中考数学压轴题及答案解析共10题.docx
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中考数学压轴题及答案解析共10题
2010年中考数学压轴题100题精选(共10题)
【01】某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地,
出租车比公共汽车多往返一趟,如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y(单位:
千米)与所用时间
x(单位:
小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚1小时出发,到达石河子市后休息2小时,
然后按原路原速返回,结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时.
(1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y(千米)与所用时间x(小时)的函数图象.
(2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)
(3)求两车最后一次相遇时,距乌鲁木齐市的路程.
【02】如图9,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,、0)C(0,2),D为OA的中
点.设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).
(1)试证明:
无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;
(3)设点E是
(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?
求出
此时点P的坐标和△PDE的周长;
(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使CPN90°?
若存在,请直接写出点P的坐标.
2
【03】已知函数y1x,y2xbxc,,为方程y1y20的两个根,点M1,T在函
数y2的图象上.
11
(Ⅰ)若,,求函数y2的解析式;
32
1
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为
12
时,求t的值;
(Ⅲ)若01,当0t1时,试确定T,,三者之间的大小关系,并说明理由.
【04】如图9,已知抛物线y=1x2–2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂
2
直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,
连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.
(1)求直线l的函数解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC=S△DPB?
若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图9
112
bxc与
【05】如图,已知直线yx1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yx2
22
直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。
⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使|AMMC|的值最大,求出点M的坐标。
28
06】如图,已知直线l1:
yx与直线l2:
y2x16相交于点C,l1、l2分别交x轴于
33
A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.
1)求△ABC的面积;
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;
(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时
间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系
式,并写出相应的t的取值范围.
07】如图
(1),将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),
压平后得到折痕MN.当CE1时,求AM的值.
CD2BN
方法指导:
为了求得AM的值,可先求BN、AM的长,不妨设:
AB=2
BN
类比归纳
CE1AMCE1AM
在图
(1)中,若,则的值等于;若,则的值等
CD3BNCD4BN
于;若CE1(n为整数),则AM的值等于.(用含n的式子表示)
CDnBN
联系拓广
如图
(2),将矩形纸片
ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平
后得到折痕MN,设AB
BC
示)
1)
1CE1
m1,,则
mCDn
【08】如图11,抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点
的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).
(1)求a的值及直线AC的函数关系式;
(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似?
如果存在,请直接写出所有
满足条件的点M的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由。
2
【09】已知:
抛物线yaxbxca0的对称轴为x1,与x轴交于A,B两点,与y轴交
于点C,其中A3,0、C0,2.
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.
连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S
是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.[来源学科网]
【10】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD6cm,CD4cm,BCBD10cm,点
P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,
速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0t5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PE∥AB?
(2)设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
2
(3)是否存在某一时刻t,使S△PEQS△BCD?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理
25
由.
4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE的面积是否发生变化?
说明理由.
2)2次···································································································································(5分)
3)如图,设直线AB的解析式为yk1xb1,
Q图象过A(4,,0)B(6,150),
设直线CD的解析式为yk2xb2,
Q图象过C(7,,0)D(5,150),
7k2b20,k275,
222y75x525.②···············································(7分)
5k2b2150.b2525.
x5.5,
解由①、②组成的方程组得
y112.5.
最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千米.(12分)
【02】解:
(1)∵点D是OA的中点,∴OD2,∴ODOC.
又∵OP是COD的角平分线,∴POCPOD45°,
连接EC,它与AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PEPDEC,而两点之间线段
最短),此时△PED的周长最小.
∵抛物线yx22x的顶点E的坐标(1,1),C点的坐标(0,2),
CE所在直线的解析式为y3x2.
PED的周长即是CEDE102.
4)存在点P,使
11
CPN90°.其坐标是,或(2,2).
22
14分
03】解(Ⅰ)
Qy1
x,y2x2bxc,y1y20,
解得
根据题意,
c0.
1分
1
3,
1
分别代入2
b1
0,得
0,
0,
1
6,
1
.函数6
y2的解析式为
y2
3分
AB2
6
△ABM的高为
S△ABM
12AB·hh
12
13,即2h
123
144
2h,由
t2
t2
144
56t
1414时,解得
t1
t2
5
;12
t256t
1
时,解得t3
1443
52
12
2
12
t的值为
5
12
12
12
2bc,
2b
c,
t2
btc.
