计算机数值方法第7章.ppt
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11在在许许多多实际问题实际问题中,往往不能直接求出函数的中,往往不能直接求出函数的解析表达式解析表达式yy=ff(xx),但根据已知条件,有但根据已知条件,有时时可列出可列出含有待求函数及其含有待求函数及其导导数的关系式数的关系式微分方程微分方程微分方程微分方程。
例例例例11一曲线通过一曲线通过点点点点(1,2)(1,2),且在该曲线上任一点,且在该曲线上任一点M(M(xx,yy)处的切线处的切线斜率为斜率为斜率为斜率为22xx,求该曲线的方程。
,求该曲线的方程。
解解解解:
设所求曲线为:
设所求曲线为yy=yy(xx),由已知条件可得,由已知条件可得此即为此即为微分方程微分方程微分方程微分方程22由另一已知条件:
由另一已知条件:
yy|xx=1=1=2=22=12=122+cccc=1=1故函数解析表达式故函数解析表达式为为:
yy=xx22+1+1cc为积分常数为积分常数例例例例22列车在平直线路上列车在平直线路上以以以以2020mm/ss的速度的速度的速度的速度行驶,当行驶,当制动时,列车获得制动时,列车获得加速度加速度加速度加速度-0.4-0.4mm/ss22,问从制动开始,问从制动开始到停止所需的到停止所需的时间时间时间时间tt以及列车滑行的以及列车滑行的距离距离距离距离SS。
解解解解:
由已知条件得如下:
由已知条件得如下微分方程微分方程微分方程微分方程33一般地,凡表示未知函数、未知函数一般地,凡表示未知函数、未知函数导导数与自数与自变变量之量之间间的关系的方程称的关系的方程称为为微分方程微分方程微分方程微分方程,未知函数,未知函数为为一元函数一元函数时时的微分方程的微分方程常微分方程。
常微分方程。
常微分方程。
常微分方程。
如:
如:
44常微分方程初常微分方程初常微分方程初常微分方程初值问题值问题:
给给定一个常微分方程及定一个常微分方程及边边界条件:
界条件:
求解函数求解函数求解函数求解函数yy=ff(xx)实际上实际上实际上实际上:
只有少数问题如:
只有少数问题如例例例例11、22能求出能求出yy=ff(xx)的的解析表达式,对大多数微分方程要求出函数的准解析表达式,对大多数微分方程要求出函数的准确表达式,计算量大、甚至不可能,而且实用上确表达式,计算量大、甚至不可能,而且实用上有时只需得到在某些点处的函数近似值有时只需得到在某些点处的函数近似值有时只需得到在某些点处的函数近似值有时只需得到在某些点处的函数近似值即可。
即可。
55常微分方程的数常微分方程的数常微分方程的数常微分方程的数值值解法解法解法解法:
利用利用给给定常微分方程及定常微分方程及边边界条件解出函数界条件解出函数yy=ff(xx)在若干离散点在若干离散点处处的近似的近似值值的方法,即在区的方法,即在区间间aa,bb上有若干离散点:
上有若干离散点:
aa=xx00xx11.求求求求yy(xx11):
以以yy11=yy00+hyhy(xx00)=)=yy00+hfhf(xx00,yy00)作作为为近近似似值值,相当于从,相当于从(xx00,yy00)取:
取:
为斜率作直线,与为斜率作直线,与xx=xx11交于交于(xx11,yy11)求求求求yy(xx22):
以以yy22=yy11+hyhy(xx11)=)=yy11+hfhf(xx11,yy11)作为近作为近似值,相当于从似值,相当于从(xx11,yy11),取:
取:
为斜率作直线,与为斜率作直线,与xx=xx22交于交于(xx22,yy22)故:
欧拉法又称故:
欧拉法又称欧拉折线法欧拉折线法欧拉折线法欧拉折线法。
1010例例例例用欧拉法求解常微分方程初用欧拉法求解常微分方程初值问题值问题:
解:
解:
解:
解:
由微分方程可得由微分方程可得ff(xx,yy)=)=yy22取取hh=0.1=0.1,0.0,0.40.0,0.4被被xx00=0.0,=0.0,xx11=0.1,=0.1,xx22=0.2,=0.2,xx33=0.3,=0.3,xx44=0.4=0.4分成分成44等分。
等分。
由欧拉公式由欧拉公式yykk+1+1=yykk+hfhf(xxkk,yykk),从,从yy00=1=1开始,依次开始,依次计算计算yykk的值:
的值:
yy11=1+0.1=1+0.11122=1.1=1.1yy22=1.1+0.11.1=1.1+0.11.122.111122、从数、从数、从数、从数值积值积分角度理解欧拉公式分角度理解欧拉公式分角度理解欧拉公式分角度理解欧拉公式将常微分方程:
将常微分方程:
在区间在区间xxkk,xxkk+1+1上求积分如下:
上求积分如下:
即即即即:
通过数值积分法,从:
通过数值积分法,从yy|xx00=yy00可逐渐求出可逐渐求出yykk,以作为以作为yy(xxkk)的近似值。
的近似值。
1212(11)用矩形公式作近似)用矩形公式作近似)用矩形公式作近似)用矩形公式作近似计计算算算算:
ff(xxkk+1+1,yykk+1+1)ff(xxkk,yykk)xxkkxxkk+1+1ff(xxkk+1+1,yykk+1+1)xxkkxxkk+1+1ff(xxkk,yykk)取小矩形面积:
取小矩形面积:
取小矩形面积:
取小矩形面积:
yykk+1+1-yykk(xxkk+1+1-xxkk)ff(xxkk,yykk)=hhff(xxkk,yykk)即得即得欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式1313取大矩形面取大矩形面取大矩形面取大矩形面积积yykk+1+1-yykk(xxkk+1+1-xxkk)ff(xxkk+1+1,yykk+1+1)=hhff(xxkk+1+1,yykk+1+1)即得即得后退欧拉公式后退欧拉公式后退欧拉公式后退欧拉公式(22)用梯形积分作近似计算)用梯形积分作近似计算)用梯形积分作近似计算)用梯形积分作近似计算:
