学年度八年级数学上册第13章轴对称133等腰三角形1332等边三角形同步练习新版新人教版.docx
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学年度八年级数学上册第13章轴对称133等腰三角形1332等边三角形同步练习新版新人教版
13.3.2等边三角形
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________
一.选择题(共12小题)
1.如图,△AOB是边长为2的等边三角形,顶点A的坐标是( )
A.(
,
)B.(
,﹣1)C.(﹣1,
)D.(
,﹣1)
2.平面上,若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形,则称点P是A、B、C三点的巧妙点.若A、B、C三点构成三角形,也称点P是△ABC的巧妙点.则平面上等边△ABC的巧妙点有( )个.
A.7B.8C.9D.10
3.在△ABC中,AB=BC=AC=6,则△ABC的面积为( )
A.9B.18C.9
D.18
4.下列几种三角形:
①有一个角为60°的等腰三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高也是这边上的中线的三角形;④有一外角为120°的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
5.等腰△ABC的顶角A为120°,过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E,交BA的延长线于F,则△AEF是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰但非等边三角形
6.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状
7.下面给出几种三角形:
(1)有两个角为60°的三角形;
(2)三个外角都相等的三角形;(3)一边上的高也是这边上的中线的三角形;(4)有一个角为60°的等腰三角形,其中是等边三角形的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.在下列结论中:
(1)有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;
(2)有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;
(3)有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;
(4)三个外角都相等的三角形是等边三角形.
其中正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
9.已知:
在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:
①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果添加条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.
上述说法中,正确的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,则BC的长为( )
A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm
11.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,∠ABD=60°,∠ADB=78°,∠BDC=24°,则∠DBC=( )
A.18°B.20°C.25°D.15°
12.在下列结论中:
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;
④有一个角是60°,且是轴对称的三角形是等边三角形.
其中正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二.填空题(共8小题)
13.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= .
14.将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC,设点A表示的数为x﹣3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为﹣4,若将△ABC向右滚动,则x的值等于 ,数字2012对应的点将与△ABC的顶点 重合.
15.如图,∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形.若OA1=1,则△AnBnAn+1的边长为 .
16.下列三角形:
(1)有两个角等于60°;
(2)有一个角等于60°的等腰三角形;(3)三个外角都相等的三角形;(4)一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的有 .
17.在直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,
),B(﹣1,0),C(1,0).
(1)△ABC为 三角形.
(2)若△ABC三个顶点的纵坐标不变,横坐标分别加3,则所得的图形与原来的三角形相比,主要的变化是 .
18.如果三角形的三边a、b、c适合(a2﹣2ac)(b﹣a)=c2(a﹣b),则a、b、c之间满足的关系是 ;有同学分析后判断△ABC是等边三角形,你的判断是 .
19.如图,AB=AC,DB=DC,若∠ABC为60°,BE=3cm,则AB= cm.
20.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C.已知AC=5,则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 .
三.解答题(共5小题)
21.已知:
在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,求:
∠B、∠C的度数,△ABC是什么三角形?
22.如图,在等边△ABC中,AC=6,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是多少?
23.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.
(1)判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由;
(2)若∠C=30°,图中是否存在等边三角形?
若存在,请写出来并证明;若不存在,请说明理由.
24.如图一,AB=AC,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.问:
(答题时,注意书写整洁)
(1)图一中有几个等腰三角形?
(写出来,不需要证明)
(2)过D点作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,如图二,图中现在增加了几个等腰三角形,选一个进行证明.
(3)如图三,若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?
(写出来,不需要证明)线段EF与BE、CF有什么关系,并证明.
25.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?
如存在,请求出此时M、N运动的时间.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.
解:
如图,过点A作AE⊥x轴于点E,
∵△AOB是等边三角形,
∴AE⊥OB,∠OAE=30°,
∴OE=
OA=1,AE=
.
∵点A位于第二象限,
∴(﹣1,
).
故选:
C.
2.
解:
(1)点P在三角形内部时,点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点,是三角形的外心,
(2)点P在三角形外部时,一个对称轴上有三个点,如图:
共有9个点符合要求,
∴具有这种性质的点P共有10个.
故选:
D.
3.
解:
如图,作AD⊥BC于D,
∵AB=BC=AC=6,
∵AD为BC边上的高,则D为BC的中点,
∴BD=DC=3,
∴AD=
,
∴等边△ABC的面积=
BC•AD=
×6×3
=9
.
故选:
C.
4.
