椭圆.docx

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椭圆

椭圆

一、知识表格

项目内容

第一定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。

第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫椭圆。

图形

标准方程

几何性质范围

顶点与长短轴的长

焦点焦距

准线方程

焦半径左下

焦准距

离心率（越小，椭圆越近似于圆）

准线间距

对称性椭圆都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称

通径

焦点三角形椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算

焦点弦三角形椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为。

参数方程为参数）为参数）

注意：

1、椭圆按向量平移后的方程为：

或，平移不改变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。

2、弦长公式：

已知直线：

与曲线交于两点，则

或

3、中点弦问题的方法：

①方程组法，②代点作差法。

两种方法总体都体现高而不求的数学思想。

双曲线

项目内容

第一定义平面内与两个定点的距离之差等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。

第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫双曲线。

图形

标准方程

几何性质范围

顶点与实虚轴的长

焦点焦距

准线方程

焦半径当在右支上时

左

当在左支上时

左当在上支上时

下

当在下支上时

下

渐近线方程

焦准距

离心率（越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的

准线间距

对称性双曲线都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称

通径

焦点三角形双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算

焦点弦三角形双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。

参数方程为参数）为参数）

项目内容

定义平面内到定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。

图形

标准方程

几何性质范围

开口方向向右向左向上向下

焦准距

顶点坐标坐标原点（0，0）

焦点坐标

准线方程

对称轴轴轴轴轴

离心率

通径长

焦半径

抛物线

一、焦点弦的结论：

（针对抛物线：

其中），为过焦点的弦，则

1、焦点弦长公式：

2、通径是焦点弦中最短的弦其长为

3、，，

4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

5、已知、在准线上的射影分别为、，则三点、、共线，同时

、、三点也共线

6、已知、在准线上的射影分别为、，则

7、

二、顶点直角三角形：

直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点

，反之，过定点的弦所对的顶点角为直角。

三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。

椭圆基础练习题

椭圆

（一）

1.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）

A.5B.6C.4D.10

2.椭圆的焦点坐标是（）

A.（±5，0）B.（0，±5）C.（0，±12）D.（±12，0）

3.已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则其焦距为（）

A.2B.2C.2D.

4.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.5.方程表示椭圆，则α的取值范围是（）

A.B.

C.∈Z）D.∈Z）

椭圆

（二）

1.设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.圆D.线段

2.椭圆的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）

A.32B.16C.8D.4

3.设α∈（0,），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（）

A.（0,B.（,）C.（0,）D.〔,）

4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是______.

5.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______.

6.在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.

椭圆（三）

1.选择题

（1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是（）A.2B.3C.5D.7

（2）已知椭圆方程为,那么它的焦距是（）

A.6B.3C.3D.

（3）如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）

A.（0，+∞）B.（0,2）C.（1,+∞）D.（0,1）

（4）已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是______.

（5）过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是______.

（6）过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是______.

椭圆（四）

1.设0≤α＜2π,若方程x2sinα-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是（）

A.（,）B.（,）C.（,）D.（,π）

2.方程（a＞b＞0,k＞0且k≠1），与方程（a＞b＞0）表示的椭圆（）

A.有等长的短轴、长轴B.有共同的焦点

C.有公共的准线D.有相同的离心率

3.中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则此椭圆的方程是（）

A.B.C.D.

4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）

A.-16＜m＜25B.＜m＜25C.-16＜m＜D.m＞

5.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4,0,）（0,2），则此椭圆的方程是（）

A.或B.

C.D.

6.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值是（）

A.-B.C.-D.

7.椭圆上点P到右准线等于4.5，则点P到左准线的距离等于（）

A.8B.12.5C.4.5D.2.25

8.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份，则椭圆的离心率等于（）

A.B.C.D.

9.中心在原点，长轴长是短轴长的2倍，一条准线方程是x=4，则此椭圆的方程是（）

A.B.C.D.

10.椭圆的离心率，则k的值等于（）

A.4B.-C.4或-D.-4或

11.椭圆的焦点F1（0，6），中心到准线的距离等于10，则此椭圆的标准方程是______.

