空间向量和立体几何练习题及答案.docx
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空间向量和立体几何练习题及答案
1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD丄平面ABCD点M
在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=i,,AB=4.
(1)求证:
M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【分析】
(1)设ACABD=O,则0为BD的中点,连接0M,利用线面平行的性质证明
OM//PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点;
(2)取AD中点G,可得PG丄AD,再由面面垂直的性质可得PG丄平面ABCD,则PG丄AD,连接0G,贝UPG丄0G,再证明0G丄AD.以G为坐标原点,分别以GD、GOGP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小;
(3)求出」的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【解答】
(1)证明:
如图,设ACABD=Q
••ABCD为正方形,二0为BD的中点,连接0M,
••PD//平面MAC,PD?
平面PBD,平面PBDA平面AMC=0M,
•••PD//0M,则器黑■,即卩M为PB的中点;
DUDF
(2)解:
取AD中点G,
VPA=PD/.PG±AD,
••平面PAD丄平面ABCD且平面PADA平面ABCD=AD
•••PG丄平面ABCD,贝UPG丄AD,连接0G,贝UPG丄0G,
由G是AD的中点,0是AC的中点,可得OG//DC,贝U0G丄AD.
以G为坐标原点,分别以GDGO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,
由PA=PD=I'.,AB=4,得D(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0,旳,C(2,4,
0),B(-2,4,0),M(-1,2,丄),
设平面PBD的一个法向量为.;■..,,:
取平面PAD的一个法向量为「|.
•二面角B-PD-A的大小为60°
(3)解:
须二卜3,吃,乎),平面BDP的一个法向量为祚⑴1;近).
•直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cosv".>
【点评】本题考查线面角与面面角的求法,训练了利用空间向量求空间角,属中档题.
2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA丄底面ABC,ZBAC=90.点D,E,N分别为棱PA,
PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4AB=2.
(I)求证:
MN//平面BDE
(U)求二面角C-EM-N的正弦值;
(川)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为一,求线段AH的长.
【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF//平面BDENF//平面BDE.得
至U平面MFN//平面BDE贝UMN//平面BDE
(U)由PA!
底面ABC,/BAC=90.°可以A为原点,分别以AB、ACAP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,进一步求得正弦值;
(川)设AH=t,则H(0,0,t),求出茁、二的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为比列式求得线段AH的长.
21
【解答】(I)证明:
取AB中点F,连接MF、NF,
••Ml为AD中点,:
MF//BD,
VBD?
平面BDEMF?
平面BDE「.MF//平面BDE
VN为BC中点,.「NF//AC,
又D、E分别为AP、PC的中点,.「DE//AC,贝UNF//DE.
••DE?
平面BDE,NF?
平面BDE,「2//平面BDE
又MFANF=F.
「•平面MFN//平面BDE,贝UMN//平面BDE;
(U)解:
TPA1底面ABC,ZBAC=90.°
•「以A为原点,分别以ABAC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
•,pa=ac=4ab=2
•a(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E
(0,2,2),
则‘一一-:
:
N(…一二,
设平面MEN的一个法向量为#(和屮z),
由图可得平面CME的一个法向量为/.KI.I•
|m||n|V21x121
(川)解:
设AH=t,贝UH(0,0,t),
「.二面角C-EM-N的余弦值为[」,则正弦值为J;
「二.:
:
,「一一一].
•••直线NH与直线BE所成角的余弦值为」,
,此时线段AH的长为^或-
解得:
听或t-.
「.当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为」
【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.
3•如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是DF的中点.
(I)设P是;上的一点,且APIBE,求ZCBP的大小;
(U)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得BEX平面ABP,得到BEXBP,结合/
EBC=120求得/CBP=30;
(n)法一、取’「的中点H,连接EH,GH,CH,可得四边形BEGH为菱形,取AG中点M,连接EM,CM,EC得到EMXAG,CMXAG,说明/EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.
法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标
系•求出A,E,G,C的坐标,进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.
【解答】解:
(I):
AP丄BE,AB丄BE,且AB,AP?
平面ABP,ABAAP=A
•••BEX平面ABP,又BP?
平面ABP,
•••BEXBP,又ZEBC=120,°
因此ZCBP=30;°
(U)解法一、
取「的中点H,连接EH,GH,CH,
VzEBC=120,°•四边形BECH为菱形,
••AE=GE=AC=GC=;〔:
.