6分
b,T
b10.
Q0
1,得
0,
0.
0,
0.
又0
1,
0,t
0,
0t≤a时,T
t≤时,
T≤
t1时,
T.
10分
[来源:
Z。
xx。
k.Com]
04】
(1)配方,得y=1(x–2)2–1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为P(2,–1).
2
取x=0代入y=1x2–2x+1,得y=1,∴点A的
2
坐标是(0,1).由抛物线的对称性知,点A(0,1)与点
B关于直线x=2对称,∴点B的坐标是(4,1).2分
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将B、P的
坐标代入,有
14kb,解得
12kb,
y=x–3.3分
(2)连结AD交O′C于点E,∵点D由点A沿O′C翻折后得到,∴O′C垂直平分AD.
由
(1)知,点C的坐标为(0,–3),∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4,∴O′C=25.
1
据面积关系,有1×O′C×AE=
2
1
1×O′A×CA,∴
2
AE=45
作DF⊥AB于F,易证
AF
Rt△ADF∽Rt△CO′A,∴AF
AC
5DFOA
AD=2AE=85
5
AD
,OC
AF=AD·AC=16,OC5
AD
DF=AD·O′A=
OC
又∵OA=1,∴点D的纵坐标为1–8
5
,5分
5
3
–,
5
∴点D的坐标为(16,–3).
55
(3)显然,O′P∥AC,且O′为AB的中点,
∴点P是线段BC的中点,∴S△DPC=S△DPB.
故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.
过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与
CD构成的三角形的面积都等于S△DPC,
故m与抛物线的交点即符合条件的Q点.
55
容易求得过点C(0,–3)、D(16,–3)的直线的解析式为y=3x–3,
[来源学_科_网]
据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=3x–5
42
令1x2–2x+1=3x–5,解得x1=2,
42
x2=7,代入y=3
2
x–5,得y1=–1,y2=1,
28
1
),使得S△DQC=S△DPB.
8
bx
Q1(2,–1)(即点P)和Q2(7,
2
12
05】
(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入yx
2
b解得
0
c1
得1
bc
2
123∴抛物线的解折式为yx2x1⋯(2分)
22
123
(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为mm1
22
1231
即E点的坐标(m,mm1)又∵点E在直线yx1上[来源:
Z§xx§k.Com]
222
1231
∴mm1m1解得m10(舍去),m24
222
A为直角顶点时
∽Rt△POA得
DOOA211
OAOP即1a,∴a=2
E为直角顶点时,
1
P1(,0)⋯⋯(5分)
2
11
P2点坐标为(,0)⋯⋯(6分)
2
P为直角顶点时,过E作EF⊥x轴于F,设P3(b、3)由∠OPA+∠FPE=90°,得
OPA=∠FEPRt△AOP∽Rt△PFE
AO
PF
OP1b
得解得b13,b21
EF4b312
∴此时的点P3的坐标为(1,0)或(3,0)⋯⋯(8分)
综上所述,满足条件的点P的坐标为(1,0)或(1,0)或(3,0)或(11,0)[来源学科网](Ⅲ)
22
33
抛物线的对称轴为x⋯(9分)∵B、C关于x=对称∴MC=MB
22
要使|AMMC|最大,即是使|AMMB|最大
A、B、M在同一直线上时|AMMB|的值最大.易知
直线AB的解折式为y
yx1
x1∴由3
x
2
3
2
1
2
06】
分)
分)
分)
31
M(,-)⋯⋯(
22
11分)
网](
0,得x4.A点坐标为4,0.
2x
16
0,得x
8.
B点坐标为8,0.∴AB8412.
2
x
3
2x
83,解得
16.
S△ABC
2)解:
∵点
5,
6.
C点的坐标为5,6.
11
AB·yC12636.
2C2
D在l1上且xDxB
8,yD
838.
D点坐标为
8,.8(5分)又∵点E在l2上且yE
yD
8,2xE168.xE4.
E点坐标为
4,.8(6分)∴OE844,EF
8.
7分)
3)解法一:
①当0≤t3时,如图1,矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR
t0时,为四边形CHFG).过
C作CM
AB于M
Rt△RGB∽Rt△CMB.
y
E
R
Dl1
FMGBx
1)
R
AF
OGM
x
l1
l2
D
BGRG
BMCM
即t
3
RG
,∴RG6
2t.QRt△AFH∽Rt△AMC,
S△ABC
S△BRG
S△AFH
36
1
t2t
2
1
8t
2
2
8t.
