《运筹学教程》第三章习题答案.docx
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《运筹学教程》第三章习题答案
《运筹学教程》第三章习题答案
1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。
它是一种边际价格,其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下,资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。
又称效率价格。
影子价格是指社会处于某种最优状态下,能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格,是社会对货物真实价值的度量。
只有在完善的市场条件下才会出现,然而这种完善的市场条件是不存在的,因此现成的影子价格也是不存在的。
市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格,是由供求关系决定的。
2.证明:
当原问题约束条件右端变为bi′时,
原问题变为:
maxz=∑CiXj
s.t.∑aijXi≤bi′(i=1,2,3,……,m)
Xj≥0(j=1,2,3,……,n)
对偶问题为:
minp=∑bi′yi
s.t.∑aijyi≥Ci
yi≥0
(i=1,2,3,……,m)(j=1,2,3,……,n)
设,当bi变为bi′原问题有最优解(X1′X2′X3′……Xn-1′Xn′)时,对偶问题的最优解为(y1′y2′y3′……yn-1′yn′),则有:
又因为当原问题有最优解时,对偶问题也有最优解,且相等,则有:
所以
3
(1).minp=6y1+2y2
s.t.-y1+2y2≥-3
3y1+3y2≥4
y1,y2≥0
(2)解:
令X2=X2′-X2〞,X4=X4′-X4〞,X2′,X2〞,X4′,X4〞≥0,原式化为:
maxz=2X1+2X2′-2X2〞-5X3+2X4′-2X4〞
s.t.2X1-X2′+X2〞+3X3+3X4′-3X4〞≤-5
-2X1+X2′-X2〞-3X3-3X4′+3X4〞≤5
-6X1-5X2′+5X2〞+X3-5X4′+5X4〞≤-6
10X1-9X2′+9X2〞+6X3+4X4′-4X4〞≤12
X1,X2′,X2〞,X3,X4′,X4〞≥0
则对偶规划为:
.
minp=-5y1′+5y1〞-6y2+12y3
s.t.2y1′-2y1〞-6y2+10y3≥2
-y1′+y1〞-5y2-9y3≥2
y1′-y1〞+5y2+9y3≥-2
3y1′-3y1〞+y2+6y3≥-5
3y1′-3y1〞-5y2+4y3≥2
-3y1′+3y1〞+5y2-4y3≥-2
即:
minp=-5y1′+5y1〞-6y2+12y3
s.t.2y1′-2y1〞-6y2+10y3≥2
-y1′+y1〞-5y2-9y3=2
3y1′-3y1〞+y2+6y3≥-5
3y1′-3y1〞+5y2+4y3=2
令y1〞-y1′=y1,得:
minp=5y1-6y2+12y3
s.t.-2y1-6y2+10y3≥2
y1-5y2-9y3=2
-3y1+y2+6y3≥-5
-3y1-5y2+4y3=2
4、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
(1)
解:
其对偶问题为:
由图中可知,对偶问题无解,根据对偶理论,原问题也无解。
(2)
解:
其对偶问题为:
从图中可知,当(
)=(0,-2)时,目标函数有最优值,
=-12,根据对偶理论,原问题最优值与对偶问题相同,为
=-12。
5.考虑如下线性规划
(1)写出对偶线性规划;
(2)用单纯形法解对偶规划,并在最优表中给出原规划的最优解;(3)说明这样做比直接求解原规划的好处。
解:
(1)对偶线性规划为:
(2)将原规划的对偶规划化为标准形式:
得到其初始单纯形表,经过两次旋转运算后得到最优表,最优解为
,最优值为
,因此原规划的最优解为
,最优值为
。
(3)这样做的好处是不用引入人工变量,对偶规划中的约束条件均为非大于号,可以直接运用单纯形法。
基础变量
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
常数项
y5
1
1
0
0
1
0
0
0
2
y6
0
1
1
0
0
1
0
0
3
y7
0
0
1
1
0
0
1
0
1
y8
1
0
0
1
0
0
0
1
5
-p
-7
-8
-6
-5
0
0
0
0
0
y2
1
1
0
0
1
0
0
0
2
y6
-1
0
1
0
-1
1
0
0
1
y7
0
0
1
1
0
0
1
0
1
y8
1
0
0
1
0
0
0
1
5
-p
1
0
-6
-5
8
0
0
0