12.动点P到定点F（2，0）的距离与到定直线x=8的距离比是1∶2，则此点P的轨迹方程是______.

13.椭圆的短轴长等于2，长轴与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是______.

14.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线x+3y-6=0上，则此椭圆的标准方程是______.

15.椭圆的准线方程是y=±18,椭圆上一点到两焦点的距离分别是10和14，则椭圆的标准方程是______.

16.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间距离等于36，椭圆上一点到两焦点的距离分别是9，15时，则此椭圆的方程是______.

17.直线y=x+k与椭圆相交于不同两点，则实数k的取值范围是______.

18.设椭圆（α为参数）上一点P与x轴正向所成角∠POx=，则点P的坐标是______.

19.设AB是过椭圆的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为,则AB的弦长是.

20.已知椭圆,过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若|AB|=，则直线l的方程是：

______.

双曲线基础练习

基础练习一、

1.已知双曲线的焦距为26，,则双曲线的标准方程是（）

A.B.

C.D.或

2.F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°,则

△F1PF2的面积是（）

A.2B.4C.8D.16

4.双曲线8mx2-my2=8的焦距为6，则m的值是（）

A.±1B.-1C.1D.8

5.设θ是第三象限角，方程x2+y2sinθ=cosθ表示的曲线是（）

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线6.求与圆A：

=49和圆B：

=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.

7.若一个动点P（x,y）到两个定点A（-1，0）、A′（1，0）的距离差的绝对值为定值a,求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

8.已知点（，1）、（，-3）在双曲线上，求双曲线的方程.

9.已知双曲线的焦点为F1（－c，0）、F2（c，0），过F2且斜率为的直线交

双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，｜PQ｜＝4，求双曲线的方程.

基础练习二、

1.选择题

（1）已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）

A.3＜k＜9B.k＞3

C.k＞9D.k＜3

（2）方程x2+（k-1）y2=k+1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是（）

A.k＜-1B.k＞1

C.-1＜k＜1D.k＜-1或k＞1

（3）方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（）

A.二B.四C.二或四D.一或三

2.填空题

（1）已知双曲线的焦点F1（-4，0），F2（4，0），且经过点M（2，2）的双曲线标准方程是______.

（2）双曲线的焦点在x轴上，且经过点M（3，2）、N（-2，-1），则双曲线标准方程是______.

（3）已知双曲线经过点M（2，3），N（-7，6），则双曲线标准方程是______.

基础练习三、

选择题

1．到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（）

A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线

2．方程表示双曲线，则的取值范围是（）

A．B．C．D．或

3．双曲线的焦距是（）

A．4B．C．8D．与有关

4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可

能是（）

ABCD

5．双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（）

A．B．3C．D．

6．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A．B．C．D．

7．若，双曲线与双曲线有（）

A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点

8．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）

A．28B．22C．14D．12

9．已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）

A．4条B．3条C．2条D．1条

10．给出下列曲线：

①4x+2y－1=0;②x2+y2=3;③④，其中与直线

y=－2x－3有交点的所有曲线是（）

A．①③B．②④C．①②③D．②③④

二、填空题

11．双曲线的右焦点到右准线的距离为__________________________．

12．与椭圆有相同的焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程为____________．

13．直线与双曲线相交于两点，则=__________________．

14．过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为．

三、解答题

15．求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．

16、已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．

17、双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，两准线间距离为，并且与直线相交所得弦的中点的横坐标是，求这个双曲线方程．

抛物线基础练习题

基础练习一、

1.动点P到点A（0，2）的距离比到直线l:

y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为

A.B.C.D.

2.已知直线l与抛物线交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为（8，8），则线段AB的中点到准线的距离是

A.B.C.D.253.已知抛物线的焦点在直线-4=0上，则此抛物线的标准方程是

A.B.

C.或D.或4.直线y=kx-2与抛物线交于A、B两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是5.动圆M经过点A（3，0）且与直线l:

x=-3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是

A.B.C.D.

