高中数学24逆变换与逆矩阵241逆矩阵的概念教学案苏教版选修42.docx
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高中数学24逆变换与逆矩阵241逆矩阵的概念教学案苏教版选修42
高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2
1.逆矩阵的定义
对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵,记为A-1.
2.逆矩阵的性质
(1)若二阶矩阵A、B均可逆,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.
(2)已知A、B、C为二阶矩阵且AB=AC,若A存在逆矩阵,则B=C.
3.逆矩阵的求法
(1)公式法:
对于二阶矩阵A=,若ad-bc≠0,则A必可逆,且A-1=.
(2)待定系数法.
(3)逆变换法.
逆矩阵的求法
[例1] 求矩阵A=的逆矩阵.
[思路点拨] 设出逆矩阵,利用待定系数法求解或直接利用公式法求解.
[精解详析] 法一:
待定系数法:
设A-1=,
则=.
即=,
故
解得x=-1,z=2,y=2,w=-3,
从而A的逆矩阵为A-1=.
法二:
公式法:
ad-bc=3×1-2×2=-1≠0,
∴A-1=.
用待定系数法求逆矩阵时,先设出矩阵A的逆矩阵A-1,再由AA-1=E得相等矩阵,最后利用相等矩阵的概念求出A-1.
1.(江苏高考)已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.
解:
设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=
故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=,
所以A-1B==.
2.已知矩阵M=所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A′(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标.
解:
由M=,得2×(-1)-(-3)×1=1≠0,
故M-1=.
从而由=得
===,
故即A(2,-3)为所求.
[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵.
(1)A=;
(2)B=.
[思路点拨] A为伸压变换矩阵,B为旋转变换矩阵,只需找到它们的逆变换,再写出逆变换对应的矩阵即为所求.
[精解详析]
(1)矩阵A为伸压变换矩阵,它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换,因此它存在逆变换TA-1:
将平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向压缩为原来的,所对应的变换矩阵为A-1=.
(2)矩阵B为旋转变换矩阵,它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换TB-1:
将平面内的点绕原点逆时针旋转90°,所对应的变换矩阵为B-1=.
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换,就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”,即对应的变换是一一映射.
关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵,根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换,再写出逆变换对应的矩阵,即为所求逆矩阵.
3.已知矩阵A=,求A-1.
解:
矩阵A对应的变换是旋转变换R240°,它的逆变换是R-240°
∴A-1=
=.
4.已知矩阵A=,求A-1.
解:
因矩阵A所对应的变换为伸缩变换,
所以A-1=.
逆矩阵的概念与性质的应用
[例3] 若矩阵A=,B=,求矩阵AB的逆矩阵.
[思路点拨] 根据公式(AB)-1=B-1A-1,先求出B-1、A-1,再利用矩阵乘法求解.
[精解详析] 因为矩阵A所对应的变换为伸缩变换,
所以A-1=.
而矩阵B对应的变换为切变变换,
其逆矩阵B-1=,
∴(AB)-1=B-1A-1
==.
(1)要避免犯如下错误(AB)-1=A-1B-1.
(2)此题也可以先求出AB再求其逆.
5.已知A=,求A-1.
解:
设M=,N=,则A=MN.
∵1×1-0×(-1)=1≠0,
∴M-1=,同理N-1=.
由逆矩阵的性质,得
A-1=(MN)-1=N-1M-1
==.
6.若矩阵A=,B=,求曲线x2+y2=1在矩阵(AB)-1变换下的曲线方程.
解:
(AB)-1=B-1A-1==.
设P(x,y)是圆x2+y2=1上任意一点,P点在(AB)-1对应变换下变成Q(x′,y′)
则==.
∴故
∴P(x′+2y′,y′).
又P点在圆上,∴(x′+2y′)2+(y′)2=1.
展开整理为(x′)2+4x′y′+5(y′)2=1.
故所求曲线方程为x2+4xy+5y2=1.
[例4] 已知矩阵A=,B=,C=,求满足AXB=C的矩阵X.
