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完整版专题函数的周期性
专题函数的周期性
一知识点精讲
1.周期函数的定义:
对于f(x)定义域内的每一个x,都存在非零常数T,使得f(xT)f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一个周期,则kT(kZ,k0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.周期函
数的定义域一定是无限集
2性质
①若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;
②若周期函数f(x)的周期为T,则f(x)(
0)是周期函数,且周期为
3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:
函数y
f
x满足对定义域内任
一实数x(其中a
0为常数)
(1)
fx
f
:
Xa,则yf
x的周期T
a.
(2)
fx
a
fx,贝Ufx
的周期T
2a.
(3)
fx
a
的周期T
2a.
,贝UTx
fx
(4)
fx
a
fxa,贝Uf
x的周期T
2a.
(5)
f(x
a)
1f(x),则fx
1f(x)
的周期T
2a.
(6)
f(x
a)
1f(x),则f
1f(x)
x的周期T
4a数.
(7)
f(x
a)
1f(x),则fx
1f(x)
的周期T
4a.
(8)
函数
y
f(x)满足f(ax)
f(ax)
(a0),
若f(x)为奇函数,则其周期为
T4a,若f(x)为偶函数,则其周期为T2a.
(9)函数yf(x)xR的图象关于直线xa和xbab都对称,则函数f(x)是
以2ba为周期的周期函数.
(10)函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,yo>Bb,yoab都对称,则函数
f(x)是2ba为周期的周期函数.
(11)函数yf(x)xR的图象关于Aa,y0和直线xbab都对称,则函数
f(x)是以4ba为周期的周期函数.
(12)f(xa)f(x)f(x-a),则f(x)的周期T6a.
二典例解析
1.设f(x)是(—a,+s)上的奇函数,f(x+2)=—f(x),当0Wxw1时,f(x)=x,则f(7.5)=()
A.0.5B.—0.5C.1.5D.—1.5
2.若y=f(2x)的图像关于直线xa和xb(ba)对称,则f(x)的一个周期为()
B.2(ba)
C.二
D.4(ba)
3.已知f(x)在R上是奇函数满足f(x3)
f(x),f
(1)2,
则f(5)
4.已知定义在
R上的奇函数f(x)满足f(x
2)f(x),则
f(2008)=
例5.已知函数
yf(x)是定义在R上的周期函数,周期T5,函数yf(x)(1x1)
是奇函数又知
yf(x)在[0,1]上是一-次函数,
在[1,4]上是二次函数,
且在x2时函数取
得最小值5。
①证明:
f
(1)f(4)0;
②求yf(x),x
[1,4]的解析式;③求
yf(x)在[4,9]上
的解析式。
9、函数yf(x)定义域为
2x6时,f(x)2
R,且恒满足f(x
1x,
2
2)f(2x)和f(6
x)f(6x),当
求f(x)解析式。
10、已知偶函数yf(x)定义域为
0,4上只有三个实根,且一个根是附参考答案:
T1:
1T2:
(1,0)T3:
11
T6:
①x②x
42
1
—(x8k)
2
1
(x8k)
2
T10:
方程的根为64
T9:
f(x)
T7:
R,
4,
且恒满足f(x
求方程在区间
T4:
y轴即x
Ts:
②④
(8k2x8k
2)f(2x),若方程f(x)0在
8,10中的根。
0T5:
①y轴②
(8k2x8k
2、02、46810共9个根。
2,kZ)
6,kZ)
2.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,
且f
(1)
0,则方程f(x)
0在区间(0,6)内
解的个数的最小值是()
A.5B.4
C
.3
D.2
4.f(x)是偶函数,且f(0)993,又g(x)
f(x1)为奇函数,则f(1992)=
6.数列{an}中印1卫25,an2an1an,则a2006
7已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x(0,1)时,f(x1)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
8f(x)的定义域是R,且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008,求
f(2008)的值
9•已知函数f(x)满足f(x1)
1一空,若f(0)
1f(x)
2004,试求f(2005)。
(2009
山东理)10.