取AG中点M,连接EM,CM,EC,
贝UEMXAG,CMXAG,
•••左MC为所求二面角的平面角.
又AM=1,:
EM=CM=;丨二.:
:
.
在ABEC中,由于/EBC=120,°
由余弦定理得:
EC=,+22-2X2X2Xcos120=l2,
•「;,因此△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°
解法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意得:
A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,\3),C(-1,;,0),
故「二.一,「二一「厂.,•工I•二•
:
!
为平面AEG的一个法向量,
2x1-321-0
,得
^Wsyi=o,取z1=2,得債⑶一75,R;
、为平面ACG的一个法向量,
•••二面角E-AG-C的大小为60°
【点评】本题考查空间角的求法,考查空间想象能力和思维能力,训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小,是中档题.
4•如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD/
AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(I)证明平面ABEFL平面EFDC
(U)求二面角E-BC-A的余弦值.
【分析】(I)证明AF丄平面EFDC利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF
丄平面EFDC
(U)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面
BEC平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A的余弦值.
【解答】(I)证明:
:
ABEF为正方形,二AF丄EF.
VzAFD=90,「.AF丄DF,••DFGEF=F
••AF丄平面EFDC
VAF?
平面ABEF
•••平面ABEFL平面EFDC
(U)解:
由AF丄DF,AF丄EF,
可得/DFE为二面角D-AF-E的平面角;
由ABEF为正方形,AF丄平面EFDC
••BEXEF,
•••BEX平面EFDC
即有CE!
BE,
可得/CEF为二面角C-BE-F的平面角.
可得ZDFE=^CEF=60.°
••AB//EF,AB?
平面EFDCEF?
平面EFDC
••AB//平面EFDC
V平面EFD6平面ABCD=CDAB?
平面ABCD,
••AB//CD,•••CD//EF,
•四边形EFDC为等腰梯形.
以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a
设平面BEC的法向量为(xi,yi,zi),贝U二"
2ayj=0
设平面ABC的法向量为二(x2,y2,Z2),则*丁号二。
bn^A5=0
r号工十2ay十飞~匹尸0卄—j—
则丿222鼻丄,取口=(0,岛,4).
2ax2-0设二面角E-BC-A的大小为9,贝Ucos&
=■■:
=
Vs+1^3+16
19
则二面角E-BC-A的余弦值为-[.
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.
5•如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=cF=,EF交于BD于点H,将ADEF沿EF折到△)'E的位置,OD■=).
4
(I)证明:
D'£平面ABCD
(U)求二面角B-D'-C的正弦值.
【分析】(I)由底面ABCD为菱形,可得AD=CD结合AE=CF可得EF//AC,再由ABCD
是菱形,得AC丄BD,进一步得到EF丄BD,由EF丄DH,可得EF丄D'H然后求解直角三
角形得D'HOH,再由线面垂直的判定得D'£平面ABCD
(U)以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,得到忑、而反的坐标,分别求出平面ABD与平面AD'的一个法向量石、石,设二面角二面角B-D'-C的平面角为9,求出|cos19则二面角B-D'-C的正弦值可求.
【解答】(I)证明ABCD是菱形,
••AD=DC又AE=CF=,
4
又由ABCD是菱形,得AC丄BD,贝UEF丄BD,
•••EFIDH,贝UEF丄D'H
••AC=6,
••A0=3,
又AB=5,AO丄OB,
•••OB=4,
.•QH』・T=1,则DH=D'H=3
AD
•••|OD'2=|OH|2+|DH2,则D'HOH,
又OHGEF=H
•••D'H平面ABCD
(U)解:
以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
••AB=5,AC=6
•••B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,-3,0),
亟=(4,3.0),AD?
=(-l,3,3)|,6,0),
设平面ABD的一个法向量为
r..1
ni•AB=0I厂,得」
□1*时二0
同理可求得平面AD'的一个法向量
设二面角二面角B-D'AC的平面角为9,
则|COS
lnl,n2I_|3X3+EX1|_7a/&
|~||^|"5V2XV10
面角B-D'-C的正弦值为sin9=-
【点评】本题考查线面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法,训练了利用平面的
法向量求解二面角问题,体现了数学转化思想方法,是中档题.
6.在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB侧面ABBAi是边长为2的正方形,点E,F分别
(I)证明:
平面ABBiAi丄平面ABC;
(U)若CA丄CB求直线AG与平面CEF所成角的正弦值.
