一元二次方程的应用增长率问题有答案.docx

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一元二次方程的应用增长率问题有答案

一元二次方程的应用（增长率问题）

解答题

1.光华机械厂生产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，2001年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程；一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

本题是关于增产率的问题，设平均每年增长的百分率为x，由1999年的产量可知2000年和2001年的产量，根据题意列方程，可求出增长的百分率．

解答：

解：

设平均每年增产的百分率为x，因为1999年的产量为2000件，所以2000年的产量为2000（1+x）件，2001年的产量为2000（1+x）2件，依题意列方程：

2000（1+x）2=2420

解方程得：

（1+x）2=1.21

1+x=±1.1

1+x=1.1或1+x=-1.1

∴x=0.1=10%或x=-2.1（不合题意，舍去）

故增产率为10%．答：

平均每年增长的百分率为10%．

点评：

根据题意设平均每年增长的百分率为x，由1999年的产量可知2000年和2001年的产量，找出等量关系列出一元二次方程，解出一元二次方程，求出x．

2.某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．

（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；

（2）设

（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12-4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．

考点：

一元二次方程的应用；根与系数的关系．专题：

增长率问题．

分析：

（1）等量关系为：

2011年某市用于保障房建设资金×（1+增长率）2=2013年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可．

（2）理由上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得m的值即可．

解答：

解：

（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，

根据题意得：

3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5…（3分）

（2）由

（1）得，x2+3x-0.5=0…（4分）

由根与系数的关系得，x1+x2=-3，x1x2=-0.5…（5分）

又∵mx12-4m2x1x2+mx22=12（mx1的平方）

m[（x1+x2）2-2x1x2]-4m2x1x2=12

m[9+1]-4m2•（-0.5）=12

∴m2+5m-6=0

解得，m=-6或m=1…（8分）

点评：

考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

3.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：

打九折销售；

方案二：

不打折，每吨优惠现金200元．

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；

（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．

解答：

解

（1）设平均每次下调的百分率为x．

由题意，得5（1-x）2=3.2．

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．

因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，

符合题目要求的是x1=0.2=20%．

答：

平均每次下调的百分率是20%．

（2）小华选择方案一购买更优惠．

理由：

方案一所需费用为：

3.2×0.9×5000=14400（元），

方案二所需费用为：

3.2×5000-200×5=15000（元）．

∵14400＜15000，

∴小华选择方案一购买更优惠．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时注意其固定的等量关系．

4.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2万人次．根据题意得方程求解；

（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．

解答：

解：

（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得

5000（1+x）2=7200．

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，

则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．

答：

预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．

点评：

此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．

5.某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：

先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？

为什么？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；

（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较即可求解．

解答：

解：

（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，

7000（1-x）2=5670，

解得：

x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；

答：

平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1-5%）×（1-15%）

=95%×85%

=80.75%，

（1-x）2=（1-10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，

∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

点评：

此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：

原每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．

6.2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．

（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；

（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．

（温馨提示：

2252=4×563，5067=9×563）

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；

2010年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；

（2）2011年出口贸易总值=50.67（1+x）．

解答：

解：

（1）设年平均增长率为x，依题意得…（1分）

22.52（1+x）2=50.67，…（3分）

1+x=±1.5，

∴x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）．…（5分）

答：

这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%；…（6分）

（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿美元）．…（9分）

答：

预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿美元．…（10分）

点评：

此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．

7.国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．

请问哪种方案更优惠？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）关系式为：

原价×（1-降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；

（2）①费用为：

总房价×9.810（10分之9.8）

；

②费用为：

总房价-2×12×1.5×平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可．

解答：

解：

（1）设平均每次下调的百分率为x．

5000×（1-x）2=4050．

（1-x）2=0.81，

∴1-x=±0.9，

∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．

答：

平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案一的总费用为：

100×4050×9.810=396900元；

方案二的总费用为：

100×4050-2×12×1.5×100=401400元；

∴方案一优惠．

点评：

主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．

8.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；

（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果

解答：

解：

（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）

根据题意，得：

2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，

整理，得：

x2+3x-1.75=0，（3分）

解之，得：

x=-3±9+4×1.752，（解含有根号）

∴x1=0.5，x2=-3.5（舍去），（5分）

答：

每年市政府投资的增长率为50%；（6分）

（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷28=38（万平方米）．（8分）（除8分之2）

点评：

主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．

9.随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3200人，截止到2010年底报名人数已达到5000人．

（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．

（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？

考点：

一元二次方程的应用．

分析：

（1）设增长率是x，则增长2次以后的报名人数是3200（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可；

（2）先求出2011年底的报名人数，除以10即可求出每个教练平均需要教授的人数．

解答：

解：

（1）设该驾校的年平均增长率是x．由题意，得

3200（1+x）2=5000．（5分）

解得x1=14，x2=-94（不合实际，舍去）．（分数4分之1）

∴该驾校的年平均增长率是25%．（7分）

（2）5000×（1+25%）÷10=625（个）．

∴预计2011年每个教练平均需要教授625个学员．（10分）

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题是中考中重点考查内容，同学们应熟练掌握．

10.某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．

（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；

（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）等量关系为：

2008年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2=2010年市政府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可；

