校车期末考数学建模副本.docx
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校车期末考数学建模副本
校车安排问题
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摘要
校车的安排问题涉及到的问题很广泛,校车安排问题涉及到最短距离的求出与资源的最优化配置,以及教师工作人员对这种安排的满意度,和相关经费等问题。
这些问题关系到教师们的满意和运营商的利益,是应该认真考虑的。
关于这些问题的解决,可以利用计算机计算求解结果,然后统一实施安排。
最后,我们充分考虑现实生活中存在的一些情况,提出一些建议,以提高乘车人员的满意度,而且可以有效节省运行成本及相关费用。
本文针对高校新校区校车运行的安排问题,通过合理的抽象假设,建立了校车安排方案的优化模型。
从乘车点的距离最小,满意度最大又可节省运行成本等方面考虑,依据题目中所给条件分别建模求解。
在问题解决过程中使用了Warshall-Floyd算法,分析、建模、求解过程中利用MATLAB编写相应程序并对数据进行分析处理,最终得出结论。
校车安排问题采用数学方法同时也应该考虑实际情况,是一个典型的数学应用的问题。
关键字
数学建模;最短距离;最优解;floyd函数;lingo函数;满意度;计算机计算,图论;距离矩阵;MATLAB。
1.问题的提出
许多学校都建有新校区,常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。
由于每天到新校区的教师和工作人员很多,往往需要安排许多车辆。
如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。
现有如下问题请你设计解决。
假设老校区的教师和工作人员分布在50个区,各区的距离见表1。
各区人员分布见表2。
问题1:
如要建立
个乘车点,为使各区人员到最近乘车点的距离最小,该将校车乘车点应建立在哪
个点。
建立一般模型,并给出
时的结果。
问题2:
若考虑每个区的乘车人数,为使教师和工作人员满意度最大,该将校车乘车点应建立在哪
个点。
建立一般模型,并给出
时的结果。
问题3:
若建立3个乘车点,为使教师和工作人员尽量满意,至少需要安排多少辆车?
给出每个乘车点的位置和车辆数。
设每辆车最多载客47人。
问题4:
关于校车安排问题,你还有什么好的建议和考虑。
可以提高乘车人员的满意度,又可节省运行成本。
表1各区距离表
区域号
区域号
距离(m)
1
2
400
1
3
450
2
4
300
2
21
230
2
47
140
3
4
600
4
5
210
4
19
310
5
6
230
5
7
200
6
7
320
6
8
340
7
8
170
7
18
160
8
9
200
8
15
285
9
10
180
10
11
150
10
15
160
11
12
140
11
14
130
12
13
200
13
34
400
14
15
190
14
26
190
15
16
170
15
17
250
16
17
140
16
18
130
17
27
240
18
19
204
18
25
180
19
20
140
19
24
175
20
21
180
20
24
190
21
22
300
21
23
270
21
47
350
22
44
160
22
45
270
22
48
180
23
24
240
23
29
210
23
30
290
23
44
150
24
25
170
24
28
130
26
27
140
26
34
320
27
28
190
28
29
260
29
31
190
30
31
240
30
42
130
30
43
210
31
32
230
31
36
260
31
50
210
32
33
190
32
35
140
32
36
240
33
34
210
35
37
160
36
39
180
36
40
190
37
38
135
38
39
130
39
41
310
40
41
140
40
50
190
42
50
200
43
44
260
43
45
210
45
46
240
46
48
280
48
49
200
表2各区人员分布
区域
人数
区域
人数
1
65
26
16
2
67
27
94
3
42
28
18
4
34
29
29
5
38
30
75
6
29
31
10
7
17
32
86
8
64
33
70
9
39
34
56
10
20
35
65
11
61
36
26
12
47
37
80
13
66
38
90
14
21
39
47
15
70
40
40
16
85
41
57
17
12
42
40
18
35
43
69
19
48
44
67
20
54
45
20
21
49
46
18
22
12
47
68
23
54
48
72
24
46
49
76
25
76
50
62
2.问题的分析
问题一的分析
这是一个最优化问题。
主要涉及最短路程问题。
目的是在校园里设立
个乘车点,使各区人员到最近乘车点的距离最小。
在假设所有乘车点都设在各区域内,而不设在路上前提下,50
的情况就没有意义,所以仅考虑1
50的情况。
这时我们分四步思考:
首先,我们从
个小区中任意选出
个小区作为乘车点;然后,算出每个小区分别到这
个乘车点的可能途径的路程,再经过比较确定每一个小区到这
个乘车点中每一个乘车点的最短路程;之后可确定每一个小区的最近乘车点,再把每一个小区到距离它最近的乘车点的路程加起来得
,依次类推把这
种可能
的都算出来;比较这五十
,最小的
对应的
个小区就作为建立
个乘车点的最佳乘车点!
