误差理论与数据处理第二章1.ppt

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BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院1/75第二章误差的基本性质与处理本章的目的：

（重点掌握）1、研究三种误差的性质，出现的规律与产生原因2、找出相应减少误差的方法3、综合分析问题BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院2/752-1随机误差一定义：

同一量值进行多次等精度的测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而误差出现又没有确定规律，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。

注：

影响因素包括环境、人员、测试装置等BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院3/75二随机误差特征（服从正态分布）：

1对称性绝对值相等正、负误差出现次数相等。

2单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多。

3有限性在一定测量条件下，随机误差不会超过一定界限。

4抵偿性随测量次数增加，随机误差算术平均值趋于零。

（特征1的推理）具有以上性质的误差分布规律，一般称正态分布规律，或反之。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院4/75正态分布曲线分布密度随机误差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院5/75随机误差的正态分布大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学等特性分布例如：

铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器输出电压正态分布描述：

密度函数、分布函数、数学期望、方差、平均误差和或然误差表示BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院6/75三随机误差的数字特征1.定义：

用于描述随机误差分布特征的数值。

2.随机误差的数字特征主要有：

a）算术平均值、b）均方根偏差（标准差）算术平均值表示随机误差的分布中心，可作为等精度多次测量结果。

均方根偏差分散性指标，描述测量数和测量结果的精度。

分散度反映单次测量值的不可靠性，作为不可靠程度的评价标准，平均值一定，可能其标准差不同。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院7/75

（一）算术平均值1随机误差的表示方法设被测量真值L0（理想、理论），一系列测量值为l0，则测量值中随机误差i为（i=1,2,3，n）2算术平均值定义设为n次测量所得结果，则算术平均值定义为：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院8/753与之关系对n个求和，有=同除以nBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院9/75说明：

（1）n=1,1=-L0=l1-L0即为随机误差定义

（2）n=2，（3）n时，由随机误差的特征（抵偿性）有即：

如能对同一量测无限次时，就可得到不受随机误差影响的测量值，或影响甚微，可忽略。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院10/75理论上讲，n时，算术平均值定义为数学期望（最大或然值）（理想状态下得到真值的理论依据）（4）对有限次测量时,但n较大BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院11/754残余误差表示由于L0是未知，一般不能用，可用有限测量的算术平均值进行上式分析即：

li第i个测量值li的残余误差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院12/75说明：

（1）一组测量值残差之和为零，即（精确值）证明如下：

由定义，当为未凑整（即不用数字舍入规则）时，由定义（准确数）BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院13/75应用：

可用上式检验及残差计算的正确性（校核）如对于凑整（即利用舍入规则时），成为非准确数假如有舍入误差即代入残差和公式中：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院14/75

（2）残余误差代数和满足以下条件（残差和性质）：

残差代数和校核残差及的统一规则为：

a）当，求得为非凑整的准确数时，。

b）当，求得为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数。

c）当，求得为凑整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数（不足）。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院15/75如：

1.372=1.37+0.002（0.002为余数）1.368=1.37-0.002（0.002为亏数）（3）残余误差代数和绝对值满足：

（残差和性质）当n为偶数时，当n为奇数时，这里：

A实际求得的算术平均值末位数的一个单位。

如：

则：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院16/75（4）一组测量值残余误差的平方和为最小（重要）导出：

=最小求和：

若最小，必有：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院17/75分析表明：

如不取，而用其他值代替真值，则相应偏差的平方和一定要比残差平方和大。

从另一角度说明了较其他值更可信赖。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院18/75

（二）标准差（均方根误差，均方根偏差，标准偏差）1.引例：

算术平均值虽可表示一组测得值结果，但无法表示这组测得值的精度。

如：

以下两组测量值。

组：

20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002组：

19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994两组平均值=20.0000显然：

两组精度不同，分散性组，精度如何评价两组测量精度？

标准差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院19/752.标准差定义（标准偏差简称标准差）这里标准差n测量次数（应充分大）说明：