【分析】(I)取AB的中点D,连结CD,DF,DE计算DE,EF,DF,利用勾股定理的
逆定理得出DE丄EF,由三线合一得CD丄AB,故而CD丄平面ABBAi,从而平面ABBiAi
丄平面ABC
(II)以C为原点建立空间直角坐标系,求出亦和平面CEF的法向量刁,贝U直线AC与平面CEF所成角的正弦值等于|cosvQ'订〉|.
【解答】证明:
(I)取AB的中点D,连结CD,DF,DE
••AC=BCD是AB的中点,二CD丄AB.
.-.EF2+DE?
=DF2,aDE±EF,
又CELEF,CEADE=ECE?
平面CDEDE?
平面CDE
•••EF丄平面CDE又CD?
平面CDE
•••CD丄EF,
又CD丄AB,AB?
平面ABBAi,EF?
平面ABBAi,AB,EF为相交直线,•••CD丄平面ABBAi,又CDGABC,
•平面ABBiAi丄平面ABC.
(II)v平面ABBiAi丄平面ABC,
•三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,二CC丄平面ABC
vCA±CB,AB=2,•••AC=BC=W.
以C为原点,以CA,CB,CO为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则A(工,0,0),C(0,0,0),Ci(0,0,2),EC:
:
0,丄),F(J:
:
_;,
2)
"「=i0,|“|=6口,|;|=「.
•直线ACi与平面CEF所成角的正弦值为一.
18
【点评】本题考查了面面垂直的判定,线面角的计算,空间向量的应用,属于中档题.
7.如图,在四棱锥中P-ABCD,PA丄平面ABCD,AD//BC,AD丄CD,且AD=CD=2■:
BC=4:
■:
PA=2.
(1)求证:
AB丄PC;
(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
【分析】
(1)利用直角梯形的性质求出AB,AC的长,根据勾股定理的逆定理得出AB丄AC,由PA丄平面ABCD得出AB丄PA,故AB丄平面PAC,于是AB丄PC;
(2)假设存在点M,做出二面角的平面角,根据勾股定理求出M到平面ABCD的距离从而确定M的位置,利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据勾股定理计算BM,则p即为所求角的正弦值.
Din
【解答】解:
(1)证明:
•••四边形ABCD是直角梯形,
AD=CD=2]:
BC=4:
:
••AC=4,AB=「汕|-;=i:
=4,
•••△BC是等腰直角三角形,即AB丄AC,
••PA丄平面ABCDAB?
平面ABCD
•••PA丄AB,
••AB丄平面PAC,又PC?
平面PAC,
••AB丄PC.
(2)假设存在符合条件的点M,过点M作MN丄AD于N,则MN//PA,
••MIN丄平面ABCD-MN丄AC.
过点M作MG丄AC于G,连接NG,贝UAC丄平面MNG,
••AC丄NG,即ZMGN是二面角M-AC-D的平面角.
若/MGN=45;贝UNG=MN,又AN^NG^MN,
••MIN=1,即M是线段PD的中点.
•••存在点M使得二面角M-AC-D的大小为45°
【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质,空间角与空间距离的计算,属于中档题.
8.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AiACG丄底面ABC,/AiAC=60.
(1)求侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足门=■-.+「,在直线AAi上是否存在点P,使DP//平面ABiC?
若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)推导出AiO丄平面ABC,BO丄AC,以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz,利用向量法能求出侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值.
(2)假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z),则「-I…;•利
用向量法能求出存在点P,使DP/平面ABiC,其坐标为(0,0,二),即恰好为Ai点.
【解答】解:
(i)v侧面AiACC丄底面ABC,作AiO丄AC于点O,
••AiO丄平面ABC
又ZABC=^AiAC=60,且各棱长都相等,
••AO=i,OAi=OB=「;,BO丄AC.…(2分)
故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则A(0,-1,0),B(二0,0),Ai(0,0,「;),C(0,1,0),
X=(计一;「’〔打),i=(0,2,0).…(4分)
设平面ABiC的法向量为.;=(;.,
设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为9,
则sin9=sv」,i>|=|-
VsVe
|—
II•|n|'
•侧棱AA1与平面ABiC所成角的正弦值为—.-•(6分)
4
⑵•••BD=Ba+BC,而尿(品-1,Q),丽1,。
),
•••=(-2、:
0,0),又TB(一「匚),「•点D(-:
0,0).
假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z),A'-1:
…:
••DP//平面ABiC,=(-1,0,1)为平面ABiC的法向量,
y+l=k血二気忑,
又DP?
