完整版全国卷3理数含答案.docx
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完整版全国卷3理数含答案
r—戴氏教育新津总校一一理数
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2•回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合A
x|x1>0,
B
0,1,2,则AIB
A.
0
B.
1
C.
1,2
D.0,1,2
2.1
i2i
A.
3i
B.
3
iC.
3i
D.3i
3•中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头•若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
1
4.若sin,则cos2
3
8
C.
7
A.一B.-
99
25
5.x2的展开式中x4的系数为
电戴氏教育新津总校一一理数
A•10
L□鼻
B•20
C•40
D•80
6.直线xy2
0分别与x轴,y轴交于
A,B两点,点
22
P在圆x2y22上,贝y△ABP面积的取
值范围是
A•2,6
B•4,8
C•2
32D•22,32
7•函数yx4x22的图像大致为
&某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位
成员中使用移动支付的人数,DX2.4,PX4PX6,则p
A•0.7
B•0.6
C•0.4
D•0.3
o22J
9•△ABC的内角
A,B,C的对边分别为a,
b,c,若△ABC的面积为
abc,则c
4
n
n
亠n
n
A•-
B•-
C•-
D•-
2
3
4
6
10•设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9、一3,则三棱
锥DABC体积的最大值为
A•123B•183C.243D•543
22
11•设Fl,F2是双曲线C:
笃占1(a0,b0)的左,右焦点,0是坐标原点•过F2作C的一条渐近ab
线的垂线,垂足为P•若PFi\冷6OP,则C的离心率为
A•、5B•2C.3D•,2
12.设alogo.20.3,blog20.3,贝U
A•abab0B•abab0
C.ab0abD•ab0ab
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a=1,2,b=2,2,c=1,X.若cII2a+b,贝U.
14•曲线yax1ex在点0,1处的切线的斜率为2,则a.
15.函数fxcos3x—在0,n的零点个数为.
6
16.已知点M1,1和抛物线C:
y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若
ZAMB90,则k.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
等比数列an中,a11,a54a3.
(1)求an的通项公式;
(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63,求m.
18.(12分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式•为
比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人。
第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如
下茎叶图:
r—戴氏教育新津总校一一理数
第一种生产方戌
第二种牛产方式
g
6
55689H
9762
7
0I2234566S
9877654332
8
1445
21100
9
0
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
m和不超过m
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过
的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第种生产方式
第二种生产方式
(3)根据
(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
2
附:
K2
nadbe
abedaebd
2
PK>k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)
如图,边长为2的正方形abcd所在的平面与半圆弧Cd所在平面垂直,m是Cd上异于c,d的点.
(1)证明:
平面AMD丄平面BMC;
(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
20.(12分)
已知斜率为
22
k的直线l与椭圆C:
—1交于A,B两点,线段AB的中点为M1,mm0.
43
(1)证明:
1
k1;
HULunULWuunuuuULffl
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FPFAFB0•证明:
FA,FP,FB成等差数列,
并求该数列的公差.
21.(12分)
已知函数
fx
2
xax2In1
x
2x.
(1)若
a0,证明:
当1x
0时,
fx0;
当x0时,fx
0;
(2)若
x0是fx
的极大值点,
求
a.
(二)选考题:
共
10分。
请考生在第
22、
23题中任选
-题作答。
如果多做,
则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
Xcos
在平面直角坐标系xOy中,OO的参数方程为'(为参数),过点0,.2且倾斜角为
ysin
的直线I与OO交于A,B两点.
(1)求的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
设函数fx|2x1x1.
