特殊四边形中的最值.docx
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特殊四边形中的最值
特殊四边形中的最值
1.如图,正方形ABCD的面积为4,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对
解:
连接BD,与AC交于点F.
∵点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
∵正方形ABCD的面积为4,
∴AB=2.
又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=2.
∴所求最小值为2.
故选:
D.
2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN
解:
如图,连接BM,
∵点B和点D关于直线AC对称,∴NB=ND,
则BM就是DN+MN的最小值,
∵正方形ABCD的边长是8,DM=2,∴CM=6,
∴BM==10,
∴DN+MN的最小值是10.故选:
D.
解:
∵当PC+PD最小时,作出D点关于MN的对称点,正好是A点,
连接AC,AC为正方形对角线,根据正方形的性质得出∠PCD=45∴∠PCD=45
故选:
C.
4.已知:
如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,∠C=60°,CD=2AD,AB=4.
1)在AB边上求作点P,使PC+PD最小;
2)求出
(1)中PC+PD的最小值.
PC+PD
解:
(1)作D点关于AB的对称点D′,连接CD′交AB于P,P即为所求,此时=PC+PD′=CD′,根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小.
(2)作D′E⊥BC于E,则EB=D′A=AD,
∵CD=2AD,
∴DD′=CD,
∴∠DCD′=∠DD′C,
∵∠DAB=∠ABC=90°,
∴四边形ABED′是矩形,
∴DD′∥EC,D′E=AB=4,
∴∠D′CE=∠DD′C,
∴∠D′CE=∠DCD′,
∵∠DCB=60°,
∴∠D′CE=30°,
∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8;
∴PC+PD的最小值为8.
P是对
5.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,角线BD上一点.
(1)求菱形ABCD的面积.
(2)求PM+PN的最小值.
解:
(1)∵菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,
∴菱形ABCD的面积为:
×6×8=24;
交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最
(2)作M关于BD的对称点Q,连接NQ,小,
连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即Q在AB上,
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M为BC中点,
∴Q为AB中点,
∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴NQ=BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CP=AC=3,BP=BD=4,
在Rt△BPC中,由勾股定理得:
BC=5,
即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
∴PM+PN的最小值为:
5.
6.已知,菱形ABCD中,∠ADC=120°,AD=6,E是AB的中点,P是对角线AC上一
解:
连接DE交AC于P(点P即为所求);如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,PB=PD,∵E是AB的中点,∴DE是△ABD的中位线,∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴DE=3,
7.如图,一菱形ABCD的边长为2,且∠ABC=120°,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小.
(1)求∠ADE的度数;
(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法;
(3)求△PCE周长的最小值.
解:
(1)∵菱形ABCD中,∠ABC=120°,
∴BC=CD=AD=2,∠C=180°﹣∠ABC=60°,∠ADC=∠ABC=120°,
∴∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°,△BCD是等边三角形,
∵点E是BC的中点,
∴∠BDE=∠BDC=30°,
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°;
2)如图,连接AE,交BD于点P;
(3)∵DE=CD?
sin60°=,CE=BC=1,
∴在Rt△ADE中,AE==,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD垂直平分AC,
∴PA=PC,
∴△PCE周长为:
PC+PE+CE=PA+PE+CE=AE+CE=+1.
8.如图,四边形ABCD是菱形,点E为AB的中点,延长CD至F,使得DF=CD,连接EF分别交AD,AC于点M,N.
(1)求证:
AC⊥EF;
(2)若AB=4,∠ABC=60°,且P为AC上一点(P与点A不重合),连接PB和PE可得△PBE,求△PBE周长的最小值.
∴AB=AD=DC=BC,AB∥FC
∵AE=EB,DF=CD,
∴AE=DF,
∵AE∥DF,
∴∠EAM=∠FDM,
在△AEM和△DFM中,
,
∴△EAM≌△FDM,
∴AM=DM=AE,
∵∠MAN=∠EAN,
∴AN⊥ME即AC⊥EF.
(2)如图连接BM交AC于P,连接PE,此时△PEB周长最小.作MK⊥BA交BA的延长线于K.
∵四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,
∴AD∥BC,AD=AB=4,
∴∠KAM=∠ABC=60°
在RT△AMK中,∵∠MKA=90°,AM=2,∠KMA=30°,
∴AK=1,KM=,
在RT△KMB中,∵∠K=90°,KM=,KB=5,
∴BM==2,
∴△PEB周长的最小值=PE+PB+EB=PM+PB+EB=BM+EB=2+2.
∵点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
E在正方形ABCD内,F
PF,则PE+PF的最小值
10.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点是CD上一点,DF=1,在对角线AC上有一点P,连接PE,为.
解:
如图作EH⊥BC于H.作点F关于AC的对称点F′,连接EF′交AC于P′,此时P′E+P′F的值最小.
∵正方形ABCD的面积为12,
∴AB=2,∠ABC=90°,
∵△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=2,∠ABE=60°,
∴∠EBH=30°,
∴EH=BE=,BH=EH=3,
∵BF′=DF=1,
∴HF′=2,
在Rt△EHF′中,EF′==,
∴PE+PF的最小值为,
故答案为
11.如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为.
解:
连结BP.
∵四边形ABCD为正方形,面积为16,∴正方形的边长为4.
∵△ABE为等边三角形,∴BE=AB=4.