解:
因为有三角都是60°,或有三边相等的三角形是等边三角形,
那么可由①,②,④推出等边三角形,
而③只能得出这个三角形是等腰三角形.
故选:
B.
5.
解:
如图,∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C,
∠F=90°﹣∠B,
∴∠AEF=∠F.
又∠A=120°,
∴∠FAE=60°.
∴△AEF是等边三角形.
故选:
A.
6.
解:
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC
∵∠1=∠2,BE=CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°
∴△ADE是等边三角形.
故选:
B.
7.
解:
有三角都是60°,或有三边相等的三角形是等边三角形,
那么可由
(1),
(2),(4)推出等边三角形,
而(3)只能得出这个三角形是等腰三角形.
故选:
B.
8.
解:
(1):
因为外角和与其对应的内角的和是180°,已知有一个外角是120°,即是有一个内角是60°,有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形.该结论正确.
(2):
两个外角相等说明该三角形中两个内角相等,而等腰三角形的两个底角是相等的,故不能确定该三角形是等边三角形.该结论错误.
(3):
等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的,“有一边”可能是底边,故不能保证该三角形是等边三角形.该结论错误.
(4)若每一个角各取一个外角,则所有内角相等,即三角形是等边三角形;若一个顶点取2个的话,就不成立,该结论错误.
故选:
D.
9.
解:
①若添加的条件为AB=AC,由∠A=60°,
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形;
②若添加条件为∠B=∠C,
又∵∠A=60°,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠A=∠B=∠C,
则△ABC为等边三角形;
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等,如图所示:
已知:
∠BAC=60°,AE⊥BC,CD⊥AB,且AE=CD,
求证:
△ABC为等边三角形.
证明:
∵AE⊥BC,CD⊥AB,
∴∠ADC=∠AEC=90°,
在Rt△ADC和Rt△CEA中,
,
∴Rt△ADC≌Rt△CEA(HL),
∴∠ACE=∠BAC=60°,
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,
∴AB=AC=BC,即△ABC为等边三角形,
综上,正确的说法有3个.
故选:
A.
10.
解:
延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM为等边三角形,
∴△EFD为等边三角形,
∵BE=6cm,DE=2cm,
∴DM=4cm,
∵△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°,
∵AN⊥BC,
∴∠DNM=90°,
∴∠NDM=30°,
∴NM=2cm,
∴BN=4cm,
∴BC=2BN=8cm.
故选:
C.
11.
解:
如图延长BD到M使得DM=DC,
∵∠ADB=78°,
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°,
∵∠ADB=78°,∠BDC=24°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°,
∴∠ADM=∠ADC,
在△ADM和△ADC中,
,
∴△ADM≌△ADC,
∴AM=AC=AB,
∵∠ABD=60°,
∴△AMB是等边三角形,
∴∠M=∠DCA=60°,
∵∠DOC=∠AOB,∠DCO=∠ABO=60°,
∴∠BAO=∠ODC=24°,
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,
∴24°+2(60°+∠CBD)=180°,
∴∠CBD=18°,
故选:
A.
12.
解:
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形,正确;
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形,错误;
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形,错误;
④有一个角是60°,且是轴对称的三角形是等边三角形,正确.
故选:
C.
二.填空题(共8小题)
13.
解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
又点D是边BC的中点,
∴∠BAD=
∠BAC=30°.
故答案是:
30°.
14.
解:
∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC,设点A表示的数为x﹣3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为﹣4,
∴﹣4﹣(2x+1)=2x+1﹣(x﹣3);
∴﹣3x=9,
x=﹣3.
故A表示的数为:
x﹣3=﹣3﹣3=﹣6,
点B表示的数为:
2x+1=2×(﹣3)+1=﹣5,
即等边三角形ABC边长为1,
数字2012对应的点与﹣4的距离为:
2012+4=2016,
∵2016÷3=672,C从出发到2012点滚动672周,
∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合.
故答案为:
﹣3,C.
15.
解:
∵△A1B1A2是等边三角形,
∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,
∴∠2=120°,
∵∠MON=30°,
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°,
又∵∠3=60°,
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°,
∵∠MON=∠1=30°,
∴OA1=A1B1=1,
∴A2B1=1,
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,
∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,
∵∠4=∠12=60°,
∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,
∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,
∴A3B3=4B1A2=4,
A4B4=8B1A2=8,
A5B5=16B1A2=16,
以此类推:
△AnBnAn+1的边长为2n﹣1.
故答案是:
2n﹣1.
16.
