天水中考数学试题.docx
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天水中考数学试题
2015年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。
每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来)
1.(4分)(2015•天水)若a与1互为相反数,则|a+1|等于( )
A.﹣1B.0C.1D.2
2.(4分)(2015•天水)如图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A.圆柱B.圆锥C.正三棱柱D.正三棱锥
3.(4分)(2015•天水)某种细胞的直径是厘米,将用科学记数法表示为( )
A.×10﹣5B.×10﹣6C.×10﹣5D.×10﹣6
4.(4分)(2015•天水)在天水市汉字听写大赛中,10名学生得分情况如表
人数3421
分数80859095
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是( )
A.85和B.和85C.85和85D.和80
5.(4分)(2015•天水)二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是( )
A.﹣3B.﹣1C.2D.3
6.(4分)(2015•天水)一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形,则该圆柱的底面圆半径是( )
A.B.C.或D.或
7.(4分)(2015•天水)如图,将矩形纸带ABCD,沿EF折叠后,C、D两点分别落在C′、D′的位置,经测量得∠EFB=65°,则∠AED′的度数是( )
A.65°B.55°C.50°D.25°
8.(4分)(2015•天水)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
9.(4分)(2015•天水)如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径(C点与A点不重合),CF⊥CD交AB于点F,DE⊥CD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C在上运动时,设的长为x,CF+DE=y.则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A.B.C.D.
10.(4分)(2015•天水)定义运算:
a⊗b=a(1﹣b).下面给出了关于这种运算的几种结论:
①2⊗(﹣2)=6,②a⊗b=b⊗a,③若a+b=0,则(a⊗a)+(b⊗b)=2ab,④若a⊗b=0,则a=0或b=1,其中结论正确的序号是( )
A.①④B.①③C.②③④D.①②④
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。
只要求填写最简结果)
11.(4分)(2015•天水)相切两圆的半径分别是5和3,则该两圆的圆心距是 .
12.(4分)(2015•天水)不等式组的所有整数解是 .
13.(4分)(2015•天水)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为 .
14.(4分)(2015•天水)一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是 .
15.(4分)(2015•天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是 米.
16.(4分)(2015•天水)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是 .
17.(4分)(2015•天水)下列函数(其中n为常数,且n>1)
①y=(x>0);②y=(n﹣1)x;③y=(x>0);④y=(1﹣n)x+1;⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,y的值随x的值增大而增大的函数有 个.
18.(4分)(2015•天水)正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3,按如图放置,其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上,点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上,则点A3的坐标为 .
三、解答题(本大题共3小题,共28分。
解答时写出必要的文字说明及演算过程。
)
19.(9分)(2015•天水)计算:
(1)(π﹣3)0+﹣2cos45°﹣
(2)若x+=3,求的值.
20.(9分)(2015•天水)2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈,≈)
21.(10分)(2015•天水)如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(﹣3,0),经过A、O两点作半径为的⊙C,交y轴的负半轴于点B.
(1)求B点的坐标;
(2)过B点作⊙C的切线交x轴于点D,求直线BD的解析式.
四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。
)
22.(8分)(2015•天水)钓鱼岛是我国固有领土.某校七年级(15)班举行“爱国教育”为主题班会时,就有关钓鱼岛新闻的获取途径,对本班50名学生进行调查(要求每位同学,只选自己最认可的一项),并绘制如图所示的扇形统计图.
(1)该班学生选择“报刊”的有 人.在扇形统计图中,“其它”所在扇形区域的圆心角是 度.(直接填结果)
(2)如果该校七年级有1500名学生,利用样本估计选择“网站”的七年级学生约有 人.(直接填结果)
(3)如果七年级(15)班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调查,求恰好选用“网站”和“课堂”的概率.(用树状图或列表法分析解答)
23.(8分)(2015•天水)天水“伏羲文化节”商品交易会上,某商人将每件进价为8元的纪念品,按每件9元出售,每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润,经实验,发现这种纪念品每件提价1元,每天的销售量会减少4件.
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式.