定义在R上的函数
f(x)满足f(x)=
log2(1x),x
f(x1)f(x
0山
,则f
2),x0
(2009)
的值为(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】
:
由已知得
f
(1)log221,f(0)0,f
(1)
f(0)f
(1)
1,
f
(2)
f
(1)f(0)
1,f(3)f
(2)
f
(1)1(
1)0,
f(4)
f(3)f
(2)
0
(1)1,f(5)
f(4)f(3)
1,f(6)f(5)
f(4)0,
所以函数
f(x)的值以
6为周期重复性出现
•,所以f(2009)
=f(5)=1,故选
C.
(2009山东理)16.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]
上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x-i,x2,x3,x4,则
x-ix2x3x4
f(x),所以f(x4)f(x),所以,
由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线
x2对称且f(0)0,由f(x4)
f(x)知
【解析】:
因为定义在R上的奇函数,满足f(x4)
f(x8)f(x)所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x-ix2x3x4由对称性知x,x212x3x44所以
答案:
-8
(2009全国一)(11)函数f(x)的定义域为
R,若f(x
1)与f(x1)都是奇
涵数,
则(
D)
(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数
(C)f(x)f(x2)(D)
f(x
3)是奇函
数
解:
Qf(x1)与f(x1)都是奇函数,
f(x1)
f(x1),f(x
1)
f(x
1),
函数f(x)关于点(1,0),及点(1,0)对称,函数f(x)是周期T2[1
(1)]4的周期
函数.f(x14)f(x14),f(x3)f(x3),即f(x3)是奇函数。
故
选D
专题函数对称性
一知识点精讲:
I函数yf(x)图象本身的对称性(自身对称)
若f(xa)f(xb),贝Uf(x)具有周期性;若f(ax)f(bx),贝Uf(x)具有对
称性:
"内同表示周期性,内反表示对称性”。
1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)^_b对称
22
推论1:
f(a
x)f(ax)
y
f(x)的图象关于直线x
a对称
推论2、
f(x)
f(2ax)
y
f(x)的图象关于直线x
a对称
推论3、
f(x)
f(2ax)
y
f(x)的图象关于直线xa对称
2、f(a
x)
f(bx)2c
y
f(x)的图象关于点(a
bc)对称
2,
推论1、
f(a
x)f(ax)
2b
yf(x)的图象关于点
(a,b)对称
推论2、
f(x)
f(2ax)
2b
yf(x)的图象关于点
(a,b)对称
推论3、
f(x)
f(2ax)
2b
yf(x)的图象关于点
(a,b)对称
II两个函数的图象对称性(
相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、y
f(x)与
yf(x)图象关于
Y轴对称
2、yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数
4、函数yf(x)与其反函数yftx)图象关于直线yX对称
5.函数y
f(ax)与y
f(bx)图象关于直线x
•对称
2
推论1:
函数yf(ax)与y
f(ax)图象关于直线x0对称
推论2:
函数y
f(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称
推论3:
函数yf(x)与y
f(2ax)图象关于直线x
a对称
二典例解析:
1、定义在实数集上的奇函数
f(x)恒满足f(1x)
f(1x),且x(1,0)时,
f(x)2x丄,则f(log220)
5
解析:
yf(x)关于直线x
1对称,f(x)
f(2x),又是f(x)奇函数,
f(x)f(x),
故
有
f(2x)
f(x),
5
5
4log21
T4,f(log220)f(log220
4)f(log2
才
f(log2匚)2
5
4—1
5
2、已知函数yf(x)满足f(x)
f(2x)
0,则
yf(x)图象关于
对称。
解析:
这是一个函数的对称性,由上述结论知yf(x)图象关于(1,0)对称
3、函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于关于对称。
解析:
这是两个函数的对称性,两函数的图象关于x1对称
4、设函数yf(x)的定义域为R,且满足f(x1)f(1x),则yf(x)的图象关于对称。
解析:
这是一个函数的对称性,yf(x)的图象关于y轴即x0对称
5、设函数yf(x)的定义域为R,且满足f(x1)f(1x),贝yyf(x1)的图象关于对称。
解析:
yf(x)关于直线x1对称,yf(x1)是由yf(x)向左平移一个单位得到的,故yf(x1)的图象关y轴对称
6、设yf(x)的定义域为R,且对任意xR,有f(12x)f(2x),贝Uyf(x)关于
对称,yf(2x)图象关于对称,。
1
解析:
令t2x,则有f(1t)f(t)yf(t)关于直线t即yf(x)关于2
111