[思路点拨] 由AXB=C得X=A-1CB-1,从而求解.
[精解详析] ∵A-1=,
B-1=,
∴X=A-1CB-1=
==.
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵,若位置错误,则得不到正确结果,原因是矩阵乘法并不满足交换律.
7.已知矩阵A=.
若矩阵X满足AX=,试求矩阵X.
解:
设A-1=,
则=,
即=,
所以解得
故所求的逆矩阵A-1=.
因为AX=,
所以A-1AX=A-1,
所以X=A-1==.
8.若点A(2,2)在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B(-2,2),求矩阵M的逆矩阵.
解:
因为M=,
即=,
所以解得
所以M=.
法一:
由M==,知M是绕原点O逆时针旋转90°的旋转变换矩阵,于是M-1==.
法二:
由M=,则ad-bc=1≠0.∴M-1=.
1.求下列矩阵的逆矩阵.
(1)A=;
(2)B=.
解:
法一:
利用逆矩阵公式.
(1)注意到1×3-2×1=1≠0,故A存在逆矩阵A-1,且
A-1==.
(2)注意到2×5-4×3=-2≠0,故B存在逆矩阵B-1,且
B-1==.
法二:
利用待定系数法.
(1)设矩阵A的逆矩阵为,
则=,
即=.
故
解得a=3,c=-2,b=-1,d=1.
从而A-1=.
(2)设矩阵B的逆矩阵为,
则=,
即=.
故
解得x=-,z=2,y=,w=-1.
从而B-1=.
2.已知可逆矩阵A=的逆矩阵A-1=,求a,b的值.
解:
根据题意,得AA-1=E,
所以=,
即=,
所以解得a=5,b=3.
3.已知A=,B=,求证B是A的逆矩阵.
证明:
因为A=,B=,
所以AB==,
BA==,
所以B是A的逆矩阵.
4.求矩阵乘积AB的逆矩阵.
(1)A=,B=;
(2)A=,B=.
解:
(1)(AB)-1=B-1A-1
==.
(2)(AB)-1=B-1A-1
=
=.
5.已知变换矩阵A把平面上的点P(2,-1),Q(-1,2)分别变换成点P1(3,-4),Q1(0,5).
(1)求变换矩阵A;
(2)判断变换矩阵A是否可逆,如果可逆,求矩阵A的逆矩阵A-1;如果不可逆,请说明理由.
解:
(1)设A=,依题意,得=,=,
即解得
所以A=.
(2)变换矩阵A是可逆的,理由如下:
设矩阵A的逆矩阵为,
则由=,得
解得
故矩阵A的逆矩阵为A-1=.
6.已知矩阵M=,N=,试求曲线y=cosx在矩阵M-1N对应的线性变换作用下的函数解析式.
解:
M-1=,
∴M-1N==.
∴==
即∴
代入y=cosx得y′=cos2x′
故曲线y=cosx在矩阵M-1N对应的变换作用下解析式为y=2cos2x.
7.已知矩阵A=.
(1)求矩阵A的逆矩阵B;
(2)若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
解:
(1)设矩阵A的逆矩阵为B=,则
=,得解得
所以B=.
(2)设直线l上任一点P(x,y)经过B对应变换变为点P(x′,y′),则=,
即
又y′=x′,所以-2x+y=x-y,
即直线l的方程为7x-3y=0.
8.已知曲线C在矩阵对应的变换作用下的象为x2+y2=1,求曲线C的方程.
解:
矩阵对应的变换为:
平面内点的纵坐标沿y轴方向缩短为原来的,横坐标沿x轴方向缩短为原来的,其逆变换为:
将平面内点的纵坐标沿y轴方向拉伸为原来的2倍,横坐标沿x轴方向拉伸为原来的3倍,故-1=.
设圆x2+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵对应的伸缩变换作用下的象为P′(x′,y′),
则即代入x2+y2=1,
得+=1.
故曲线C的方程为+=1.
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