高三一轮复习热点题型32课时2导数与函数的极值最值1.docx
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高三一轮复习热点题型32课时2导数与函数的极值最值1
课时2 导数与函数的极值、最值
题型一 用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
答案 D
解析 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;
当-2 当1 当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 例2 已知函数f(x)=ax3-3x2+1-(a∈R且a≠0),求函数f(x)的极大值与极小值. 解 由题设知a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax. 令f′(x)=0得x=0或. 当a>0时,随着x的变化,f′(x)与f(x)的变化情况如下: x (-∞,0) 0 (0,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)极大值=f(0)=1-,f(x)极小值=f=--+1. 当a<0时,随着x的变化,f′(x)与f(x)的变化情况如下: x (-∞), (,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 ∴f(x)极大值=f(0)=1-,f(x)极小值=f=--+1. 综上,f(x)极大值=f(0)=1-, f(x)极小值=f=--+1. 命题点3 已知极值求参数 例3 (1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________. (2)(2016·福州质量检测)若函数f(x)=-x2+x+1在区间(,3)上有极值点,则实数a的取值范围是( ) A.(2,)B.[2,) C.(2,)D.[2,) 答案 (1)-7 (2)C 解析 (1)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则 解得或 经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值, 而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7. (2)若函数f(x)在区间(,3)上无极值, 则当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0恒成立或当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0恒成立. 当x∈(,3)时,y=x+的值域是[2,); 当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0, 即a≤x+恒成立,a≤2; 当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0, 即a≥x+恒成立,a≥. 因此要使函数f(x)在(,3)上有极值点, 实数a的取值范围是(2,). 思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数f′(x); ③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. (1)函数y=2x-的极大值是________. (2)设f(x)=ln(1+x)-x-ax2,若f(x)在x=1处取得极值,则a的值为________. 答案 (1)-3 (2)- 解析 (1)y′=2+,令y′=0,得x=-1. 当x<-1时,y′>0;当x>-1时,y′<0. ∴当x=-1时,y取极大值-3. (2)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), 且f′(x)=-2ax-1=, 由题意得: f′ (1)=0,则-2a-2a-1=0, 得a=-,又当a=-时, f′(x)==, 当0 当x>1时,f′(x)>0, 所以f (1)是函数f(x)的极小值, 所以a=-. 题型二 用导数求函数的最值 例4 已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值. 解 (1)当a=1时,f(x)=+lnx-1,x∈(0,+∞), 所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞). 因此f′ (2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线斜率为. 又f (2)=ln2-, 所以曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为y-(ln2-)=(x-2),即x-4y+4ln2-4=0. (2)因为f(x)=+lnx-1, 所以f′(x)=-+=. 令f′(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. 所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna. ③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为. 思维升华 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内所有使f′(x)=0的点; (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点的函数值,与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于( ) A.B.C.D.1 答案 D 解析 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0,得x=, 当0 当x>时,f′(x)<0. ∴f(x)max=f=-lna-1=-1,解得a=1. 题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. 解 (1)f′(x)= =. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以-3 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由 (1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 所以有 解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者, 而f(-5)==5e5>5=f(0), 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5. 思维升华 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是( ) A.-13B.-15 C.10D.15 答案 A 解析 对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax, 由函数f(x)在x=2处取得极值知f′ (2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增, ∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又∵f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下, 且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9. 故f(m)+f′(n)的最小值为-13. 3.利用导数求函数的最值问题 典例 (12分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域. (2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论. 规范解答 解 (1)f′(x)=-a(x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2分] ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, 当0 当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为.[4分] 综上可知, 当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.[5分] (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f (2)=ln2-2a.[6分] ②当≥2,即0 (1)=-a.[7分] ③当1<<2,即 (2)-f (1)=ln2-a, 所以当 (1)=-a; 当ln2≤a<1时,最小值为f (2)=ln2-2a.[11分] 综上可知,
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- 一轮 复习 热点 题型 32 课时 导数 函数 极值