x对称,yf(2x)是由纵坐标不变,横坐标变为原来的,yf(2x)关于x-
224
对称。
7、已知函数yf(x)对一切实数x满足f(2x)f(4x),且方程f(x)0有5个实根,则这5个实根之和为()
A、5B、10C、15D、18
解析:
yf(x)的图象关于直线x3对称,故五个实根,有两对关于直线x3对称,它
8、设函数yf(x)的定义域为R,则下列命题中,①若yf(x)是偶函数,则yf(x2)图象关于y轴对称;②若yf(x2)是偶函数,则yf(x)图象关于直线x2对称;
③若f(x2)f(2x),则函数yf(x)图象关于直线x2对称;④yf(x2)与
yf(2x)图象关于直线x2对称,其中正确命题序号为。
解析:
①错yf(x2)关于直线x2对称,②对③错若f(x2)f(2x),
则函数yf(x)图象关于直线x0对称;④对
第十五讲抽象函数问题
一知识点精讲:
1所谓抽象函数,是指没有明确给出函数表达式,只给出它具有的某些特征或性质,并用
一种符号
表示的函数。
由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题,这类问题是学生学习中的一个难
点,也
是各种考试测评的热点问题之一。
研究发现,由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函
数,再
由基本函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能有的相关结论,是使抽象函数问题获解的
一种有
效方法。
2中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”(函数)
1.
f(x
y)f(x)f(y)
ykx(k为常数)
2.
f(x
y)f(x)f(y)
x
y=a(a0且a1)
3.
f(xy)
f(x)f(y)—
—ylogax(a0且a1)
4.
f(xy)
f(x)f(y)
yx(n为常数)
5.
f(x)
xy
f(y)2f(
)f(xy)或
22
f(xy)f(xy)2f(x)f(y)y=cosx(常数)
6f(xy)f抚
y=tanx
方法:
想具体函数的运算法则,代特殊值。
•典例解析
例1•设函数f(x)满足f(x)f(y)2f(-y)f(-y),且f(—)=0,x、y€R;求222
证:
f(x)为周期函数,并指出它的一个周期.
例2.已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(xy)f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,
(1)求证f(x)在R上的奇函数。
(2)求证f(x)在R上的增函数
(3)求函数f(x)在区间[-2,1]上的值域。
例3.已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)工,f(xy)f(x)f(y),且当x<0时,
f(x)>1
(1)当x>0时,求f(x)的取值范围
(2)判断f(x)在R上的单调性
例4.已知函数f(x)定义域为(0,+g且单调递增,满足f(4)=1,f(xy)f(x)f(y)
(1)证明:
f
(1)=0;
(2)求f(16);(3)若f(x)+f(x-3)<1求x的范围;
(4)试证f(xn)=nf(x)(n€N)
f(x)f(y)且x>1时,f(x)v1,
例5.已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)r1
f
(2)=-
9
(1)求证:
f(x)>0;
(2)求证:
f(x\[f(x)]1
(3)求证:
f(x)在(0,+g)上为单调减函数
(4)若f(m)=9,试求m的值。
三课堂检测
例2.(2006安徽)
函数fx对于任意实数x满足条件fx2
,若f15,则ff
1.(2006山东)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)
f(x),则f(6)=(
A)-1
2.(2007启东质检)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f
(2)=0,对任意
x€
R,
都有
f(x+4)=f(x)+f(4)成立,则f(2006)=
A.4012
3.已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数
A.x=1
B.
B.2006C.2008
y=f(2x)的图象的对称轴是()
1
x=——
2
x=2
C.
D.
D.
1
x=—
4.已知f(x)是偶函数,xR,当x
0时,f(x)为增函数,若x10,x2
0,且|xj
Af(xjf(x2)
Bf(xjf(x2)
Cf(xjf(x2)
f(Xi)f(X2)
5.(2006安徽)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)
f(x),若
f
(1)=-5,则
f(f(5))=
2
6•已知函数f(x)满足:
f(ab)f(a)f(b),f
(1)2,则H砂
f
(1)
f2
(2)f(4)f2(3)f(6)f2(4)f(8)
f^3)f^5)fI7)。
7已知函数f(x)对一切x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),
求证:
(1)f(x)是奇函数;
(2)若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.