(1)画出yfx的图像;
(2)当x€0,,fx 刀 1 1 ■ O 1 参考答案: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A B C A D B C B C B 1 13.14.315.316.2 2 17.(12分) 解: (1)设{an}的公比为q,由题设得anqn1. 由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2. 故an (2)n1或an2n1. 若an2n1,则Sn2n1•由Sm63得2m64,解得m6. 综上,m6. 18.(12分) 解: (1)第二种生产方式的效率更高 理由如下: (i)由茎叶图可知: 用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟, 用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的 效率更高. (ii)由茎叶图可知: 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种 生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高 (iii)由茎叶图可知: 用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生 产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知: 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8 大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大 致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二 种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 (2)由茎叶图知m798180. 2 列联表如下: 超过m 不超过m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 (3)由于K240(151555)106.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 20202020 19.(12分) 解: (1)由题设知,平面CMD丄平面ABCD,交线为CD.因为BC丄CD,BC平面ABCD,所以BC丄平面CMD, 故BC丄DM. 因为M为Cd上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM丄CM. 又BCICM=C,所以DM丄平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD丄平面BMC. umr (2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 当三棱锥M-ABC体积最大时,M为Cd的中点. 由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), uuuruuuruuu AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0) 设n(x,y,z)是平面MAB的法向量则uuuu nAM0,2xyz0, uuu即 nAB0.2y0. 可取n(1,0,2). UJU DA是平面MCD的法向量,因此 uuucosn,DA uunnDAuuu 5 |n||DA| uuursin: : n,DA 25 5 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2、5 5 20.(12分) 解: (1)设A(X1,yj,B(X2,y2),则 2 X1 4 两式相减,并由―陛k得 X1X2 X1 4 X2 *y2 3 0. 由题设知 2 2① 4m 由题设得0m (2)由题意得F(1,0),设P(X3,y3),则 (X3 1必)(X1 1,yJ(X2 1y)(0,0). 由 (1)及题设得x33 (X1 X2)1,y3 (%y2) 2m0. 又点 P在C上,所以m 从而P(1,2,|FP| |FA|,(^1)2 (X11)23(1 2 X1 4)2: 同理 mu |FB| 所以 uuu |FA| X2 2uuu|FB| uuu 故2|FP| uur |FA| 1 4-(X1X2)3. uuruuuuuuuuu |FB|,即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列. 设该数列的公差为 d,则 uur 2|d|||FB| r—戴氏教育新津总校一一理数 uuu11— |FA||(X1X2|2"x1 x2)4XjX2•② 3 将m代入①得 4 所以I的方程为y x4,代入C的方程,并整理得 7x2 14x 0. 故x1x22,%x2 —,代入②解得|d| 28 321 28 所以该数列的公差为 疸或3习 28 28 21.(12分) 解: (1)当a 0时, f(x) (2 x)ln(1 x)2x, f(x) ln(1 x) 设函数g(x) f(x) ln(1 x) g(x) x 2. (1x) 当1x0时,g(x)0;当x0时, g(x) 0.故当 1时,g(x) g(0)0,且仅当x0 时,g(x)0,从而f(x)0,且仅当x 0时, f(x) 0. 所以f(x)在(1,)单调递增.学科网 又f(0)0,故当1 x0时,f(x)0;当x0时, f(x)0. (2)(i)若a0,由 (1)知,当x0时,f(x)(2 x)ln(1x)2x 0f(0),这与x0是 f(x)的极大值点矛盾. (ii)若a0,设函数 h(x) 2x 2冗2ln(1X)2xax2 由于当|x|min{1, |》时, 2 2xax0,故h(x)与f(x)符号相同. 又h(0)f(0)0, 故x0是f(x)的极大值点当且仅当x0是h(x)的极大值点. h(x)22(2x 2222 xax)2x(12ax)x(ax4ax6a1) 22- (x1)(axx2) ax2)2 如果6a10,则当0x 6a1,且|x|min{1,」丄}时,h(x)0,故x0不是h(x)的极 4a|a| r—戴氏教育新津总校一一理数 大值点. 如果6a1 0,则a2x24ax6a10存在根冷0,故当x(冷,0),且|x|min{1,|丄}时, V|a| h(x)0, 所以x0不是h(x)的极大值点. 如果6a1 x3(x24) 0,则h(x)(x1)(x2点乂呀 .则当 x(1,0)时,h(x)0;当x(0,1)时, f(x)的极大值点 h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点,从而 1 综上,a一 6 22.[选修4—4: 坐标系与参数方程](10分) 【解析】 (1) eO的直角坐标方程为x2 l与eO交于两点. 记tan k,则I的方程为 kx l与eO交于两点当且仅当|-|1,解 V1k2 1或k1,即 (打或 (厂). 综上, 的取值范围是 (;,7). (2) I的参数方程为 xtcos, y、2tsin (t为参数, 设A,B,P对应的参数分别为 tA,tB,tP,则tP 严,且tA, tB满足t2 2、2tsin10. 是tAtB2、2sin tp 2sin.又点P的坐标(x,y)满足 tPcos tPsin -(为参数,一 24 cos2 2 23.[选修4—5: 不等式选讲](10分) c1 3x,x, 2 【解析】 (1)f(x) 1 x2,-x1,yf(x)的图像如图所示. 2 3x,x1. (2)由 (1)知,yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为 故当且仅当a3且b2时, f(x)axb在[0, )成立,因此ab的最小值为5.
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