16
y2
1
1
0
0
1
0
0
0
2
y6
-1
0
0
-1
-1
1
-1
0
0
y3
0
0
1
1
0
0
1
0
1
y8
1
0
0
1
0
0
0
1
5
-p
1
0
0
1
8
0
6
0
22
6、用对偶单纯形方法,求解下面问题。
(1)minf=5X1+3X2+4X3
2X1+3X2+2X3≥6
4X1+3X2+5X3≥10
X1,X2,X3≥0
(2)maxZ=-X1-3X2-3X3
2X1-3X2+X3≥4
X1+2X2+2X3≤8
2X2-X3≤2
X1,X2,X3≥0
解:
(1)先将此问题化成下列形式:
maxZ=-5X1-3X2-4X3
-2X1-3X2-2X3+X4=-6
-4X1-3X2-5X3+X5=-10
Xi≥0(i=1,2,3,4,5)
建立此问题的初始单纯形表并进行运算如下:
Cj
-5
-4
-3
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
-6
-2
-3
-2
1
0
0
X5
-10
-4
-3
-5
0
1
-5
-4
-3
0
0
5/4
1
4/5
Cj
-5
-4
-3
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
-2
-2/5
-9/5
0
1
-2/5
-4
X3
2
5/4
3/5
1
0
-1/5
-9/5
-3/5
0
0
-4/5
9/2
1/3
1/2
Cj
-5
-4
-3
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
-3
X2
10/9
2/9
1
0
-5/9
2/9
-4
X3
4/3
2/3
0
1
1/3
-1/3
-5/3
0
0
-1/3
-2/3
原问题的对偶规划问题为:
MaxP=6Y1+Y2
2Y1+4Y2≤5
3Y1+3Y2≤3
2Y1+5Y2≤4
Y1,Y2≥0
最终表中b列数字全为非负,检验数全为非正,所以得出原问题最优解与最优值分别为:
X*=(0,10/9,4/3)T
f*=3×(10/9)+4×(4/3)=26/3
对偶问题的最优解与最优值分别为:
Y*=(1/3,2/3)T
P*=6×(1/3)+10×(2/3)=26/3=f*
(2)先将此问题化成下列形式:
maxZ=-X1-3X2-2X3
-2X1+3X2-X3+X4=-4
X1+2X2+2X3+X5=8
2X2-X3+X6=2
Xi≥0(i=1,2,3,4,5,6)
建立此问题的初始单纯形表并进行运算如下:
Cj
-1
-3
-2
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X4
-4
-2
3
-1
1
0
0
0
X5
8
1
2
2
0
1
0
0
X6
2
0
2
-1
0
0
1
-1
-3
-2
0
0
0
1/2
2
Cj
-1
-3
-2
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
-1
X1
2
1
-3/2
1/2
-1/2
0
0
0
X5
6
0
7/2
3/2
1/2
1
0
0
X6
2
0
2
-1
0
0
1
0
-9/2
-3/2
-1/2
0
0
原问题的对偶规划问题为:
MinP=-4Y1+8Y2+2Y3
-2Y1+Y2≥-1
3Y1+2Y2+2Y3≥-3
-Y1+2Y2-Y3≥-2
Y1,Y2,Y3≥0
最终表中b列数字全为非负,检验数全为非正,所以得出原问题最优解与最优值分别为:
X*=(2,0,0)T
Z*=-1×2=-2
对偶问题的最优解与最优值分别为:
Y*=(1/2,0,0)T
P*=-4×(1/2)=-2=Z*
7.已知线性规划问题:
写出其对偶问题,并求一个对偶问题的可行解。
解:
其对偶问题为
在可行域中任取可行解:
。
8、考虑下面线性规划
maxZ=2X1+3X2
2X1+2X2+X3=12
X1+2X2+X4=8
4X1+X5=16
4X2+X6=12
Xj≥0,j=1,2,…,6
其最优单纯形表如表3-7所示,试分析如下问题:
(1)当C2=5时,求新最优解。
(2)当b3=4时,求新最优解。
(3)增加一个约束2X1+2.4X2≤12,对最优解有何影响。
表3-7
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
-14
0
0
0
-3/2
-1/8
0
解:
由最优单纯形表所示结果及灵敏度变动思想求解最优解不变的C2变动范围:
(-3/2)/(1/3)≤△C2≤(-1/8)/(-1/8)
-3≤△C2≤1
即0≤C2≤4
而题设条件为:
新C2=5,超出变动范围,故最优解发生变动,需重新求解。
C2值发生变动后,影响
的值,故新的
值分别为:
=(-3/2)-(1/2)×(5-3)=-5/2