(2)每件售价定为多少元,才能使一天所得的利润最大?
最大利润是多少元?
24.(10分)(2015•天水)如图,点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5.
(1)求m、n的值并写出该反比例函数的解析式.
(2)点E在线段CD上,S△ABE=10,求点E的坐标.
25.(12分)(2015•天水)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.求证:
(1)AC•PD=AP•BC;
(2)PE=PD.
26.(12分)(2015•天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.
(2)平移
(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:
平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.
(3)在
(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?
若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由.
2015年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。
每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来)
1.(4分)(2015•天水)若a与1互为相反数,则|a+1|等于( )
A.﹣1B.0C.1D.2
考点:
绝对值;相反数.
分析:
根据绝对值和相反数的定义求解即可.
解答:
解:
因为互为相反数的两数和为0,所以a+1=0;
因为0的绝对值是0,则|a+1|=|0|=0.
故选B.
点评:
本题考查了绝对值与相反数,绝对值的定义:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.相反数的定义:
只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.
2.(4分)(2015•天水)如图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A.圆柱B.圆锥C.正三棱柱D.正三棱锥
考点:
由三视图判断几何体.
分析:
根据三视图易得此几何体为圆锥.
解答:
解:
根据几何体的三视图即可知道几何体是圆锥.
故选B.
点评:
此题主要考查了由三视图判断几何体的应用,关键是能理解三视图的意义,培养了学生的观察图形的能力.
3.(4分)(2015•天水)某种细胞的直径是厘米,将用科学记数法表示为( )
A.×10﹣5B.×10﹣6C.×10﹣5D.×10﹣6
考点:
科学记数法—表示较小的数.
分析:
直接根据科学计数法的表示方法即可得出结论.
解答:
解:
∵中第一位非零数字前有5个0,
∴用科学记数法表示为×10﹣5.
故选A.
点评:
本题考查的是科学计数法,再用科学计数法表示小于0的数时,n的值等于第一位非零数字前所有0的个数(含小数点前的0).
4.(4分)(2015•天水)在天水市汉字听写大赛中,10名学生得分情况如表
人数3421
分数80859095
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是( )
A.85和B.和85C.85和85D.和80
考点:
众数;中位数.
分析:
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,可得答案.
解答:
解:
在这一组数据中85是出现次数最多的,故众数是85;
而将这组数据从小到大的顺序排列80,80,80,85,85,85,85,90,90,95,
处于中间位置的那个数是85,85,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是=85;
故选:
C.
点评:
本题为统计题,考查极差、众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
5.(4分)(2015•天水)二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是( )
A.﹣3B.﹣1C.2D.3
考点:
二次函数图象上点的坐标特征.
专题:
计算题.
分析:
根据二次函数图象上点的坐标特征,把(1,1)代入解析式可得到a+b的值,然后计算a+b+1的值.
解答:
解:
∵二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),
∴a+b﹣1=1,
∴a+b=2,
∴a+b+1=3.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:
二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
6.(4分)(2015•天水)一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形,则该圆柱的底面圆半径是( )
A.B.C.或D.或
考点:
几何体的展开图.
专题:
计算题.
分析:
分8为底面周长与6为底面周长两种情况,求出底面半径即可.
解答:
解:
若6为圆柱的高,8为底面周长,此时底面半径为=;
若8为圆柱的高,6为底面周长,此时底面半径为=,
故选C.
点评:
此题考查了几何体的展开图,利用了分类讨论的思想,分类讨论时注意不重不漏,考虑问题要全面.
7.(4分)(2015•天水)如图,将矩形纸带ABCD,沿EF折叠后,C、D两点分别落在C′、D′的位置,经测量得∠EFB=65°,则∠AED′的度数是( )
A.65°B.55°C.50°D.25°
考点:
平行线的性质;翻折变换(折叠问题).
分析:
先根据平行线的性质求出∠DEF的度数,再由图形翻折变换的性质求出∠DED′的度数,根据补角的定义即可得出结论.