解:
(1)根据已知求出∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形;
(2)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;
(3)由三个外角都相等,得出三角形的三个内角也相等,根据三角都相等的三角形是等边三角形;所以是等边三角形;
(4)、
∵AD=DC,BD⊥AC,
∴AB=BC,
∵AB=AC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形;
故答案为
(1)
(2)(3)(4).
17.
解:
(1)如图,
由题中条件可得,BC=2,OA=
,OB=OC=1,
∴AB=AC=2=BC,
∴△ABC是等边三角形;
(2)如上图,若将△ABC三个顶点的纵坐标不变,横坐标分别加3,
则所得的图形与原来的三角形全等,只不过相当于将△ABC向右平移3.
18.
解:
∵(a2﹣2ac)(b﹣a)=c2(a﹣b),
∴a≠b,
∴a2﹣2ac=﹣c2,
∴(a﹣c)2=0,
∴a=c,
∴△ABC是等腰三角形,
∴a、b、c之间满足的关系是a=c≠b,
故答案为:
a=c≠b,△ABC是等腰三角形.
19.
解:
在△ABD和△ACD中
,
∴△ABD≌△ACD.
∴∠BAD=∠CAD.
又∵AB=AC,
∴BE=EC=3cm.
∴BC=6cm.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形.
∴AB=6cm.
故答案为:
6.
20.
解:
连接AA′,
∵点M是线段AC、线段A′C′的中点,AC=5,
∴AM=MC=A′M=MC′=2.5,
∵∠MA′C=30°,
∴∠MCA′=∠MA′C=30°,
∴∠MCB′=180°﹣30°=150°,
∴∠C′MC=360°﹣(∠MCB′+∠B′+∠C′)=360°﹣(150°+60°+90°)=60°,
∴∠AMA′=∠C′MC=60°,
∴△AA′M是等边三角形,
∴AA′=AM=2.5.
故答案为:
2.5.
三.解答题(共5小题)
21.
解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
22.
解:
连接DP,
∵∠DOP=60°,OD=OP,
∴△ODP是等边三角形,
∴∠OPD=60°,PO=PD,
∵等边三角形ABC,
∴∠A=∠B=60°,
∴∠AOP+∠OPA=120°,∠OPA+∠DPB=120°,
∴∠AOP=∠DPB,
在△AOP和△BPD中
,
∴△AOP≌△BPD,
∴AO=BP=2,
∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4
23.
解:
(1)BE垂直平分AD,理由:
∵AM⊥BC,
∴∠ABC+∠5=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°,
∴∠5=∠C;
∵AD平分∠MAC,
∴∠3=∠4,
∵∠BAD=∠5+∠3,∠ADB=∠C+∠4,∠5=∠C,
∴∠BAD=∠ADB,
∴△BAD是等腰三角形,
又∵∠1=∠2,
∴BE垂直平分AD.
(2)△ABD是等边三角形.理由:
∵∠5=∠C=30°,AM⊥BC,
∴∠ABD=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠CAM=60°,
∵AD平分∠CAM,
∴∠4=
∠CAM=30°,
∴∠ADB=∠3+∠C=60°,
∴∠BAD=60°,
∴∠ABD=∠BDA=∠BAD,
∴△ABD是等边三角形.
24.
解:
(1)①∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD、CD分别是角平分线,
∴∠DBC=
∠ABC=
∠ACB=∠DCB,
∴DB=DC,
∴△BDC是等腰三角形,
即在图1中共有两个等腰三角形;
②∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBE=∠DBC,
∴∠DBE=∠EDB,
∴EB=ED,
∴△EBD为等腰三角形,同理△FDC为等腰三角形,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠AFE,
∵AB=AC,
∴△AEF为等腰三角形,
即在图2中增加了三个等腰三角形;
(2)同②可证明得△EBD为等腰三角形,△FDC为等腰三角形,
所以EF=BE+CF,
即只有两个等腰三角形.
25.
解:
(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,
x×1+12=2x,
解得:
x=12;
(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①,
AM=t×1=t,AN=AB﹣BN=12﹣2t,
∵三角形△AMN是等边三角形,
∴t=12﹣2t,
解得t=4,
∴点M、N运动4秒后,可得到等边三角形△AMN.
(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,
由
(1)知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,
如图②,假设△AMN是等腰三角形,
∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∵
,
∴△ACM≌△ABN,
∴CM=BN,
设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,
∴CM=y﹣12,NB=36﹣2y,CM=NB,
y﹣12=36﹣2y,
解得:
y=16.故假设成立.
∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M、N运动的时间为16秒.
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