计量作业第章.docx
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计量作业第章
第二章一元线性回归模型
1、最小二乘法对随机误差项u作了哪些假定?
说明这些假定条件的意义。
答:
假定条件:
(1)均值假设:
E(ui)=0,i=1,2,…;
(2)同方差假设:
Var(ui)=E[ui-E(ui)]2=E(ui2)=σu2,i=1,2,…;
(3)序列不相关假设:
Cov(ui,uj)=E[ui-E(ui)][uj-E(uj)]=E(uiuj)=0,i≠j,i,j=1,2,…;
(4)Cov(ui,Xi)=E[ui-E(ui)][Xi-E(Xi)]=E(uiXi)=0;
(5)ui服从正态分布,ui~N(0,σu2)。
意义:
有了这些假定条件,就可以用普通最小二乘法估计回归模型的参数。
2、阐述对样本回归模型拟合优度的检验及回归系数估计值显着性检验的步骤。
答:
样本回归模型拟合优度的检验:
可通过总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数来检验。
回归系数估计值显着性检验的步骤:
(1)提出原假设H0:
β1=0;
(2)备择假设H1:
β1≠0;
(3)计算t=β1/Sβ1;
(4)给出显着性水平α,查自由度v=n-2的t分布表,得临界值tα/2(n-2);
(5)作出判断。
如果|t| β1=0,表明X对Y无显着影响,一元线性回归模型无意义;如果|t|>tα/2(n-2),拒绝H0,接受H1: β1≠0,表明X对Y有显着影响。 4、试说明为什么∑ei2的自由度等于n-2。 答: 在模型中,自由度指样本中可以自由变动的独立不相关的变量个数。 当有约束条件时,自由度减少,其计算公式: 自由度=样本个数-受约束条件的个数,即df=n-k。 一元线性回归中SSE残差的平方和,其自由度为n-2,因为计算残差时用到回归方程,回归方程中有两个未知参数β0和β1,而这两个参数需要两个约束条件予以确定,由此减去2,也即其自由度为n-2。 5、试说明样本可决系数与样本相关系数的关系及区别,以及样本相关系数与β^1的关系。 答: 样本相关系数r的数值等于样本可决系数的平方根,符号与β1相同。 但样本相关系数与样本可决系数在概念上有明显的区别,r建立在相关分析的理论基础之上,研究两个随机变量X与Y之间的线性相关关系;样本可决系数r2建立在回归分析的理论基础之上,研究非随机变量X对随机变量Y的解释程度。 6、已知某市的货物运输量Y(万吨),国内生产总值GDP(亿元,1980年不变价)1985~1998年的样本观测值见下表(略)。 DependentVariable: Y Method: LeastSquares Date: 10/28/13Time: 10: 25 Sample: 19851998 Includedobservations: 14 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.? ? GDP 26.95415 4.120300 6.541792 0.0000 C 12596.27 1244.567 10.12101 0.0000 R-squared 0.781002 ? ? ? ? Meandependentvar 20168.57 AdjustedR-squared 0.762752 ? ? ? ? S.D.dependentvar 3512.487 S.E.ofregression 1710.865 ? ? ? ? Akaikeinfocriterion 17.85895 Sumsquaredresid ? ? ? ? Schwarzcriterion 17.95024 Loglikelihood -123.0126 ? ? ? ? Hannan-Quinncriter. 17.85050 F-statistic 42.79505 ? ? ? ? Durbin-Watsonstat 0.859998 Prob(F-statistic) 0.000028 (1)一元线性回归方程Yt=12596.27+26.95415GDPt (2)结构分析β^1=26.95425是样本回归方程的斜率,它表示某市货物运输量的情况,说明货物运输量每增加1亿元,将26,95425用于国内生产总值;β^0=12596.27是样本回归方程的截距,它表示不受货物运输量影响的国内生产总值。 ∧ (3)统计检验r2=0.78说明总离差平方和的78%被样本回归直线解释,有22%没被解释,说明样本回归直线对样本点的拟合优度还是比较高的。 