问题二的分析
和问题一相似,也是一个求最小路程和的问题,解法基本相同。
不同之处在于考虑人数以后,应该用每个小区与所属的最近乘车点的距离与该小区的人数做乘积,并用所得积相加,得出的为最短路程。
问题三的分析
该问要同时求出最优的三个乘车点和最优的车辆分配方案,为简化模型起见,我们直接用问题二的3个点17,22,31点作为乘车点,使教师和工作人员尽量满意,我们假设这个满意度是以教师和工作人员到乘车点所走的总距离和为量度。
一、考虑到现实情况中并不是所有的教师会在同一时间坐车去新校区,因为并不是所有的教师都在同一时间上课,
二、考虑到因为是学校内部的教师专用车,所以通常教师坐车会集中在几个时间段,大致服从以下坐标系的分布
三.一般而言,早上坐车的老师在一天中所占比例最高,设为p1,这个比例的求出可以通过抽样调查的方式确定。
对全体2501位老师进行抽样调查,得出他们在上午8点坐车的比例在每周的五个工作日的平均值。
问题四的分析
我们要解决的问题是:
矛盾主要集中在教师和工作人员都希望随到随走,而运营商又希望每一辆车都有尽可能多的上座率,由此来降低运营成本,同时运营商的做法也是一个关乎节约资源保护环境的问题。
解决这个矛盾应该合理调整发车时间与学校作息时间的关系(春夏季与秋冬季采用不同的发车时刻表),在淡季采用区间车集中乘客,在高峰期与淡季采用不同载客量的汽车,与附近学校协商采用不同的作息时间并共同采购利用部分汽车等等具体方法。
提高乘车人员的满意度,节省运行成本。
即协调乘车人员想随到随走的期望和运行商想车座满后再走的矛盾。
3.基本假设
模型的假设
(1)、假设所有乘车点设立在各小区(点)上,乘车站点不设立在路上。
为简单起见,假设所有的站点和小区为一个质点不考虑它的实际大小。
(2)、题目中表1所给出的两区距离的两小区之间可以直达,未给出小区距离的两小区之间必须通过有已知距离小区绕行。
(3)、假设在校园里交通是畅通无阻的,在路上不会发生任何意外。
(4)、假设车的状况都相同。
(5)、忽略坐上车之后耗时(根据绝大多数人的心理,坐上车之后就感觉很快就会到达目的地)及其他因素对学生满意程度的影响。
(6)、假设人们对满意度的评价只和去乘车点所走路程总和为参考,假设所有人走路速度基本相同,假设人们坐上车就会很快出发。
4.定义符号说明
P(i)(1≤i≤50):
小区的编号
Q(j)(1≤j≤50):
个乘车点中的第j个乘车点
L(ij):
小区P(i)(1≤i≤50)到乘车点Q(j)(1≤j≤50)的最短路程
M(i):
小区到P(i)(1≤i≤50)达n个乘车点中距离各自最近的乘车点的最短路程
S(n):
各小区到达n个乘车点中距离各自最近的乘车点的最短路程之和
D(n):
各小区到达n个乘车点中距离最短的距离与该小区人数乘积的路程之和
N(i):
表示在小区P(i)(1≤i≤50)内的总人数
5.模型的建立
第一题的模型建立和求解
当选取n个乘车点时,共有C50n种选择情况,对于每一种情况均可得出以下两个矩阵
(其中的M
(1)M
(2)M(3)M(4)……M(50)可能为同一个乘车点)
所以又S(n)=M
(1)+M
(2)M+(3)+M(4)+……+M(50)
针对C50n种情况分别求出S(n)则目标函数minS(n)就是所求的最短路程,它所对应的Q(j)就是对应的n个作为站点的小区,这样就可以解出所对应的小区。
当n=2时就有C502种选法,用matlab对每一种情况进行运算,可以得到minS
(2)时所对应的两个站点。
当n=3时就有C503种选法,用matlab对每一种情况进行运算,可以得到minS(3)时所对应的三个站点。
(运算程序详见附录二)
当3≤n≤50时和上述相同计算就可以得出对应的n各站点。
第二题的模型建立和求解
与第一题模型及求解的不同之处为将S(n)替换为D(n)
D(n)=M
(1)*N
(1)+M
(2)*N
(2)+M(3)*N(3)+……+M(50)*N(50)
针对C50n种情况分别求出D(n)则目标函数minD(n)就是所求的最短路程,它所对应的Q(j)就是对应的n个作为站点的小区,这样就可以解出所对应的小区。
第三题的模型建立和求解
为简化计算,按照第二题计算出的结论,应该在16号小区、23号小和32号小区建立乘车点,则各个乘车点所需承担的乘客量可以算出
第四题的模型建立和求解
为解决教师和工作人员都希望随到随走,而运营商又希望每一辆车都有尽可能多的上座率,由此来降低运营成本的矛盾,应该统计相应时间段乘车人数,从而在不同的时间段派出不同的车次进行运营,由于缺乏相关数据,只做出大概方案:
在早上7:
00—8:
00、中午12:
00—13:
00、下午14:
00—15:
00、下午17:
00—18:
00以及晚上21:
00—22:
00应集中80%甚至更高的运营车辆进行运营,其他时间则均衡个发车时间的时间差发车。
6.模型的求解
第一题模型的求解