（2）2012年该市政府对市区绿化工程投入=2010年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2．

解答：

解：

（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，（1分）

根据题意得，2000（1+x）2=2420，（3分）

得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），（5分）

答：

该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．（6分）

（2）2012年需投入资金：

2420×（1+10%）2=2928.2（万元）（7分）

答：

2012年需投入资金2928.2万元．（8分）

点评：

考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：

若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

11.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题；优选方案问题．

分析：

（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程解方程即可得出答案；

（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．

解答：

解：

（1）设平均每次下调的百分率为x，

则6000（1-x）2=4860，

解得x1=0.1或x2=1.9（舍去），

故平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案①购房优惠：

4860×100×（1-0.98）=9720（元）

方案②可优惠：

80×100=8000（元），

故选择方案①更优惠．

点评：

本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．

12.2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越发展和长治久安，作出了重要战略决策部署，为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设的资金达到8.45亿元．

（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率；

（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共多少亿元？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，根据2年增长率的一般计算公式a（1+x）2，列方程5（1+x）2=8.45求解即可，注意值的取舍问题；

（2）分别表示出2010年到2012年这三年每年的投入资金，相加即可求解．

解答：

解：

（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，

由题意，得：

5（1+x）2=8.45，

解得x1=30%，x2=-2.3（不合题意舍去）．

答：

从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率为30%．

（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45=5+5（1+0.3）+8.45=19.95（亿元）．

答：

预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共19.95亿元．

点评：

主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．

13.2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．

（1）求全市国民生产总值的年平均增长率（精确到1%）；

（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？

（精确到1亿元）

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为x，那么2010年全市国民生产总值为1376（1+x）亿元，2010年全市国民生产总值为1376（1+x）（1+x）亿元，然后根据2011年全市国民生产总值要达到1726亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率；

（2）根据

（1）的结果可以分别计算出2010、2011、2012三年的国民生产总值，然后就可以求出结果．

解答：

解：

（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为x，

依题意得1376（1+x）2=1726，

∴1+x≈±1.12，

∴x=12%或x=-2.12（负值舍去），

答：

全市国民生产总值的年平均增长率约为12%；

（2）2010年的国民生产总值为：

1376×（1+12%）≈1541亿元；

2012年的国民生产总值为：

1726×（1+12%）≈1933亿元；

∴2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值：

1541+1726+1933=5200亿元．

点评：

此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．

14.据茂名市某移动公司统计，该公司2006年底手机用户的数量为50万部，2008年底手机用户的数量达72万部．请你解答下列问题：

（1）求2006年底至2008年底手机用户数量的年平均增长率；

（2）由于该公司扩大业务，要求到2010年底手机用户的数量不少于103.98万部，据调查，估计从2008年底起，手机用户每年减少的数量是上年底总数量的5%，那么该公司每年新增手机用户的数量至少要多少万部？

（假定每年新增手机用户的数量相同）

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，设平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”；

（2）设该公司每年新增手机用户的数量至少要y万部，则2009年手机用户数量=2008年手机用户数量-2009年手机用户减少的数量+新增手机用户的数量，即是72×（1-5%）+y，同样2010年的手机数量为：

2009年手机用户数量×（1-5%）+y≥103.98，由此可以求出结果．

解答：

解：

（1）设2006年底至2008年底手机用户的数量年平均增长率为x，

依题意得50（1+x）2=72，

∴1+x=±1.2，

∴x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去），

∴2006年底至2008年底手机用户的数量年平均增长率为20%；

（2）设每年新增手机用户的数量为y万部，

依题意得[72（1-5%）+y]（1-5%）+y≥103.98，

即（68.4+y）•0.95+y≥103.98，

68.4×0.95+0.95y+y≥103.98，

64.98+1.95y≥103.98，

1.95y≥39，

∴y≥20（万部）．

∴每年新增手机用户数量至少要20万部．

点评：

此题主要考查了增长率的问题．对于此类问题，同学们关键要搞清数量变化与变化率的关系．

15.我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．

（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？

（2）深圳市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：

在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？

（精确到1%）

.考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；

（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．

解答：

解：

（1）4×104×10÷1000×18÷80=90（亩）．（10的4次方）

答：

若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．

（2）设我市森林面积年平均增长率为x，

依题意列方程得50（1+x）2=60.5，

解得x1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），

1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160，（10的4次方）

20160÷（605000×10%）≈33%．

答：

在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．点评：

本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；

解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．

16.某地区前年参加中考的人数为5万人，今年参加中考的人数为6.05万人．

（1）问这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是多少？

（2）该地区3年来共有多少人参加过中考？

（参考数据：

112=121，122=144，132=169，142=196）（11的平方）

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．本题中a就是前年考试的人数，b就是今年考试的人数．

（2）可根据

（1）中得出的增长率，分别计算出这三年来，每年的考试人数，然后求出它们的和即可．

解答：

解：

（1）设平均增长率为x，根据题意得：

5（1+x）2=6.05

解得：

x1=0