解答:
解:
∵AD∥BC,∠EFB=65°,
∴∠DEF=65°,
∴∠DED′=2∠DEF=130°,
∴∠AED′=180°﹣130°=50°.
故选C.
点评:
本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,内错角相等.
8.(4分)(2015•天水)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
考点:
等腰直角三角形;点到直线的距离.
分析:
首先作出AB、AD边上的点P(点A)到BD的垂线段AE,即点P到BD的最长距离,作出BC、CD的点P(点C)到BD的垂线段CF,即点P到BD的最长距离,由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案.
解答:
解:
过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于F,
∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°,
∵sin∠ABD=,
∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°
=2•=2>,
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个,
故选A.
点评:
本题考查了解直角三角形和点到直线的距离,解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案.
9.(4分)(2015•天水)如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径(C点与A点不重合),CF⊥CD交AB于点F,DE⊥CD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C在上运动时,设的长为x,CF+DE=y.则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A.B.C.D.
考点:
动点问题的函数图象.
分析:
根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的弦心距为定值,据此可以得到函数的图象.
解答:
解:
作OH⊥CD于点H,
∴H为CD的中点,
∵CF⊥CD交AB于F,DE⊥CD交AB于E,
∴OH为直角梯形的中位线,
∵弦CD为定长,
∴CF+DE=y为定值,
故选B.
点评:
本题考查了动点问题的函数图象,解题的关键是化动为静.
10.(4分)(2015•天水)定义运算:
a⊗b=a(1﹣b).下面给出了关于这种运算的几种结论:
①2⊗(﹣2)=6,②a⊗b=b⊗a,③若a+b=0,则(a⊗a)+(b⊗b)=2ab,④若a⊗b=0,则a=0或b=1,其中结论正确的序号是( )
A.①④B.①③C.②③④D.①②④
考点:
整式的混合运算;有理数的混合运算.
专题:
新定义.
分析:
各项利用题中的新定义计算得到结果,即可做出判断.
解答:
解:
根据题意得:
2⊗(﹣2)=2×(1+2)=6,选项①正确;
a⊗b=a(1﹣b)=a﹣ab,b⊗a=b(1﹣a)=b﹣ab,不一定相等,选项②错误;
(a⊗a)+(b⊗b)=a(1﹣a)+b(1﹣b)=a+b﹣a2﹣b2≠2ab,选项③错误;
若a⊗b=a(1﹣b)=0,则a=0或b=1,选项④正确,
故选A
点评:
此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。
只要求填写最简结果)
11.(4分)(2015•天水)相切两圆的半径分别是5和3,则该两圆的圆心距是 2或8 .
考点:
圆与圆的位置关系.
专题:
计算题.
分析:
根据两圆内切或外切两种情况,求出圆心距即可.
解答:
解:
若两圆内切,圆心距为5﹣3=2;
若两圆外切,圆心距为5+3=8,
故答案为:
2或8
点评:
此题考查了圆与圆的位置关系,利用了分类讨论的思想,分类讨论时做到不重不漏,考虑问题要全面.
12.(4分)(2015•天水)不等式组的所有整数解是 0 .
考点:
一元一次不等式组的整数解.
分析:
先求出两个不等式的解集,再求其公共解,然后写出范围内的整数即可.
解答:
解:
,
解不等式①得,x>﹣,
解不等式②得,x<1,
所以不等式组的解集为﹣x<1,
所以原不等式组的整数解是0.
故答案为:
0.
点评:
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:
同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).
13.(4分)(2015•天水)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为 .
考点:
圆周角定理;锐角三角函数的定义.
专题:
网格型.
分析:
根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC,然后求出tan∠ABC的值即可.
解答:
解:
由图可得,∠AED=∠ABC,
∵⊙O在边长为1的网格格点上,
∴AB=2,AC=1,
则tan∠ABC==,
∴tan∠AED=.
故答案为:
.
点评:
本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义,解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等.
14.(4分)(2015•天水)一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是 x1=x2= .
考点:
解一元二次方程-配方法.
分析:
先分解因式,即可得出完全平方式,求出方程的解即可.
