《离散数学》期末复习提要.docx
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《离散数学》期末复习提要
《离散数学》期末复习提要
课程的主要内容
1、集合论部分(集合的基本概念和运算、二元关系和函数);
2、数理逻辑部分(命题逻辑、谓词逻辑);
3、图论部分(图的基本概念、特殊的图,树及其性质)。
一、各章复习要求与重点
第一章 命题逻辑
[复习知识点]
1、命题与联结词(否定、析取、合取、蕴涵、等价),复合命题
2、命题公式与解释,真值表,公式分类(永真、矛盾、可满足),公式的等价
3、析取范式、合取范式,极小(大)项,主析取范式、主合取范式
4、公式类别的判别方法(真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法)
5、全功能集
6、推理理论
本章重点内容:
命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论
[复习要求]
1、理解命题的概念;了解命题联结词的概念;理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念;掌握求给定公式真值表的方法,用基本等价式化简其他公式,公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取)范式的概念;理解极大(小)项的概念和主析取(合取)范式的概念;掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
掌握24个重要等值式。
5、掌握推理理论,会写出推理的证明,掌握附加前提证明法和归谬发。
[本章重点习题]
习题P31-36:
1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19,1.15
[疑难解析]
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性,包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种,一是真值表法,对于任给一个公式,主要列出该公式的真值表,观察真值表的最后一列是否全为1(或全为0),就可以判定该公式是否恒真(或恒假),若不全为0,则为可满足的。
二是推导法,即利用基本等价式推导出结果为1,或者利用恒真(恒假)判定定理:
公式G是恒真的(恒假的)当且仅当等价于它的合取范式(析取范式)中,每个子句(短语)均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项,一定要与求主析取范式相区别,对于合取范式也同样。
2、范式
求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:
一是准确理解掌握定义;另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律,结果的前一步适当使用等幂律,使相同的短语(或子句)只保留一个。
3、推理理论
掌握构造证明法,一是要理解并掌握8个推理定理,二是会使用常用的推理规则,附加前提证明法和归谬法,需要进行一定的练习。
[例题分析]
例1求
的主析取范式与主合取范式。
解
(1)求主析取范式,
方法1:
利用真值表求解
G
000
001
010
011
100
101
110
111
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
因此
方法2:
推导法
(2)求主合取范式
方法1:
利用上面的真值表
为0的有两行,它们对应的极大项分别为
因此,
方法2:
利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项,尚有2个极小项,即
与
于是
例2试证明公式
为恒真公式。
证法一:
G=((PQ)(QR))(PR)
=(PQ)(QR)PR
=(((PQ)(PR)(QQ)(QR))P)R
=((PQP)(PRP)(QRP))R
=(1(QRP))R
=QRPR
=1
故G为恒真公式。
例3构造下面的推理证明
前提:
p(q∨r),sr,p∧s
结论:
q
证明:
①p∧s前提引入
②p①化简
③p(q∨r)前提引入
④q∨r②③假言推理
⑤s①化简
⑥sr前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
⑧q④⑦析取三段论
推理正确。
第二章一阶逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元(约束变元与自由变元)
2、一阶逻辑公式与解释,谓词公式的类型(永真、矛盾、可满足)
3、一阶逻辑公式等值式
4、前束范式
本章重点内容:
谓词与量词、公式与解释、前束范式
[复习要求]
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念;理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题;了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念;掌握在有限个体域下消去公式量词,求公式在给定解释下真值的方法;了解谓词公式的类型。
3、证明等值式。
4、掌握求公式前束范式的方法。
[本章重点习题]
习题P52-55:
2.3,2.12,2.13,2.14,2.15
[疑难解析]
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义,概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与换名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除,写成与之等价的公式,然后将解释I中的数值代入公式,求出真值。
3、前束范式
在充分理解掌握前束范式概念的基础上,利用改名规则、基本等价式与蕴涵式(一阶逻辑中),将给定公式中量词提到母式之前称为首标。
[典型例题]
例1设I是如下一个解释:
F
(2)F(3)P
(2)P(3)Q(2,2)Q(2,3)Q(3,2)Q(3,3)
32011101
求
的真值。
解
例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。
解
第三章集合的基本概念和运算
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律(交换律、结合律、分配律、吸收律、对偶律等),文氏图
3、集合的计数
本章重点内容:
集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明,集合的计数
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律,证明集合等式的方法。
4、掌握集合的计数。
[疑难解析]
1、集合的概念
重点对幂集加以掌握,一是掌握幂集的构成,一是掌握幂集元数为2n。
2、集合恒等式的证明
重视吸收律和重要等价式在
证明中的特殊作用。
习题P71-75:
3.8,3.9,3.16,3.17,3.18
[例题分析]
例1设A,B是两个集合,A={1,2,3},B={1,2},则
。
解
于是
例2设
,试求:
(1)
;
(2)
;(3)
;
(4)
;(5)
;(6)
。
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例3试证明
证明
第四章二元关系和函数
[复习知识点]
1、笛卡尔积,关系、关系矩阵
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性)
4、关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图(Hasse)、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质(单射、满射、双射)
8、复合函数与反函数
本章重点内容:
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、映射的概念
[复习要求]
1、理解关系的概念:
二元关系、空关系、全关系、恒等关系;掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质(自反性、反自反性,对称性、反对称性、传递性),掌握其判别方法(定义、矩阵、图)。
4、掌握求关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念,掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法,极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念:
函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念,掌握其判别方法。
[疑难解析]
1、关系的概念
理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握,又是关系的闭包、等价关系、偏序关系的基础。
要会判断关系的性质。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上,主要掌握闭包的求法。
关键是熟记三个定理的结论:
;定理3,
;定理4,推论
。
4、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。
哈斯图画法掌握了,对于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元也就容易了。
这里要注意,最大(小)元与极大(小)元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。
5、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。
判定的方法除定义外,可借助于关系图,而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行,尤其是对各种初等函数。
习题P112-116:
4.4,4.25
[例题分析]
例1设集合
,判定下列关系,哪些是自反的,对称的,反对称的和传递的:
解:
均不是自反的;R4是对称的;R1,R2,R3,R4,R5是反对称的;R1,R2,R3,R4,R5是传递的。
例2、设集合
上的关系
,求出它的自反闭包,对称闭包和传递闭包。
解:
第五-七章图论
[复习知识点]
1、无向图、有向图,通路,回路,连通分支
2、关联矩阵、邻接矩阵,可达矩阵
3、二部图,欧拉图,哈密顿图,平面图
4、树
本章重点内容:
图的基本概念,特殊图的判定
[复习要求]
1、理解图的有关概念:
图、完全图、子图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示(关联矩阵、邻接矩阵)。
3、学会判断特殊的图。
4、理解无向树与有向树的概念。
[疑难解析]
本章的概念较多,学习时需要认真比较各概念的含义,如:
图、子图、有向图;路、简单路、回路;连通分支;二部图,欧拉图,哈密顿图,平面图;树等。
[典型例题]
例1在具有n个顶点的完全图Kn中删去多少条边才能得到树?