∵四边形ABCD为正方形,
∴△ABP与△ADP关于AC对称.∴BP=DP.
∴PE+PD=PE+BP.
由两点之间线段最短可知:
当点B、P、E在一条直线上时,PE+PD有最小值,最小值=
BE=4.故答案为:
4.
12.如图,已知正方形ABCD的边长为2,△ABE时等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为.
解:
设AC交BE于P′,连接DP′、PB.
∵四边形ABCD是正方形,∴B、D关于AC对称,∴PD=PB,P′D=P′B,∴PD+PE=PB+PE,
∴当P与P′重合时,PD+PE=P′E+P′B=BE=2,此时PD+PE的值最小,故答案为2.
13.正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为.
解:
①点E在正方形ABCD内,如图1,连接BD,与AC交于点F.
∵点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
∵正方形ABCD的面积为18,
∴AB=3.
又∵△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=3.
②点E在正方形ABCD外,如图2,连接DE交AC于P,
则PE+PD=DE最小,
连接BD,过B作BF⊥DE于F,
∵四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,
∴∠EAB=60°,∠BAD=90°,AE=AB=AD,
∴∠AED=∠ADE=15°,
∴∠BED=45°,∠BDE=30°,
∵正方形ABCD的面积为18,
∴AB=3,
∴BE=3,BD=6,
∴EF=BF=3,DF=BD=3,
∴DE=3+3,
∴PD+PE的和最小值为3或3+3.
故答案为:
3或3+3.
14.如图,正方形ABCD的边长为2,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD外,在射线AC上有一动点P,当|PD﹣PE|最大时,AP=.
解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴点B与点D关于直线AC对称,∠ABC=90°,AB=BC=2,∴AC=2,
延长EB交射线AC于P,
则此时|PD﹣PE|最大,
过A作AH⊥BE于H,过C作CG⊥BP于G,
∵△ABE是等边三角形,
∴AH=AB=,∠ABE=60°,
∵∠ABC=90,
∴∠CBG=30°,
∴CG=BC=1,
∵AH⊥EP,CG⊥EP,
∴CG∥AH,
∴△PCG∽△PAH,
∴,
∴=,
∴AP=3﹣,故答案为:
3﹣.
15.如图所示,正方形ABCD的对角线长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为.
解:
设BE与AC交于点P,连接BD,
∵点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
∵正方形ABCD的对角线长为6,
∴AB=
又∵△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=3.故所求最小值为3.
故答案为:
3.
16.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最
小值是
过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,
∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,
∴∠FMD=30°,
∴FD=MD=,
∴FM=DM×cos30°
∴MC==,
∴A′C=MC﹣MA′=﹣1.
故答案为:
﹣1.
17.如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则线段A′C长
度的最小值是
解:
如图所示:
∵在N的运动过程中A′在以M为圆心,MA的长为半径的圆上,∴MA′是定值,A′C长度取最小值时,即A′在MC上时,过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,
∴MD=2,∠FDM=60°,
∴∠FMD=30°,
∴FD=MD=1,
∴FM=DM×cos30°=,
∴MC==2,
∴A′C=MC﹣MA′=2﹣2.
故答案为:
2﹣2.
18.如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F,将△AEF沿EF折叠,点A落在点A′处,当△A′BC是等腰三角形时,AP的长为.
解:
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC,∵EF⊥AA′,
∴∠EPA=∠FPA=90°,
∴∠EAP+∠AEP=90°,∠FAP+∠AFP=90°,
∴∠AEP=∠AFP,
∴AE=AF,
∵△A′EF是由△AEF翻折,
∴AE=EA′,AF=FA′,
∴AE=EA′=A′F=FA,
∴四边形AEA′F是菱形,
∴AP=PA′
①当CB=CA′时,∵AA′=AC﹣CA′=3,∴AP=AA′=.
②当A′C=A′B时,∵∠A′CB=∠A′BC=∠BAC,
∴△A′CB∽△BAC,
∴A′C=,
∴AA′=8﹣=
∴AP=AA′=.
故答案为或.
19.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△
A恰好落在CD边的中点G处,则EF=
BD,作FH⊥AE交于点H,如图
解:
延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、
所示:
∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,
∴∠MDF=60°,
∴∠MFD=30°,
设MD=x,则DF=2x,FM=x,
∵DG=1,∴MG=x+1,
∴(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2解得:
x=0.3,
∴DF=0.6,AF=1.4,
∵CD=BC,∠C=60°,
∴△DCB是等边三角形,
∵G是CD的中点,
故答案为:
菱形ABCD的边长为4cm,∠A=120°,则EF=cm.
解:
连接BD、AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD,
∵∠BAD=120°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABO=90°﹣60°=30°,
∵∠AOB=90°,
∴AO=AB=×4=2(cm),
由勾股定理得:
BO=DO=2(cm),
∴BD=4(cm),
∵A沿EF折叠与O重合,
∴EF⊥AC,EF平分AO,
∵AC⊥BD,
∴EF∥BD,
∴EF为△ABD的中位线,
∴EF=BD=2(cm),
故答案为:
.
21.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的
一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′B,请求出A′B长度的
最小值.
解:
如图,由折叠知A′M=AM,又M是AD的中点,可得MA=MA′=MD,故点A′在以AD为直径的圆上,
由模型可知,当点A′在BM上时,A′B长度取得最小值,
∵边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,∴BM==,
故A′B的最小值为:
﹣1.
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