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下t分布f分布
第七章
第三节(下)
t分布和F分布
三、t分布
定理设X〜N(0,1),Y〜2(n),
且X与丫相互独立,则随机变量
-^ 称T服从自由度为n的t分布,记作T~t(n). 证X的概率密度是 fx(x) 丫的概率密度fv(y)由式(7.3)给出, X,Y的联合概率密度是 _u2 e2fY(v), 于是, X u2 P(x)=P 1-■ 二..e2fY(v)dudv .x2 作变量替换: u=t\s,VS, 它的雅可比行列式是 cucu 丄vs J= csct = 2js eVeV csct 10 Js 于是 nV p( 」(1卅2) s2e2dsdt dt 1ds 2 z2e(1t)zdz 由于 ■1 (1 所以 X P{Y/n 上式两边对x求导,即得式(7.5)・ (1 fn(X 二Cn(1 inm(1 limCn(1 n“1 C _OQ t占 伽[⑴;门 (1 t2 )2dt, dt =limCnlim: (1 -: 4 Timc「edt二 n]・ 2n1 t厂dt n limG2, n_. lim。 =2, limfn(t)Tim°(1》 2n-1 2 图7-2给出了当n=1,4,10时的t(n)分布的密度函数曲线,它的图形关于t=0对称,且当n,「时,有 limfn(t)二 t2 故当n很大时,t分布近似于N(0,1).然而对于比较小的n的值,t分布与正态分布之间有较大的差异• x F(xpP{「x厂f(t)dt, F(xpf(x)0, F(x)严格单增, F(: : 厂(0,1)是对应, 对给定: •: —1,存在唯一t(n), 使得F(t,(n))…, 即对于给定的: : 0^1,可查t分布表(见附录三)求出t(n),满足 t曲) F(t(n)PP{T空t(n)}二f(t)dt二: , 的点ta(n)称为t分布的(下侧)a分位占 八、、■ t分布的分位点的性质: 由f(t)的对称性,即f(t)是偶函数,可得 1 F(x)+F(x)=1,F(0)=; (1)t||nn), P{T£t_(n)}M-, P{Tt,_: (n)}… (2)数t(n),满足 I^― 2 P{「Kn)}" 则P{|T|J,(n)}=1-: ; _2 P{|T|t,(n)}…, 称「"(n)为双侧: 分位点• 当n>45时,t分布表中没有列出,此时可查标准正态分布表,得乙,且有 ta(n)~Zc• 例5设Xi,X2,|l|,X32为来自于正态 总体NC,42)的样本,令 16 '(X-1) Y=右, 吒7区-“)2 求Y的分布. 解由题设条件,得 16 '(Xj」)〜N(0,1642), i=1 16116 、(Xj」)=16—'(Xj」)=16U iW16i=1 )2〜2(16) 32 其中V八( j丄7 显然U与V相互独立,由t分布的定义知, 16 '(X—) i丄16UU j」7 于是丫服从自由度16的t分布.定理四设X1,X2r,Xn相互独立, 且都服从N(*2),则有 因为 X〜NC/2/n), X-1 U〜N(0,1) (3 \n ——x-1二 二rU, 、n V=〜2(n-1) CT 显然 于是 22 —哼S2——V(n-1)二2(n-1), U与V相互独立, X-J s、n a —U—U i\n=,v〜t(n_1). (n-1) 设X1,X2,…,Xm和…,Yn分别是从正态总体)和N「2广2)中所抽取 (nA 定理五 Y1,丫2, N(」J2 的独立样本,则 (X-Y)-c) T二 (^1)Sf(n-1)s; mn(mn-2) mn 〜t(mn- 证因为 2),(7・7) X〜NC 2 CJ 1,), m 2 CT 2J 丫〜N(J,) n 所以 tj X-Y〜N(J」,——m n), 于是 (XTV)〜n(0,1) 11 mn 由定理三知 (n% 2(n1) 且它们相互独立.由定理二可知 (mn-2) 又由定理三知U,V独立, 于是按t分布的定义得 (X-丫)-l2)|mn(mn-2) 寸(m-1)S2(nT)S;'mn 例6设总体X〜N(»i严2), Y~N(S广2),X与丫相互独立, XX•…X; 12n, Yi,Y2,…,Ym分别是来自X和丫的 样本,X,丫分别是两个样本的样 n 本均值,Si2八(X厂X)2/(n_1), i7 试求下面统计量的分布: T= EA/nRl/m 由正态总体样本函数的分布 知, 22 X〜N(1,: /n),Y〜NC2广/m), 因而 22 X-Y〜NCi-\//n二/m),经标准化得到 X-丫-(J-\) 71/n1/m 〜N(0,1) 又由定理三知 再由t分布定义知 2 (n-1)S1\—t(n.) “(n-1) 〜t(n_1) X-丫-("1-"2) S八1/n1/m 四、F分布 定理设X-2(nJ,丫〜2(n2), 且X与丫相互独立,则随机变量 的概率密度为 nnn1丄 (比)(nu)2(1 n2n2 0, 我们称F服从自由度为g,n2)的 F分布,记作F~F(n1,n2). 证明略 f(u)的图形入图7-3所示. 对于给定的: : 0^1,查F分布 表(见附录五)可得分位点F: 5,n2),使得 f: .(m,%) P{F辽F: (n1,n2)}=f(u)du八, 且不难验证下式成立: 利用上式,可以求出F分布表中没 有列出的其他数值• 例7设X,X2,…,X.为正态总体N(1,「)的样本,若 1812 22 (Xj-1)(X-1)H0.95, j43V 已知Fo,5(12,6)=4,即P{F(12,6厂4}=0.95,求常数a的值. 因为 所以有1=4,即a=1二0.1252a8 2 定理设总体X〜N(n), X「X2,,Xn为来自于总体X的样本; 总体丫〜NCJ;),丫1,丫2,,Ym为来自于总体丫的样本,X与Y独立. X=丄、Xi,s;=丄、X-X),ni土n—1i -im1m 丫=J,◎荷l(丫厂丫)2, 则 (1) mY-- 亠二(一12)2〜2(nm); j吕C2 (2)吁s2〜S, (m-1) S|-2(m-1) (m-1) 2 X 例8设百 相互独立,求T2的分布. 解因为X〜N(0,1),所以X2T2 (1),由题设知丫〜2(n),由X与丫相互 独立,得到X2与丫相互独立, 例9设X「X2,,Xn为来自总体 X〜N(叮的样本,试确定常数 使服从F分布• 解因为 X〜NCr2/n), 所以 〜N(0,1), 且与口S2相互独立,/n 由于 i=m1 由于丫 m 2 ('Xi) i4 n 'Xi2 i=m1 =c ~tn-m「 所以,当时, m CXi)2 Y=服从F(1,n_m)分布. Xi i=m1 16 18 2 a'(Xi-1)}=0.95, i=1
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