解:
n个顶点的完全图Kn中共有n(n-1)/2条边,
n个顶点的树应有n-1条边,
于是,删去的边有:
n(n-1)/2-(n-1)=(n-1)(n-2)/2
二、考核说明
本课程的考核按平时成绩30%期末考试70%的分配进行考核。
期末考试实行统一闭卷考核,试卷满分为100。
(考试时间为110分钟)。
1、试题类型
试题类型有选择题(分数占5%)、填空题(分数占15%)、计算题(分数占21%),证明题(分数占28%)和解答题(分数占21%)。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是:
集合论约占40%,数理逻辑约占50%,图论约占10%。
综合练习及解答
(一)填空题
1、请把“大于3而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来A={}。
2、A,B是两个集合,A={1,2,3,4},B={2,3,5},则B-A=,(B)(A)=,(B)的元素个数为。
3、设
,则从A到B的所有映射。
4、设命题公式
,则使公式G为假的解释是、
和。
5、全集E={1,2,3,4,5},A={1,5},B={1,2,3,4},C={2,5},求AB=,(A)(C)=,
C=。
6、表达式xyL(x,y)中谓词的定义域是{a,b,c},将其中的量词消除,写成与之等价的命题公式为。
(二)单项选择题(选择一个正确答案的代号,填入括号中)
1.设命题公式
,则G是()。
A.永真的B.永假的C.可满足的D.析取范式
2、设集合
,A上的关系
,则
=()。
3、一个公式在等价意义下,下面哪个写法是唯一的()。
A.析取范式B.合取范式C.主析取范式D.以上答案都不对
4、设命题公式G=(PQ),H=P(QP),则G与H的关系是()。
A.GHB.HGC.G=HD.以上都不是
5、下列命题正确的是()。
A.{}=B.{}=C.{a}{a,b,c}D.{a,b,c}
6、设集合A={a,b,c},A上的关系R={(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},则R具有关系的()性质。
A.自反B.对称C.传递D.反对称
7、设R为实数集,映射=RR,(x)=-x2+2x-1,则是()。
A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不是单射,也不是满射
8、下列语句中,()是命题。
A.下午有会吗?
B.这朵花多好看呀!
C.2是常数。
D.请把门关上。
9、下面给出的一阶逻辑等价式中,()是错的。
A.x(A(x)B(x))=xA(x)xB(x)
B.AxB(x)=x(AB(x))
C.x(A(x)B(x))=xA(x)xB(x)
D.xA(x)=x(A(x))
(三)计算题
1、设R和S是集合
上的关系,其中
,试求:
(1)写出R和S的关系矩阵;
(2)计算
。
2、设A={a,b,c,d},R1,R2是A上的关系,其中R1={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)},R2={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b),(a,a),(b,b),(c,c)}。
(1)画出R1和R2的关系图;
(2)判断它们是否为等价关系,是等价关系的求A中各元素的等价类。
3、用真值表判断下列公式是恒真?
恒假?
可满足?
(1)(PP)Q
(3)(PQ)Q
(3)((PQ)(QR))(PR)
4.设解释I为:
(1)定义域D={-2,3,6};
(2)F(x):
x3;
G(x):
x5。
在解释I下求公式x(F(x)G(x))的真值。
5、化简下式:
((ABC)(AB))((A(BC))A)
6、已知A={1,2,3,4,5},B={1,2,3},R是A到B的二元关系,并且R={(x,y)|xA且yB且2x+y4},画出R的关系图,并写出关系矩阵。
7、求命题公式(PQ)(PQ)的析取范式与合取范式。
(四)证明题
1、证明等价式
。
2、构造推理证明:
蕴涵Q。
3、A,B,C为任意的集合,证明:
(AB)C=A(BC)
4、利用一阶逻辑的基本等价式,证明:
xy(F(x)G(y))=xF(x)yG(y)
5有向图
如图所示。
(1)求
的邻接矩阵
;
(2)
中
到
长度为4的路径有几条?
(3)
中
到自身长度为3的回路有几条?
(4)
是哪类连通图?
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