（1）

（2）与测量值具有相同误差（3）评定测得值的精度（4）方差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院20/753标准差与残差的关系实际求解中无法得求到，常用来分析。

算术平均值的误差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院21/75则：

（1）对

（1）求和

（2）BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院22/75若：

对式

（2）式直接平方，有：

当n适当大时，认为：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院23/75又：

代入：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院24/75说明：

（1）以上分析用于单组（mi=1）即单次测量的BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院25/75

（2）正态分布下，与分布密度和分布函数的关系式为：

a）分布密度（概率密度）定义：

（连续函数）b）分布函数（对于连续函数而言）相应数学期望（平均值）：

（代入）方差：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院26/75（3）对于相同，但不同的正态分布曲线。

愈小，分布愈陡峭，=随机误差分散性小，即精度高。

愈大，分布曲线的形状平坦，分散性较大，精度较低BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院27/754标准差与算术平均值标准差关系（多组重复测量）对于多组次测量的测量列中，是以每次的算术平均值评价可靠性的。

如在相同条件下，对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列都有算术平均值，而各个不同，必造成围绕真值有一定分散，即不可靠性。

1）用算术平均值的标准差表征作为算术平均值不可靠性的评定标准。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院28/752）由取方差方差性质：

又n次等精度BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院29/75结论：

在n次测量的等精度列中，算术平均值标准差为单次测量标准差的越高,越低接近真值精度愈高显然，n的方法可以提高精度，但n10以后，减小非常缓慢，一般多次测量选经济。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院30/75（三）测量精度的其他指标除Bessel公式外，还可以用以下描述方法制定精度。

1平均误差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院31/75说明：

（1）当为连续型随机变量，则可按积分计算，即设代入BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院32/75

（2）对于单次离散分布（3）对于多次组重复测量离散分布BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院33/752极限误差测量的极限误差是极端误差，测量结果的单次或多次算术均值误差不超过该极端误差的概率P，并使差值（1-P）可予忽略。

1）单次测量极限误差若测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时可求极限误差。

由概率积分知：

随机误差正态分布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院34/75即而随机误差在-至+范围内的概率为引入新的变量：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院35/75经变换，上式为：

这里：

称为概率积分，不同t的值可由附录表1（P218）查出。

t：

置信系数BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院36/75说明：

（1）若某随机误差在范围内出现的概率为，则超出的概率为：

显著度或显著水平

（2）随t，超出|的概率减小很快。

如：

t=2，|=2，P=95.44%,22次测量中只有一次的误差绝对值超出2范围。

（1/0.0456）t=3，|=3，P=99.73%，则370次测量中只有一次误差绝对值超出3范围。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院37/75置信区间与置信概率置信区间与置信概率置信区间-a，+a:

随机误差的大小区间。

置信概率：

随机误差落入某置信区间的概率大小。

对于正态分布的随机误差来说，当置信限为,时，可以计算出其置信概率为68.2；当置信限为3,3时，可以计算出其置信概率为99.7。

一般测量系统的随机误差服从正态分布一般测量系统的随机误差服从正态分布。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院38/75（3）极限误差：

一般测量中，测量次数10，故100.0027=0.0127，即3误差不可能出现。

定义：

绝对误差为3的误差称单次测量的极限误差。

表达式：

，本质t=3，|=3。

当t=3时，对应概率P=99.73%。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院39/75（4）极限误差通用表示法有时可选t=2.58，P=95.44%，t=1.96，P=95%通用式：

测量列单次测量的极限误差可用下式表示：

若已知标准差，选定置信系数t，即可求得单次测量极限误差。

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院40/752）算术平均值的极限误差：

测量列的算术平均值与被测量的真值之差被称为算术平均误差当多个测量列的算术平均误差为正态分布，同样可得极限误差为：

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院41/75式