平面AB1C,故存在点P,使DP//平面AB1C,其坐标为(0,0,;),
即恰好为A1点.…(12分)
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,
是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABBA1为矩形,AB—2,AA1—2:
■:
D是AA1的中点,
BD与AB1交于点O,且CO丄平面ABBA1.
(I)证明:
平面AB1C丄平面BCD
(U)若OC—OA8B1C的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.
【分析】(I)通过证明ABi丄BD,ABi丄CO,推出ABi丄平面BCD,然后证明平面ABiC
丄平面BCD
(U)以O为坐标原点,分别以OD,OBi,OC所在直线为x,y,z轴,建立如图所示
的空间直角坐标系O-xyz•求出平面ABC的法向量,设直线GD与平面ABC所成角a,
利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:
(I)vABBiAi为矩形,AB=2,,・:
.T,D是AAi的中点,:
zBAD=90,二卜-i',丽]二2逅,阻士心二佢
zSABiB,…(2分)
兀兀
••二MAM+ZB壮ip,「/AQ护迈-,从而ABi丄BD…(4分)
••CO丄平面ABBAi,ABi?
平面ABBAi,:
ABi丄CO,:
BDGCO=Q/-ABi丄平面BCD,••ABi?
平面ABiC,
•/平面ABiC丄平面BCD…(6分)
(U)如图,以O为坐标原点,
分别以OD,OB,OC所在直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
在矩形ABBAi中,由于AD//BB,所以△AOD和△BiOB相似,
又:
丨.Ih!
.「■,丨-、|丁*一二;,r-,:
一-,
0E]电3,/(厲o),山°),(山°,竽),艮1(°,磐'0),
OsO)TG为△ABiC的重心,.*(0,空3色短
99
(8分)
设平面ABC的法向量为:
■■■..,-…r•-,■.I-,
设直线GD与平面ABC所成角a,则
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
10.在矩形ABCD中,AB=^5,AD=^5,将MBD沿BD折起,使得点A折起至A',设
二面角A—BD-C的大小为9.
(1)当B=90寸°求A,的长;
⑵当cos『寸,求BC与平面A,BD成角的正弦值.
【分析】
(1)过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE利用勾股定理及余弦定理计算AE,CE由A,ECE得出A,;
⑵禾I」用余弦定理可得A,F=,,从而得出A,卫平面ABCD,以F为原点建立坐标系,
求出•和平面A,B的法向量门,则BC与平面A,B所成角的正弦值为|cosv1厂.>|.
【解答】解:
(1)在图1中,过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE
在壬CE中,由余弦定理得CE….丁ji,「_:
・「=2l「;.
V0=90°A'卫平面ABCD•••A'JLCE
JA'|(=h,Q+CE?
=2帀.
⑵DE=」「=2.
•tan/FDE*二十二丄,.哥=1,DF才声.二牛.-当「二-二二即cosZA'^时,
••A'2=A'2+EP,.・.zA'FE=90°又BD丄AE,BD丄EF,/-BDX平面A'EF,/-BD±A'F••A'F丄平面ABCD
以F为原点,以FC为x轴,以过F的AD的平行线为y轴,以FA为z轴建立空间直角坐标系如图所示:
••A'(0,0,.丨口),D(―匚,0,0),B(3H,2口,0),C(3口,0,0).
•lV5x-h/15z=0
•BC与平面A'BD所成角的正弦值为:
.
•=(0,2\,0),'■=(
■,2.J■,0),「=(.,,0,.;■).
n=(X,y,z),贝U
|n'DAr'=0
设平面A'B的法向量为
,令z=1得门=(-「;,2\1).
【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算,空间向量的应用,属于中档题.
11.如图,由直三棱柱ABC-A1B1G和四棱锥D-BBiGC构成的几何体中,/BAC=90,
AB=1,BC=BB=2,CiD=CD^,平面CCD丄平面ACCAi.
(I)求证:
AC丄DCi;
(U)若M为DCi的中点,求证:
AM//平面DBBi;
(E)在线段BC上是否存在点P,使直线DP与平面BBD所成的角为耳?
若存在,求二丄的值,若不存在,说明理由.
【分析】(I)证明AC丄CG,得至UAC丄平面CGD,即可证明AC丄DG.
(U)易得/BAC=90,,建立空间直角坐标系A-xyz,
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- 空间 向量 立体几何 练习题 答案