显着性水平α=0.05,查自由度v=14-2=12的t分布表,得临界值t0.025(12)=2.18 (4)预测区间1980~2000 obs GDP RESID Y YF YFSE 1980 1981 1982 1983 1984 1985 161.69 18249 1986 171.07 18525 1987 184.07 18400 1988 194.75 16693 1989 197.86 15543 1990 208.55 15929 1991 221.06 18308 1992 246.92 17522 1993 276.8 21640 1994 316.38 23783 1995 363.52 24040 1996 415.51 24133 1997 465.78 25090 1998 509.1 24505 1999 2000 620 单个值预测区间Y2000∈[29307.84-2.10×2255.64,29307.84+2.10×2255.64] 均值预测区间E(Y2000)∈[29307.84-2.10×2255.64,29307.84+2.10×2255.64] 8、查中国统计年鉴,利用1978~2000的财政收入和GDP的统计资料,要求以手工和EViews软件。 (1)散点图 DependentVariable: Y Method: LeastSquares Date: 10/29/13Time: 16: 40 Sample: 19782000 Includedobservations: 23 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.? ? GDP 0.986097 0.001548 637.0383 0.0000 C 174.4171 50.39589 3.460939 0.0023 R-squared 0.999948 ? ? ? ? Meandependentvar 22634.30 AdjustedR-squared 0.999946 ? ? ? ? S.D.dependentvar 23455.82 S.E.ofregression 172.6972 ? ? ? ? Akaikeinfocriterion 13.22390 Sumsquaredresid 626310.6 ? ? ? ? Schwarzcriterion 13.32264 Loglikelihood -150.0748 ? ? ? ? Hannan-Quinncriter. 13.24873 F-statistic 405817.8 ? ? ? ? Durbin-Watsonstat 0.984085 Prob(F-statistic) 0.000000 一元线性回归方程Y=174.4174+0.98GDPt 经济意义国名收入每增加1亿元,将有0.98亿元用于国内生产总值。 (2)检验r2=99%,说明总离查平方和的99%被样本回归直线解释,仅有1%未被解释,所以说样本回归直线对样本点的拟合优度很高。 显着性水平α=0.05,查自由度v=23-2=21的t分布表,得临界值t0.025(21)=2.08。 (3)预测值及预测区间 obs Y YF YFSE GDP 1978 3645.2 3645.2 1979 4062.6 4062.6 1980 1981 4889.5 1982 4889.5 1983 5330.5 1984 5985.6 5962.7 1985 7243.8 7208.1 1986 9016 1987 12050.6 12058.6 1988 10274.4 10275.2 1989 12050.6 12058.6 1990 15036.8 15042.8 1991 17000.9 16992.3 1992 18718.3 18667.8 1993 35260 35333.9 1994 21826.2 21781.5 1995 26937.3 26923.5 1996 35260 35333.9 1997 48108.5 48197.9 1998 59810.5 60793.7 1999 88479.2 89677.1 2000 70142.5 71176.6 2001 105709 单个值的预测区间Y2000∈[104413.8-2.07×218.2,104413.8+2.07×218.2] 均值预测区间E(Y2000)∈[104413.8-2.07×218.2,104413.8+2.07×218.2] 第三章多元线性回归模型 2、试对二元线性回归模型Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ui,i=1,2,3,……n作回归分析: (1)求出未知参数β0,β1,β2的最小二乘估计量β^0,β^1,β^2; (2)求出随机误差项u的方差σ2的无偏估计量; (3)对样本回归方差拟合优度检验; (4)对总体回归方程的显着性进行F检验; (5)对β1,β2的显着性进行t检验; (6)当X0=(1,X10,X20)时,写出E(Y0/X0)的置信度为95%的预测区间。 答: (1)由公式 可得出 。 其中 , , (2)随机误差项的方差 的无偏差估计量为 (3)求出样本可决系数 R-squared,修正样本可决系数为 =Adjusted-squared,比较 和 值大小关系,即可得出样本回归方差拟合优度。 (4)提出检验的原假设 对立假设为 : 至少有一个 不等于零( ),由题意得F的统计量为F-statistic。 