6.已知抛物线与直线y=k（x+1）相交于两点A、B，求证：

OA⊥OB.

7.已知抛物线的焦点在x轴上，直线y=2x+1被抛物线截得的线段长为，求抛物线的标准方程.

8.一直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标分别为x1和x2，此直线在x轴

上的截距为a，求证：

基础练习二、

1.θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2.若双曲线两条准线间的距离的4倍等于焦距，则双曲线的离心率等于（）

A.4B.3C.2D.13.过点（0，3）作直线l，若l与双曲线＝1只有一个公共点，这样的直线l共有（）

A.一条B.二条C.三条D.四条

4.抛物线的焦点坐标是（）

A.（-）B.（）

C.（-）D.（-）

5.双曲线＝1的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）

A.（－∞，0）B.（－12，0）C.（－3，0）D.（－60，－12）

6.以=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）

A.B.

C.D.

7.双曲线的顶点为A（2，-1）、B（2，5），离心率e=3，则双曲线的准线方程是（）

A.x=3和x=1B.y=3和y=1

C.x=和x=D.y=和y=

8.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是（）

A.（）B.（1，1）C.（）D.（2，4）9.（a＞b＞0）的渐近线（）

A.重合B.不重合，但关于x轴对应对称

C.不重合，但关于y轴对应对称D.不重合，但关于直线y=x对应对称10.动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点

A.（4，0）B.（2，0）C.（0，2）D.（0，-2）

11.已知点A（0，1）是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大

时，则点P的坐标是.12.曲线C与抛物线y2=4x-3关于y=x对称，则曲线C的方程为.13.抛物线的对称轴方程为3x+4y-1=0，焦点坐标是（-1，y0），且抛物线过（3，4）点，则

抛物线的准线方程为.14.点P（8，1）平分双曲线x2-4y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是.15.P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1为它的一个焦点，求证：

以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切.16.设一系列椭圆的左顶点都在抛物线y2＝x－1上，且它们的长轴长都是4，都以y

轴为左准线.

（1）求这些椭圆中心的轨迹方程.

（2）求这些椭圆的离心率的最大值.

17.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，

且OP⊥OQ，｜PQ｜＝，求椭圆的方程.

18.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离用d表示，双曲线的一条渐近线为y=，问是否存在点P，使d、｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列?

若存在，求出P的坐标；若

不存在，说明理由.

19.如图，给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:

x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点

C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

椭圆基础练习参考答案

答案一

A2.C3.A4.5.C

答案二:

DBB4.分析：

将方程整理成据题意解之得0＜k＜1.

5.分析：

据题意解之得0＜m＜

6.分析：

以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=×39=26.

根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为（y≠0）

答案三:

DAD

4.答案：

5.答案：

6.答案：

答案四:

CDCBC;DACAC11.12.

13.14.或15.16.或17.k∈（-3,3）

18.（）19.20.x-y-1=0或x+y-1=0

双曲线基础练习参考答案

一、答案：

1.D2.B3.D4.A5.D6.（x＞0）.

7.

（1）当a=2时，轨迹方程是y=0（x≥1或x≤-1），轨迹是两条射线.

（2）当a=0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x=0.

（3）当0＜a＜2时，轨迹方程是轨迹是双曲线.

8.9.

二、答案：

1、C2、C3、C4、5、6、

三、答案：

1、24F1（-3，0），F2（3，0）y=±

2、y2-x2=83、4、5、

四、答案：

1、32、（）3、184、5、（，），（-，），（，-），（-，-）

抛物线基础练习题参考答案

一、参考答案：

1.D2.A3.C4.B5.A6.证明略.7.y2=12x或y2=-4x8.证明略.

二、参考答案：

1.C2.C3.D4.A5.B6.D7.B8.B9.D10.B

11.（±）12.x2=4y-313.4x-3y+25=0或4x-3y-25=0.

14.2x-y-15=015.证明略.16.

（1）y2＝x－3

（2）

17.或18.存在，（-）19.略_