中考数学与圆有关的压轴题精品文档.docx

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中考数学与圆有关的压轴题（解答题部分3）

11．（2014•四川成都,第27题10分）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是

上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．

（1）求证：

△PAC∽△PDF；

（2）若AB=5，

=

，求PD的长；

（3）在点P运动过程中，设

=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）

考点：

圆的综合题

分析：

（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．

（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．

（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点”？

此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．

解答：

（1）证明：

∵

，

∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣

所对的圆周角=180°﹣

所对的圆周角=

所对的圆周角=∠APC．

在△PAC和△PDF中，

，

∴△PAC∽△PDF．

（2）解：

如图1，连接PO，则由

，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．

在Rt△ABC中，

∵AC=2BC，

∴AB2=BC2+AC2=5BC2，

∵AB=5，

∴BC=

，

∴AC=2

，

∴CE=AC•sin∠BAC=AC•

=2

•

=2，

AE=AC•cos∠BAC=AC•

=2

•

=4，

∵△AEF为等腰直角三角形，

∴EF=AE=4，

∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．

∵△APO为等腰直角三角形，AO=•AB=，

∴AP=

．

∵△PDF∽△PAC，

∴

，

∴

，

∴PD=

．

（3）解：

如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，

∵HC⊥CB，GH⊥GB，

∴C、G都在以HB为直径的圆上，

∴∠HBG=∠ACQ，

∵C、D关于AB对称，G在AB上，

∴Q、P关于AB对称，

∴

，

∴∠PCA=∠ACQ，

∴∠HBG=∠PCA．

∵△PAC∽△PDF，

∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，

∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=

．

∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG=

=

，

∴y=

=x．

点评：

本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．