对于给定的显着性水平 ;从附录4的表1中,查出分子自由度为 ,分母自由度为 的F分布上侧位数 。 由F-statistic与 的值大小关系,可得显着性关系。 (5)提出检验的原假设 ,求出t统计量 -statistic。 对于给定的显着性水平 =0.05,;从附录4的表1中,查出t分布的自由度为f的t分布双侧位数 。 比较 -statistic与 值的大小关系,可得检验结果的显着性关系。 (6)E(YO|XO)的预测区间: (Y0-tα/2(v)? S(Y0),Y0+tα/2(v)? S(Y0)); YO的预测区间: (Y0-tα/2(v)? S(e0),Y0+tα/2(v)? S(e0) 3、经研究发现,学生用于购买书籍及课外读物的支出与本人受教育年限和其家庭收入水平有关,对18名学生进行调查的统计资料如下表所示(略)。 DependentVariable: Y Method: LeastSquares Date: 10/29/13Time: 22: 18 Sample: 118 Includedobservations: 18 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.? ? X2 0.402289 0.116359 3.457319 0.0035 X1 104.3081 6.409709 16.27345 0.0000 C -0.962980 30.32507 -0.031755 0.9751 R-squared 0.979722 ? ? ? ? Meandependentvar 755.1556 AdjustedR-squared 0.977019 ? ? ? ? S.D.dependentvar 258.6819 S.E.ofregression 39.21512 ? ? ? ? Akaikeinfocriterion 10.32701 Sumsquaredresid 23067.39 ? ? ? ? Schwarzcriterion 10.47541 Loglikelihood -89.94312 ? ? ? ? Hannan-Quinncriter. 10.34748 F-statistic 362.3656 ? ? ? ? Durbin-Watsonstat 2.561545 Prob(F-statistic) 0.000000 回归方程Y^=-0.96+104.3X1+0.4X2 (2)检验设原假设H0: βi=0i=1,2 根据上表中的计算结果知: S(β^1)=6.409709S(β^2)=0.116359 将S(β^1)和S(β^2)的值代入检验统计量式中,得 T1=β^1÷S(β^1)=16.2735t2=β^2÷S(β^2)=3.4561 对于给定的显着水平α=0.05,自由度为v=15的双侧分位数t0.05/2=2.13。 因为 ˉ t1>t0.05/2t2>t0.05/2,所以否定H0: β1≠0,H0: β2≠0,即可以认为受教育年限和家庭收入对学生购买书籍以及课外读物有显着性影响。 (3)R2=RSS/TSS=0.979722R2=1-(1-R2)n-1/n-k-1=0.97702 (4)预测区间 obs Y YF YFSE X2 X1 1 450.5 171.2 4 2 507.7 174.2 4 3 613.9 204.3 5 4 563.4 218.7 4 5 501.5 219.4 4 6 781.5 240.4 7 7 273.5 4 8 611.1 294.8 5 9 1222.1 330.2 10 10 793.2 333.1 7 11 660.8 366 5 12 792.7 350.9 6 13 580.9 357.9 4 14 612.7 359 5 15 890.8 371.9 7 16 1121 435.3 9 17 1094.2 523.9 8 18 1253 604.1 10 19 480 10 单个值的预测区间Y∈[1235.216-2.13×44.125,1235.216+2.13×44.125] 均值的预测区间E(Y)∈[1235.216-2.13×44.125,1235.216+2.13×44.125] 4、假设投资函数模型估计的回归方程为: It=5.0+0.4Yt+0.6It-1,R2=0.8,DW=2.05,n=24其中It和Yt分别为第t期投资和国民收入 (1)对总体参数? 1,? 2的显着性进行检验(α=0.05) (2)若总离差平方和TSS=25,试求随机误差项ut方差的估计量 (3)计算F统计量,并对模型总体的显着性进行检验(α=0.05) 答: (1)首先提出检验的原假设H0: ? 1=0,i=1,2,。 由题意知t的统计量值为t1=4.0,t2=3.2。 对于给定的显着性水平α=0.05,;从附录4的表1中,查出t分布的自由度为v=21的双侧分数位t0.05/2(21)=1.72。 因为t1=4.0>t0.05/2(21)=1.72,所以否定H0,? 