大数据结构最小生成树普利姆算法.docx
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大数据结构最小生成树普利姆算法
一、问题分析和任务定义
在n个城市间建立通信网络,需架设n-1条线路。
求解如何以最低经济代价建设此通信网,这是一个最小生成树问题。
要求:
(1)利用普利姆算法求网的最小生成树;
(2)输出生成树中各边及权值。
二、实现本程序需要解决的问题如下
(1)、如何选择存储结构去建立一个带权网络。
(2)、如何在所选存储结构下输出这个带权网络。
(3)、如何实现PRIM算法的功能。
(4)、如何从每个顶点开始找到所有的最小生成树的顶点。
(5)、如何输出最小生成树的边及其权值。
此问题的关键在于如何实现PRIM算法,实现的过程中如何得到构成最小生成树的所有顶点,此外输出也是一个关键问题所在,在此过程中经过了多次调试。
首先我们对问题进行大致的概要分析:
这个问题主要牵涉到通过PRIM的基本算法思想实现程序所要求的功能,该算法的主要思想是:
假设N=(V,{E})是连通网,TE是N上最小生成树中边的集合。
算法从U={u0}(u0∈V),TE={}开始,重复执行下述操作:
在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE,同时v0并入U,直至U=V为止。
此时TE中必有n-1条边,则T=(V,{E})为N的最小生成树。
问题的输入数据的格式为:
首先提示输入带权网络的顶点边数,我定义的为整形数据型,然后输入每一条边的信息,即边的两个顶点以及权值,是十进制整数类型,这样我们就建立一个带权网络,并用邻接矩阵来存储,生成一个方阵显示出来。
问题的输出数据格式为:
输出是以邻接矩阵存储结构下的方阵,以及从不同顶点开始省城的最小生成树。
题目要求以及达到目标:
题目要求用普利姆算法实现任意给定的网和顶点的所有最小生成树,并且输出各边的权值。
三、测试数据
第一组
顶点数(vertices)、边数(edge):
2、1
起始节点(starting)、下个节点(terminal)、权值(weights):
1、2、5,预测结果<1,2>5
第二组
顶点数(vertices)、边数(edge):
3、3
起始节点(starting)、下个节点(terminal)、权值(weights):
1、2、4
1、3、5
2、3、6
预测结果<1,2>4、<1,3>5
第三组
顶点数(vertices)、边数(edge):
4、5,
起始节点(starting)、下个节点(terminal)、权值(weights):
1、2、3
1、3、4
1、4、6
2、4、7
3、4、5
预测结果<1,2>3、<1,3>4、<1,4>6
四、算法思想
Prim算法求最小生成树的主要思想
此算法是普利姆与1957年提出的一种构造最小生成树的算法,主要思想是:
假设N=(V,{E})是连通网,TE是N上最小生成树中边的集合。
算法从U={u0}(u0∈V),TE={}开始,重复执行下述操作:
在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE,同时v0并入U,直至U=V为止。
此时TE中必有n-1条边,则T=(V,{E})为N的最小生成树。
对于最小生成树问题
最小生成树是指在所有生成树中,边上权值之和最小的生成树,另外最小生成树也可能是多个,他们之间的权值之和相等。
五、模块划分
(1)预处理
#include
#include
#defineinf9999
#definemax40
#definelinelenght77
(2)普里姆算法
voidprim(intg[][max],intn)/*prim的函数*/
{
intlowcost[max],closest[max];
inti,j,k,min;
for(i=2;i<=n;i++)/*n个顶点,n-1条边*/
{lowcost[i]=g[1][i];/*初始化*/
closest[i]=1;/*顶点未加入到最小生成树中*/
}
lowcost[1]=0;/*标志顶点1加入U集合*/
for(i=2;i<=n;i++)/*形成n-1条边的生成树*/
{
min=inf;
k=0;
for(j=2;j<=n;j++)/*寻找满足边的一个顶点在U,另一个顶点在V的最小边*/
