记,设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n,把时间段[0,1)分为等长的n段:
我们做如下两个假定:
1.在每段
内,恰发生一个事故的概率,近似的与这段时间的长
成正比,可设为
。
当n很大时,
很小时,在
这么短暂的一段时间内,要发生两次或者更多次事故是不可能的。
因此在
这段时间内不发生事故的概率为。
2.
各段是否发生事故是独立的
把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段
内有事故的时段数,则按照上述两个假定,X应服从二项分布
。
于是,我们有
注意到当
取极限时,我们有
因此
从上述推导可以看出:
泊松分布可作为二项分布的极限而得到。
一般的说,若
其中n很大,p很小,因而
不太大时,X的分布接近于泊松分布。
这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。
形式与性质
阶乘特点以及泰勒公式使得一类期望的计算十分简便
泊松分布——概率分布表
查表方法:
首先,泊松分布表的分布函数为:
F(x)=P{X<=x}=(k=0~x)Σ[λ^k*e^(-λ)]/k!
,也就是泊松分布的分布率从0加到x的和。
我想你的问题应该是问如何在泊松分布表中找到P{X=x}=
我们知道P{X=x}=P{X<=x}-P{X<=x-1}(因为泊松分布是离散型的)。
所以如果知道λ的值,在列表中找到对应的P{X<=x}与P{X<=x-1},相减就得到P{X=x}。
举个例子:
参数λ=时,P{X=8}是多少。
我们可以在泊松分布表中找到
P{X<=8}=,P{X<=7}=;
那么P{X=8}=P{X<=8}-P{X<=7}=。
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