ff(xxkk+1+1,yykk+1+1)ff(xxkk,yykk)xxkkxxkk+1+11414此式称此式称为为梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式。
在梯形公式中,计算在梯形公式中,计算yykk+1+1时,计算式中含有未知时,计算式中含有未知的的yykk+1+1,故梯形公式又称为,故梯形公式又称为隐式公式隐式公式隐式公式隐式公式。
相对而言,欧拉公式又称为相对而言,欧拉公式又称为显式公式显式公式显式公式显式公式。
隐式公式隐式公式隐式公式隐式公式显式公式显式公式显式公式显式公式1515实际应实际应用中将用中将梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式与与欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式结结合使用:
合使用:
表示,表示,然后然后然后然后代入梯形公式作迭代计算:
代入梯形公式作迭代计算:
首先首先首先首先由欧拉公式求出由欧拉公式求出yykk+1+1的一个的一个初值初值初值初值,以,以更常用的方法更常用的方法更常用的方法更常用的方法是:
若步长是:
若步长hh选取合适,选取合适,只用一只用一只用一只用一次迭代计算次迭代计算次迭代计算次迭代计算即可。
即可。
显式与隐式的结合表示为:
显式与隐式的结合表示为:
显式与隐式的结合表示为:
显式与隐式的结合表示为:
1616此式称此式称为为预预估估估估-校正公式校正公式校正公式校正公式:
预预估估估估由欧拉公式求由欧拉公式求yyk+1k+1的初的初值值的的过过程;程;校正校正校正校正代入梯形公式迭代代入梯形公式迭代计计算算11次的次的过过程。
程。
用用预预估估估估-校正公式校正公式校正公式校正公式求解常微分方程的方法即求解常微分方程的方法即为为改改改改进进的欧拉法的欧拉法的欧拉法的欧拉法。
例例例例用改进欧拉法求解常微分方程初值问题:
用改进欧拉法求解常微分方程初值问题:
1717解:
解:
解:
解:
由微分方程可得由微分方程可得ff(xx,yy)=)=yy22取取hh=0.1=0.1,0.0,0.40.0,0.4被被xx00=0.0,=0.0,xx11=0.1,=0.1,xx22=0.2,=0.2,xx33=0.3,=0.3,xx44=0.4=0.4分成分成44等分。
等分。
由改由改进进欧拉公式,从欧拉公式,从yy00=1=1始依次始依次计计算算yykk的的值值:
预预估估估估:
yy11=yy00+hfhf(xx00,yy00)=1.0+0.1)=1.0+0.11.01.022=1.11.1,再再代入梯形公式代入梯形公式校正校正校正校正:
yy11=yy00+0.5*+0.5*hh*ff(xx00,yy00)+)+ff(xx11,yy11)=1+=1+0.50.50.10.11122+1.11.1221818解:
解:
解:
解:
由微分方程可得由微分方程可得ff(xx,yy)=)=xx-yy+1+1取取hh=0.1=0.1,0.0,0.50.0,0.5被被xx00=0.0,=0.0,xx11=0.1,=0.1,xx22=0.2,=0.2,xx33=0.3,=0.3,xx44=0.4,=0.4,xx55=0.5=0.5分成分成55等分。
等分。
预预估估估估:
yy11=yy00+hfhf(xx00,yy00)=1.0+0.1)=1.0+0.1(0.0-1.0+1)=(0.0-1.0+1)=1.01.0,再再代入梯形公式代入梯形公式校正校正校正校正:
yy11=yy00+0.5*+0.5*hh*ff(xx00,yy00)+)+ff(xx11,yy11)=1.0+=1.0+0.50.50.10.10.0-1.0+1+0.1-1.0+1=1.0050.0-1.0+1+0.1-1.0+1=1.005例例例例用改进欧拉法求解常微分方程初值问题:
用改进欧拉法求解常微分方程初值问题:
1919改改改改进进欧拉法的几何意欧拉法的几何意欧拉法的几何意欧拉法的几何意义义:
由改由改进进欧拉公式的欧拉公式的计计算算过过程程改写如下:
改写如下:
2020则则改改进进欧拉法几何意欧拉法几何意义义示意如下示意如下KK11KK22y=yy=y(xx)xxnnxxnn+1+1yynnyynn+KK11yynn+1+1xxyyoo2121三、改三、改三、改三、改进进欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法编编程程程程计计算算算算11、输入数据:
端点、输入数据:
端点、输入数据:
端点、输入数据:
端点aa、bb,区间等分数,区间等分数,区间等分数,区间等分数nn,初值,初值,初值,初值mm22、定义函数、定义函数、定义函数、定义函数ff(xx,yy),数组,数组,数组,数组xxnn+1+1、yynn+1+133、S1S1hh(bb-aa)/)/nn;xx00aa;yy00mmS2S2ForForii=1To=1TonnDoDoyyiiyyii-1+-1+hfhf(xxii-1-1,yyii-1-1)xxiiaa+ihihyyiiyyii-1+-1+hh*0.5*(*0.5*(ff(xxii-1-1,yyii-1-1+ff(xxii,yyii)S3S3输出输出输出输出xx,yy2222编程题编程题编程题编程题:
分:
分别别用用简单简单欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法和和改改改改进进欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法对对如如
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- 计算机 数值 方法