if((lowcost[j] =0)) { min=lowcost[j]; k=j; } printf("(%d,%d)%d\t",closest[k],k,min); lowcost[k]=0;/*顶点k加入U*/ for(j=2;j<=n;j++)/*修改由顶点k到其他顶点边的权值*/ if(g[k][j] { lowcost[j]=g[k][j]; closest[j]=k; } printf("\n"); } } (3)输出分割线 intpriline(inth)/*输出一条分割线*/ { intg; printf("\n|"); for(g=0;g printf("*"); printf("|\n"); } (4)提示错误信息 interror()/*提示错误信息*/ { printf("\n\n|************************E*R*R*O*R************************|\n"); printf("InputerrorsorDataoverflow! ! ! pleasere-enter\n\n"); fflush(stdin);/*清除缓存*/ } (5)建立无向图 intadjg(intg[][max])/*建立无向图*/ { intn,e,i,j,k,v1=0,v2=0,weight=0; printf("Inputthenumberofvertices,numberoftheedge: "); scanf("%d,%d",&n,&e); while(e<=0||e>=n*(n-1)||n>=max) { error(); printf("Inputthenumberofvertices,numberoftheedge: "); scanf("%d,%d",&n,&e); } for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) g[i][j]=inf;/*初始化矩阵,全部元素设为无穷大*/ for(k=1;k<=e;k++) { printf("Inputthe%dontheedgeofthestartingpoint,terminal,weights: ",k); scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight); while(v1==v2||v1>n||v2>n||v1<1||v2<1) { error(); printf("Inputthe%dontheedgeofthestartingpoint,terminal,weights: ",k); scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight); } g[v1][v2]=weight; g[v2][v1]=weight; } return(n); }/*返回节点个数n*/ (6)输出无向图的邻接矩阵 voidpri(intg[][max],intn)/*输出无向图的邻接矩阵*/ { inti,j; for(i=0;i<=n;i++) printf("%d\t",i); for(i=1;i<=n;i++) { printf("\n%d\t",i); for(j=1;j<=n;j++)/*输出边的权值*/ { if(g[i][j]==inf)printf("%c\t",'\354'); elseprintf("%d\t",g[i][j]); } } printf("\n"); } (7)主函数模块 voidmain()/*主函数*/ { intg[max][max],n;priline(linelenght); n=adjg(g);priline(linelenght);priline(linelenght); printf("Inputtheadjacencymatrixwithoutdirectedgraph: \n"); pri(g,n); printf("\n"); printf("Minimumspanningtreestructure: \n"); prim(g,n); getch(); } 六、算法设计与分析 (1)关于带权网络的存储形式 要实现对于任意给定带权网络和顶点,运用PRIM基本算法思想求解所有的最小生成树的运算。 在这里我们首先要明确所选用的数据结构,即选用何种数据结构存储来存储带权网络,这是必选首先解决的问题,所以我们选择了图的邻接矩阵存储方式来存储带权网络,建图时采用邻接矩阵的结构,定义邻接矩阵用到了一维数组和二维数组,分别存储顶点信息和边的权值。 由于该算法对图中的边的权值频繁比较,所以采用邻接矩阵比较方便,并在此基础上实现带权网络的建立以及输出显示。 (2)关于普利姆算法的基本思想 Prim算法求最小生成树的主要思想 此算法是普利姆与1957年提出的一种构造最小生成树的算法,主要思想是: 假设N=(V,{E})是连通网,TE是N上最小生成树中边的集合。 算法从U={u0}(u0∈V),TE={}开始,重复执行下述操作: 在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE,同时v0并入U,直至U=V为止。 此时TE中必有n-1条边,则T=(V,{E})为N的最小生成树。 对于最小生成树问题 最小生成树是指在所有生成树中,边上权值之和最小的生成树,另外最小生成树也可能是多个,他们之间的权值之和相等。 (3)概要设计 通过邻接矩阵的建立,可以将任意两点的权值存入其中,便于进行各边的权值的比较修改,在普利姆算法中,为实现这个算法需附设一个辅助数组closedge,以记录从U到V-U具有最小代价的边,对每个顶点vi∈V-U,在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1],他包括两个域,其中lowcost存储该边上的权值。 显然, closedge[i-1].lowcost=Min{cost(u,vi)|u∈U} 从算法可以看出每加入一个顶点到U中,closedge数组都会发生相应的变化。 程序模块之间的调用: 在主函数中调用邻接矩阵的初始化函数,邻接矩阵的生成函数,PRIM算法的函数,图的构造函数,输出函数。 邻接矩阵的生成函数主要解决的是边的信息存储问题,而PRIM算法的函数是解决计算出最小生成树的功能。 详细设计和编码 首先我在接下来给出总的流程: 结果分析: 本课程设计的要求 对于任意给定的网和起点,用PRIM算法的基本思想求解出所有的最小生成树并输出这些边的权值,所以如何实现输出显示所有的最小生成树关键问题所在,经过分析调试,用一个for语句就可以解决这个问题,从每个顶点出发,开始每一次遍历并输出显示出来。 算法的时间和空间性能分析 根据程序中算法的循环语句可以判断出普利姆算法的时间复杂度为O(n2)算法和图中的边数无关。 因此普利姆算法适合求稠密网的最小生成树,因为在算法中用邻接矩阵的存储结构,在无向图中,邻接矩阵是对称的。 所以仅需要存储上三角或下三角的元素,因此需要n(n+1)的存储空间。 测试结果 界面的截图 输入的情况的截图 输出结果的截图 输入错误的截图 七、源程序 源程序代码(有注释详解) #include #include #defineinf9999 #definemax40 #definelinelenght77 voidprim(intg[][max],intn)/*prim的函数*/ { intlowcost[max],closest[max]; inti,j,k,min; for(i=2;i<=n;i++)/*n个顶点,n-1条边*/ {lowcost[i]=g[1][i];/*初始化*/ closest[i]=1;/*顶点未加入到最小生成树中*/ } lowcost[1]=0;/*标志顶点1加入U集合*/ for(i=2;i<=n;i++)/*形成n-1条边的生成树*/ { min=inf; k=0; for(j=2;j<=n;j++)/*寻找满足边的一个顶点在U,另一个顶点在V的最小边*/ if((lowcost[j] =0)) { min=lowcost[j]; k=j; } printf("(%d,%d)%d\t",closest[k],k,min); lowcost[k]=0;/*顶点k加入U*/ for(j=2;j<=n;j++)/*修改由顶点k到其他顶点边的权值*/ if(g[k][j] { lowcost[j]=g[k][j]; closest[j]=k; } printf("\n"); } } intpriline(inth)/*输出一条分割线*/ { intg; printf("\n|"); for(g=0;g printf("*"); printf("|\n"); } interror()/*提示错误信息*/ { printf("\n\n|************************E*R*R*O*R************************|\n"); printf("InputerrorsorDataoverflow! ! ! pleasere-enter\n\n"); fflush(stdin);/*清除缓存*/ } intadjg(intg[][max])/*建立无向图*/ { intn,e,i,j,k,v1=0,v2=0,weight=0; printf("Inputthenumberofvertices,numberoftheedge: "); scanf("%d,%d",&n,&e); while(e<=0||e>=n*(n-1)||n>=max) { error(); printf("Inputthenumberofvertices,numberoftheedge: "); scanf("%d,%d",&n,&e); } for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) g[i][j]=inf;/*初始化矩阵,全部元素设为无穷大*/ for(k=1;k<=e;k++) { printf("Inputthe%dontheedgeofthestartingpoint,terminal,weights: ",k); scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight); while(v1==v2||v1>n||v2>n||v1<1||v2<1) { error(); printf("Inputthe%dontheedgeofthestartingpoint,terminal,weights: ",k); scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&weight); } g[v1][v2]=weight; g[v2][v1]=weight; } return(n); }/*返回节点个数n*/ voidpri(intg[][max],intn)/*输出无向图的邻接矩阵*/ { inti,j; for(i=0;i<=n;i++) printf("%d\t",i); for(i=1;i<=n;i++) { printf("\n%d\t",i); for(j=1;j<=n;j++)/*输出边的权值*/ { if(g[i][j]==inf)printf("%c\t",'\354'); elseprintf("%d\t",g[i][j]); } } printf("\n"); } voidmain()/*主函数*/ { intg[max][max],n;priline(linelenght); n=adjg(g);priline(linelenght);priline(linelenght); printf("Inputtheadjacencymatrixwithoutdirectedgraph: \n"); pri(g,n); printf("\n"); printf("Minimumspanningtreestructure: \n"); prim(g,n); getch(); } 八、测试数据 第一组 第二组 第三组 九、课程设计项目进度表及任务分配表及任务分配表 进度 日期 进度 2011-1-15 搜集资料 2011-1-16至17 设计算法 2011-1-18 将问题分块,然后分块写出程序 2011-1-19 将每块程序衔接好,进行调试 2011-1-20 对程序进行最后修改,整理实验报告 分配表 成员 座号 项目内容 序号 蒋家权 15号 编写程序调试程序 01 陈相财 25号 编写程序调试程序 02 吴继伟 6号 收集资料调试程序 03 梁丽春 7号 收集资料调试程序 04 十、设计心得 我们设计的题目是最小生成树的构造,在这次实践中遇到了各种问题,碰到问题有时总是百思不得其解 最开始,程序要求输入数值时,如果任意没有按照程序给定的类型输入,程序就会出现死循环,虽然加入了检测程序段,但是当我们不按个数输入的时候程序也出现了不稳定,又进入死循环了。 我们想了很多办法,其中之一就是加入break这个函数。 不过,并没有出项我们想要的结果,导致循环检测输入的函数while无法继续执行,中途就中断了。 有点大失所望,但是我们没有气馁。 记得以前老是又用过清空缓存这个函数,会不会失这个原因呢? interror()/*提示错误信息*/ { printf("\n\n|************************E*R*R*O*R************************|\n"); printf("InputerrorsorDataoverflow! ! ! pleasere-enter\n\n"); fflush(stdin);/*清除缓存*/ } 经过我们反复测试,最终确定原因,正是出在这里,导致数据无法更新。 最小生成树主要由PRIM算法完成,由于老师平时课上对普利姆算法的知识的透彻讲解,通过整体构思,,于是,我们先确立了基本步骤: 1.建立一个具有n个定点的无向图2.接着创建一个邻接矩阵来存储该图,然后初始化该矩阵,最后根据普利姆算法,得到了最小生成树以及各边的权值;好的开头是成功的一半,按照这个步骤,我们忙碌了3天,在大家的共同努力下,我们总算将此程序设计出来。 尽管不是自己独立完成,但仍然很欣慰,因为在设计的过程中,让我们了解到要设计一个大型程序,查找资料是至关重要的,在他人的基础上,再根据自己所学进行修改与调试,最后设计出自己想要的程序,这过程艰辛,但只要你持之以恒,定可将问题解决。 通过本次实验巩固了课本的基本知识,熟练运用课程知识。 提高我们组织数据及编写程序的能力,使我们能够根据问题要求和数据对象的特性,学会数据组织的方法,把现实世界中的问题在计算机内部表示出来并用软件解决问题,本次实验大大提高了对编程的爱好,发现,只要认认真真的去思考,没有办不到的事情,程序设计过程有 十、参考书目 参考目录书 (1)王昆仑,李红。 数据结果算法: c语言版。 中国铁道出版社,2007 (2)严蔚敏,吴伟明。 数据结构: c语言版。 清华大学出版社,2002 (3)徐孝凯,数据结构实用教程,清华大学出版社。 2004 (4)耿国华,数据结构,c语言描述,西安电子科技大学出版社。 2004 学校地址: 福建省武夷山市武夷大道16号 设计单位: 数学与计算机系 版本号: WyuKcsjVer2007
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