3
4t23
16t
3
44
07】解:
方法一:
3
MN垂直平分BE.∴BM
ABCD是正方形,∴
CE1
∵,CEDE
CD2
EM,
A
BN
D
EN.C
90°
ABBC
CDDA2.
1分
1.设BN
x,则
NE
x,NC2
x.
22
在Rt△CNE中,NE2CN2
2
CE2.∴x
2
12.解得x
在Rt△ABM
AM2AB2
设AMy,则
和在Rt△DEM
DM2DE2.·
AM2
AB2BM2,DM2
5
,即
4
DE2
5
BN.3分
4
EM2,
5分
解得y
2
DM2y,∴y
11
,即AM.
44
5
22
2y
AM
BN
12.
1.···························································
5
7分
方法二:
同方法一,BN
4
3分
如图(1-2),过点N做NG∥CD,交AD于点G,连接BE.
G
A
D
E
NC1-2)
AD∥BC,∴四边形GDCN是平行四边形.
∴NGCDBC.
5
同理,四边形ABNG也是平行四边形.∴AGBN.
4
∵MNBE,EBCBNM90°.
QNGBC,MNGBNM90°,EBCMNG.
在△BCE与△NGM中
EBCMNG,
BCNG,∴△BCE≌△NGM,ECMG.
CNGM90°.
51AM1
7分
∵AMAGMG,AM=1.∴.
44BN5
类比归纳
6=a(-2+3)(-2-1),∴a=-2,
y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B(-3,0)、A(1,0)
设直线AC为y=kx+b,则有0=k+b,6=-2k+b,解得k=-2,b=2,∴直线AC为y=-2x+2
(2)①设P的横坐标为a(-2≤a≤1),则P(a,-2a+2),M(a,-2a2-4a+6)
∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92
=-2a+122+92,∴当a=-12时,PM的最大值为926分②M1(0,6)M2-14,678
09】解:
(1)由题意得
b
2
2a
1解得a3
9a
3bc0b4
b3
c
2c2
3分
2)连结AC、BC.因为BC的长度一定,所以
PBC周长最小,就是使PCPB最小.B点
关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x1的交点即为所求的点P.
设直线AC的表达式为y
kx
b则
3k
b
y2
2.A
把x
1代入得y
4
∴P点的坐标为3
B
x
P
C
O
D
3
Eb2
1,
3)S存在最大值,理由:
∵
DE∥PC,即
DE∥AC.
24题图)
OD
△OED∽△OAC.∴
OC
OE
2m
OE
OA
OE3
3
m,AE3,
2
OE
2
3m
2
OP
SS四边形PDOE
S△OED
S△POE
S△POD
S△OED
S△OAC
2m
11
3
3m
2
[来源:
Z。
xx。
k.Com]
0∴当m
1时,
S最大
S△OED
S△AEP
S△PCD
9分
13
2
32
3
3
m
m
4
2
4
2
m
0∴当m
10】解:
S最大
DE
PE∥AB∴
DA
DP
DB
DEt,DP
10
t,
QNM
t10t
610
t145
15
t(s),PE∥AB.
4
2)∵EF平行且等于CD,
[来源学科网]
CDEF是平行四边形.
DEQ
C,
DQE
BDC
BCBD
10,∴
DEQ
DQEBDC.∴△DEQ∽△BCD.
DEEQ
BCCD
10
EQ
.∴EQ
4
2t.
5
过B作BM⊥CD
CD于M,过P作PN⊥EF,交EF于
N.
BM
10222
10049646.∵EDDQBP
t,
PQ
102t.又△PNQ∽△BMD,
PQPN102t
BDBM
10
PN
46,
PN
461t
5
S△PEQ
1
1EQgPN
2
1225t46
15t
462t
25
46t.
5
3)
1
S△BCDgCDgBM
2
1446
2
86
若S△PEQ
2
25S△BCD,则有
462t
25
46t
5
25
86,解得
t1
1,t2
4.
DE
BP
t,
4)在△PDE和△FBP中,PD
BF
10
t,
PDE≌△FBP
PDE
FBP,
S五边形PFCDES△PDES四边形PFCDS△FBP
S四边形PFCDS△BCD
86.
PFCDE的面积不变.
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