=(-1/8)-(-1/8)×(5-3)=1/8
继续上述最优单纯形表的计算:
Cj
2
5
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
2
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
16
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
8
5
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
0
0
0
-5/2
1/8
0
Cj
2
5
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X3
2
0
0
1
-2
0
1/2
2
X1
2
1
0
0
1
0
-1/2
0
X5
8
0
0
0
-4
1
2
5
X2
3
0
1
0
0
0
1/4
0
0
0
-2
0
-1/4
新最优解和最优值分别为:
X*=(2,3)T
Z*=2×2+5×3=19
(2)由最优单纯形表所示结果及灵敏度变动思想求解最优解不变的b3变动范围:
(-4)/(1/2)≤△b3≤0/(-1/4)
-8≤△b3≤0
即8≤b3≤16
而题设条件为:
新b3=4,超出变动范围,故最优解发生变动,需重新求解。
b3发生变动后
1-1-1/4003
001/400-3
△b3’=B-1b=0-21/21-12=-6
01/2-1/8003/2
033
4-31
b3’=b+△b3’=4+-6=-2
23/27/2
继续上述最优单纯形表的计算:
Cj
2
3
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X3
3
0
0
1
-1
-1/4
0
2
X1
1
1
0
0
0
1/4
0
0
X6
-2
0
0
0
-2
1/2
1
3
X2
7/2
0
1
0
1/2
-1/8
0
0
0
0
-3/2
-1/8
0
3/4
Cj
2
3
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X3
4
0
0
1
0
-1/2
-1/2
2
X1
1
1
0
0
0
1/4
0
0
X4
1
0
0
0
1
-1/4
-1/2
3
X2
3
0
1
0
0
0
1/4
0
0
0
0
-1/2
-3/4
新最优解和最优值分别为:
X*=(1,3)T
Z*=2×1+3×3=11
(3)加入新的约束条件2X1+2.4X2≤12,将其变为下列形式:
2X1+2.4X2+X7≤12X7≥0
加入新约束条件后继续上述最优单纯形表的计算:
Cj
2
3
0
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
0
2
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
0
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
0
3
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
0
0
X7
12
2
2.4
0
0
0
0
1
0
0
0
-3/2
-1/8
0
0
Cj
2
3
0
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
0
2
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
0
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
0
3
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
0
0
X7
-4/5
0
0
0
-6/5
-1/5
0
1
0
0
0
-3/2
-1/8
0
0
5/4
5/8
Cj
2
3
0
0
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0
X3
1
0
0
1
1/2
0
0
-5/4
2
X1
3
1
0
0
-3/2
0
0
5/4
0
X6
2
0
0
0
-5
0
1
5/2
3
X2
5/2
0
1
0
5/4
0
0
-5/8
0
X5
4
0
0
0
6
1
0
-5
0
0
0
-3/4
0
0
-5/8
新最优解和最优值分别为:
X*=(3,5/2)T
Z*=2×3+3×(5/2)=27/2
9.
(1)
(2)影子价格不变。
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