解答:
解:
x2+3﹣2x=0
(x﹣)2=0
∴x1=x2=.
故答案为:
x1=x2=.
点评:
此题考查了解一元二次方程,熟练掌握求根的方法是解本题的关键.
15.(4分)(2015•天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是 8 米.
考点:
相似三角形的应用.
分析:
首先证明△ABP∽△CDP,可得=,再代入相应数据可得答案.
解答:
解:
由题意可得:
∠APE=∠CPE,
∴∠APB=∠CPD,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABP=∠CDP=90°,
∴△ABP∽△CDP,
∴=,
∵AB=2米,BP=3米,PD=12米,
∴=,
CD=8米,
故答案为:
8.
点评:
此题主要考查了相似三角形的应用,关键是掌握相似三角形对应边成比例.
16.(4分)(2015•天水)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是 4π .
考点:
弧长的计算;等边三角形的性质.
专题:
压轴题.
分析:
弧CD,弧DE,弧EF的圆心角都是120度,半径分别是1,2,3,利用弧长的计算公式可以求得三条弧长,三条弧的和就是所求曲线的长.
解答:
解:
弧CD的长是=,
弧DE的长是:
=,
弧EF的长是:
=2π,
则曲线CDEF的长是:
++2π=4π.
故答案为:
4π.
点评:
本题考查了弧长的计算公式,理解弧CD,弧DE,弧EF的圆心角都是120度,半径分别是1,2,3是解题的关键.
17.(4分)(2015•天水)下列函数(其中n为常数,且n>1)
①y=(x>0);②y=(n﹣1)x;③y=(x>0);④y=(1﹣n)x+1;⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,y的值随x的值增大而增大的函数有 3 个.
考点:
二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
分析:
分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可.
解答:
解:
①y=(x>0),n>1,y的值随x的值增大而减小;
②y=(n﹣1)x,n>1,y的值随x的值增大而增大;
③y=(x>0)n>1,y的值随x的值增大而增大;
④y=(1﹣n)x+1,n>1,y的值随x的值增大而减小;
⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,n>1,y的值随x的值增大而增大;
y的值随x的值增大而增大的函数有3个,
故答案为:
3.
点评:
此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质,关键是掌握正比例函数y=kx(k≠0),k>0时,y的值随x的值增大而增大;一次函数的性质:
k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降;二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;反比例函数的性质,当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.
18.(4分)(2015•天水)正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3,按如图放置,其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上,点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上,则点A3的坐标为 (,0) .
考点:
正方形的性质;一次函数图象上点的坐标特征.
专题:
规律型.
分析:
设正方形OA1B1C1的边长为t,则B1(t,t),根据t一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2,解得t=1,得到B1(1,1),然后利用同样的方法可求得B2(,),B3(,),则A3(,0).
解答:
解:
设正方形OA1B1C1的边长为t,则B1(t,t),所以t=﹣t+2,解得t=1,得到B1(1,1);
设正方形A1A2B2C2的边长为a,则B2(1+a,a),a=﹣(1+a)+2,解得a=,得到B2(,);
设正方形A2A3B3C3的边长为b,则B3(+b,b),b=﹣(+b)+2,解得b=,得到B3(,),
所以A3(,0).
故答案为(,0).
点评:
本题考查了正方形的性质:
正方形的四条边都相等,四个角都是直角.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.
三、解答题(本大题共3小题,共28分。
解答时写出必要的文字说明及演算过程。
)
19.(9分)(2015•天水)计算:
(1)(π﹣3)0+﹣2cos45°﹣
(2)若x+=3,求的值.
考点:
实数的运算;分式的化简求值;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析:
(1)根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答;
(2)分子分母同时除以x2,配方后整体代入即可解答.
解答:
解:
(1)原式=1+3﹣2×﹣8=2﹣7;
(2)原式==
=
=
=.
点评:
(1)本题考查了实数运算,熟悉0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义是解题的关键;
(2)本题考查了分式的化简求值,熟悉配方法是解题的关键.
20.(9分)(2015•天水)2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参
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- 天水 中考 数学试题