8已知函数f(x)的定义域是x丰0的一切实数,对定义域内的任意X1,x2都有
f(X1X2)
f(xjf(X2),且当X
1时f(x)0,f
(2)1,
(1)求证:
f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+8)上是增函数;(3)解不等式
2
f(2x1)2
4
(2010
重庆)
(
15)已知函数f(X)
满足:
f
(1)
1
严(X)f(y)f(X
y)
f(xy)(x,yR),则f(2010)
1
2
(2009福建理)5•下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,),当x1 有f(xj>f区) 的是 A•f(x)=1B.f(x)=(x1)2C.f(x)=exD x f(x)In(x1) 5.【答案】: A [解析]依题意可得函数应在x(0,)上单调递减,故由选项可得A正确。 (2009陕西理)12.定义在R上的偶函数f(x)满足: 对任意的x1,x2(,0](为x2), 有(X2xJ(f(X2)f(xj)0.则当nN时,有• (A)f(n)f(n1)f(n1)(B)f(n1)f(n)f(n1) 答案: C 解析: X「X2(,0](X1X2)(X2N)(f(X2)f(xj)0 X2X1时,f(X2)f(Gf(x)在(,0]为增函数 f(x)为偶函数f(x)在(0,]为减函数 而n+1>n>n-1>0,f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(n1) (C)(C)f(n1)f(n)f(n1)(D)f(n1)f(n1)f(n) (2009四川理)12.已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 的值是- A.0 B.1 C.1 5 D. 2 x都有xf(x1)(1x)f(x),则f(f 解析: 令X 11111 2,则八)2f(2 11) 22 1 f (2) 0;令x0,则 f(0) 0 由xf(x 1) (1 x1 x)f(x)得f(x1) X f(x),所以 f(5) 5 (|) 3 5 f(f(5)) 2f 53、521、c-f(—)2f(-)0 32312 f(0) 0,故选择A。 2 3 2 2 2 (2008 陕西理 )11.定义在R上的函数 f(x)满足 f(xy) f(x)f(y)2xy 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。 (同文12) 0f(33)f(3)f(3)18 f(3)18f(3)6 (2007山东理)6给出下列三个等式: f(xy)f(x)f(y),f(xy) f(x)f(y), f(xy) f(x)f(y) F列函数中不满足其中任何一个等式的是 1f(x)f(y) (x,yR), f (1)2,则f(3)等于( ) A.2B.3 C.6 D.9 解: 令xy 0f(0)0,令xy1 f (2) 2f (1)26; 令x2,y1 f(3)f (2) f (1)412,再令x3,y 3得 Af(x)3x Bf(x)sinx Cf(x)log2xD f(x)tanx A,C满足其中的一个等式,而D 【答案】: B【分析】: 依据指、对数函数的性质可以发现满足f(xy)丄血空,B不满足其中任何一个等式• 1f(x)f(y) (2001广东理)22.(本小题满分14分) 1 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线X=1对称对任意x1,x2[0,寸], 都有f(x1x2)f(x1)f(x2)且f (1)a0. 11 (I)求f (1),f (1); (n)证明f(x)是周期函数; 1 22.(I)解: 因为对xi,X2€[0,—],都有f(xi+x2)=f(xi)•f(X2) 2 所以 f(x) f(f f(xf® 22 0,x[0,1] f (1) f(2 2) 11 f(;)f(J 22 [f®2 f (2) f(-1 十) 11 [心]2 2 4 4 44 4 f (1)= a>0, 3 f (2)a2, f(-) 1 a4 2 4 (2008重庆理)(⑹若定义在R上的函数f(x)满足: 对任意x1,x2R,有 f(X1X2) Af(x)为奇函数 Bf(x)为偶函数 Cf(x)1为奇函数 Df(x)1为偶函数 解: 令x0,得f(0)2f(0)1,f(0) 1,所以f(xx) f(x)f(x)1 f(x1)f(x2)1,则下列说法一定正确的是 f(x)f(x)110,即f(x)1[f(x)1],所以f(x)1为奇函数,选C 周期•若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n,则n可能为D (A)0(B)1(C)3(D)5 定义在R上的函
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