任意两个小区的最短距离可以利用floyd算法(floyd算法简介见附录一)进行计算,下面列出1--10小区之间的最短距离。
1--10小区任意两区之间的最短距离
区号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
400
450
700
910
1140
1110
1280
1480
1614
2
400
0
850
300
510
740
710
880
1080
1214
3
450
850
0
810
600
830
800
970
1170
1350
4
700
300
600
0
210
440
410
580
780
960
5
910
510
810
210
0
230
200
370
570
750
6
1140
740
1040
440
230
0
320
340
540
720
7
1110
710
1010
410
200
320
0
170
370
550
8
1280
880
1180
580
370
340
170
0
200
380
9
1480
1080
1380
780
570
540
370
200
0
180
10
1614
1214
1560
960
750
720
550
380
180
0
当n=2时,可以求出当乘车点建在18号小区和31号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小,最短路程和为24338m。
当n=3时,可以求出当乘车点建在15号小区、21号小和31号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小,,最短路程19660m。
第二题模型的求解
当n=2时,可以求出当乘车点建在24号小区和32号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小。
当n=3时,可以求出当乘车点建在16号小区、23号小和32号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小。
第三题模型的求解
去16号小区坐车的点及其人数
小区
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
25
26
27
28
合计
人数
42
34
38
29
17
64
39
20
61
47
66
21
70
85
12
35
48
76
16
94
18
932
去23号小区坐车的点及其人数
小区
1
2
20
21
22
23
24
43
44
45
46
47
48
49
合计
人数
65
67
54
49
12
54
46
69
67
20
18
68
72
76
737
去32号小区坐车的点及其人数
小区
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
50
合计
人数
29
75
10
86
70
56
65
26
80
90
47
40
57
40
62
833
则所需车辆及对应站点为
16号小区
23号小区
32号小区
所需车辆数
20
16
18
第四题模型的求解
通过对第三题的解答可知,每个站点都存在空座的情况,所以我们建议在站点校车空座率较高的情况下时,在其他站点进行一次巡游。
当校车型号单一时,很容易造成某些站点乘客难以乘车而其他某些站点又大量空座的情况,这种方案最大限度的节省了成本,相当于所有乘客集中乘车。
其他方案按照学校具体情况考虑。
7.结果分析
对小区乘客做满意度问卷调查,从而获得教师和工作人员的意见反馈,并由此得出所计算结果是否正确。
该模型结构简单,而且便于计算,模型的计算采用专业的数学软件,可信度较高,当数据量很大时,此优势更加突出。
但是模型的影响因素过于单一化,使得结果与实际情况有些误差。
比如存在车载量未满开走或车辆等候教师及工作人员而停滞的现象。
未考虑到天气(阴雨天)、时间(节假日)及每个人的具体情况。
例外模型缺少实际调查的统计数据,缺乏说服力。
8.模型的评价与改进
1、本模型运用相关数学及计算机知识,成功解决了如何安排有限个站点使老师和工作人员满意度最高的问题。
在假设条件下,该模型精确地给出了站点位置。
2、通过MATLAB编程我们可以得到任意两个区之间的最短路径,并且可以得了任意两个区最短路径具体的路线。
参考文献
[1]姜启源谢金星等,《数学模型(第三版)》,高等教育出版社,2010。
[2]林旭梅,葛广英,《MATLAB实用教程》,石油大学出版社,2010。
[3]同济大学应用数学系,《工程数学线性代数》,高等教育出版社,2008。
[4]未知,《有关校车安排问题的数学建模》,XX文库,2011。
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