1显着不等于零即可以认为第t期投资对国民收入有显着影响;t2=3.2>t0.05/2(21)=1.72。 所以否定H0,? 2显着不等于零即可以认为第t期投资对第t-1期投资有显着影响。 (2)R2=RSS=R2×TSS=0.8×25=20.ut的方差估计量为: (3)提出检验的原假设H0: ? 1=? 2=0,F===42,对于给定的显着性水平α=0.05,从附录4的表3中,查出分分子自由度为2,分母自由度为21的F分布上侧位数F0.05/2(21)=3.47。 因为F=42>3.47,所以否定H0,总体回归方程存在显着的线性关系,即第t期投资与第t-1期投资和第t期国民收入的线性关系是显着的。 6、已知某地区某农产品收购量Y,销售量X1,出口量X2,库存量X3的1955~1984年的样本观测值见下表。 试建立以收购量Y为被解释变量的多元线性回归模型并预测。 根据题意可设方程为Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3,利用Eview可知, DependentVariable: Y Method: LeastSquares Date: 10/29/13Time: 22: 55 Sample: 19551984 Includedobservations: 30 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.? ? X3 0.150971 0.083318 1.811984 0.0816 X2 2.924095 1.655324 1.766480 0.0891 X1 0.919120 0.235896 3.896288 0.0006 C 0.437272 4.050575 0.107953 0.9149 R-squared 0.600052 ? ? ? ? Meandependentvar 22.13167 AdjustedR-squared 0.553904 ? ? ? ? S.D.dependentvar 14.47259 S.E.ofregression 9.666307 ? ? ? ? Akaikeinfocriterion 7.498736 Sumsquaredresid 2429.375 ? ? ? ? Schwarzcriterion 7.685562 Loglikelihood -108.4810 ? ? ? ? Hannan-Quinncriter. 7.558503 F-statistic 13.00281 ? ? ? ? Durbin-Watsonstat 1.153567 Prob(F-statistic) 0.000022 回归方程Y=0.437+0.919X1+2.924X2+0.151X3 第四章非线性回归模型的线性化 1.某商场1990年~1998年间皮鞋销售额(万元)的统计资料如下表所示。 (表略) 考虑指数模型lnY=α+βt+ut,试利用上表的数据进行回归分析,并预测1999年该商场皮鞋的销售额。 答: DependentVariable: Y Method: LeastSquares Date: 10/30/13Time: 21: 52 Sample: 19901998 Includedobservations: 9 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.? ? T 4.088333 0.419507 9.745574 0.0000 C -4.186111 2.360696 -1.773253 0.1195 R-squared 0.931357 ? ? ? ? Meandependentvar 16.25556 AdjustedR-squared 0.921550 ? ? ? ? S.D.dependentvar 11.60163 S.E.ofregression 3.249485 ? ? ? ? Akaikeinfocriterion 5.388000 Sumsquaredresid 73.91406 ? ? ? ? Schwarzcriterion 5.431828 Loglikelihood -22.24600 ? ? ? ? Hannan-Quinncriter. 5.293420 F-statistic 94.97621 ? ? ? ? Durbin-Watsonstat 0.542289 Prob(F-statistic) 0.000025 根据上表建立回归模型为 根据回归模型知道1999年该商场皮鞋销售量为Y=36.694 2.美国在1790年~1990年间每10年的人口总数Y(百万人)的统计资料如下表所示。 (表略) 考虑指数增长模型: Y=Aeαt+u,试利用上表的数据进行回归分析,并预测美国2000年的人口总数。 答: 3.印度在1948年~1964年间的名义货币存量(现金余额)Mt(n),名义国民收入Y
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