沪科版数学八年级上册第15章整合提升试题及答案.docx
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沪科版数学八年级上册第15章整合提升试题及答案
沪科版数学八年级上册第15章专训一:
等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金:
在几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将复杂的问题简单化,例如:
作“三线”中的“一线”,作平行线构造等腰(边)三角形,利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数,利用加倍折半法证线段的倍分关系.
作“三线”中的“一线”
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作EF∥BC,且AE=AF.求证:
DE=DF.
(第1题)
作平行线法
2.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求证:
PD=QD.
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动的过程中,线段BE,ED,CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由.
(第2题)
截长补短法
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.求证:
BD+DC=AB.
(第3题)
加倍折半法
4.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.
(第4题)
5.如图,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:
CD=2CE.
(第5题)
专训二:
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
名师点金:
分类讨论思想是解题的一种常用方法,在等腰三角形中,往往会遇到条件或结论不唯一的情况,此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为:
先分类,再画图,后计算.
当顶角或底角不确定时,分类讨论
1.若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A.40° B.100° C.40°或70° D.40°或100°
2.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于D,且AD=
BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为( )
A.45° B.75° C.45°或75° D.65°
3.若等腰三角形的一个外角为64°,则底角的度数为________.
当底和腰不确定时,分类讨论
4.(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( )
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
5.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为________.
6.若实数x,y满足|x-4|+(y-8)2=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为________.
当高的位置关系不确定时,分类讨论
7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8.在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求底角∠B的度数.
由腰上的中线引起的分类讨论
9.等腰三角形ABC的底边BC长为5cm,一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分.求腰长.
点的位置不确定引起的分类讨论
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
(第10题)
A.7个B.6个C.5个D.4个
11.如图,在△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.
(第11题)
专训三:
三角形中的五种常见证明类型
名师点金:
学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后,与此相关的几何证明题的类型非常丰富,常见的类型有:
证明数量关系,位置关系,线段的倍分关系、和差关系、不等关系等.
证明数量关系
题型1 证明线段相等
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF.求证:
DE=DF.
(第1题)
题型2 证明角相等
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于F交BC于E.求证:
∠ADB=∠CDE.
(第2题)
证明位置关系
题型1 证明平行关系
3.已知△ABC为等边三角形,点P在AB上,以CP为边长作等边三角形PCE,连接AE.求证:
AE∥BC.
(第3题)
题型2 证明垂直关系
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点.求证:
DG⊥EF.
(第4题)
证明线段的倍分关系
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的高,AD,BE相交于点H,且AE=BE.求证:
AH=2BD.
(第5题)
证明线段的和差关系
6.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC.求证:
AB+BD=AC.
(第6题)
证明线段的不等关系
7.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC.求证:
AB-AC>PB-PC.
(第7题)
专训四:
四种常见热门考点
名师点金:
本章内容在中考试题中一直占有重要的地位,属必考内容,考查形式多以选择、填空形式出现,其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等.
轴对称图形与轴对称
1.(2015·重庆)下列图形是轴对称图形的是( )
(第2题)
2.(2015·乌鲁木齐)如图,△ABC的面积等于6,边AC=3,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C′处,点P在直线AD上,则线段BP的长不可能是( )
A.3B.4C.5D.6
3.(2015·绥化)点A(-3,2)关于x轴的对称点A′的坐标为________.
4.(2014·宁夏)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2),画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(第4题)
线段垂直平分线与角平分线
(第5题)
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,则下列结论错误的是( )
A.BD平分∠ABC
B.△BCD的周长等于AB+BC
(第6题)
C.AD=BD=BC
D.点D是线段AC的中点
6.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=130°,那么∠CAB的大小是( )
A.80° B.50° C.40° D.20°
7.如图,已知C是∠MAN的平分线上一点,CE⊥AB于点E,点B,D分别在AM,AN上,且AE=
(AD+AB).问:
∠1和∠2有何关系?
(第7题)
等腰三角形的判定与性质
(第8题)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂足,则下列四个结论:
(1)∠DEF=∠DFE;
(2)AE=AF;(3)DA平分∠EDF;(4)AD垂直平分EF.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.(中考·淄博)如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:
AB=AD.
(第9题)
等边三角形的性质与判定
10.如图,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA上一点(不是中点),且AD=BE=CF,AE与CD,BF分别交于点G,H,BF与
CD交于点N,则△GHN是
(第10题)
( )
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
(第11题)
11.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在C′处,连接BC′,则BC′的长为________.
答案
专训一
(第1题)
1.证明:
如图,连接AD.
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC,∴AD⊥EF.
∵AE=AF,
∴AD垂直平分EF.
∴DE=DF.
2.
(1)证明:
如图①,过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=FP,∴FP=CQ.在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.
(第2题)
(2)解:
线段ED的长度保持不变.理由如下:
如图②,过点P作PF∥AC交BC于F.由
(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF.由
(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=CD,∴ED=EF+FD=BE+CD=
BC,∴线段ED的长度保持不变.
3.证明:
如图,延长BD至E,使BE=AB,连接CE,AE.
(第3题)
∵∠ABE=60°,BE=AB,
∴△ABE为等边三角形.
∴∠AEB=60°,AB=AE.
又∵∠ACD=60°,
∴∠ACD=∠AEB.
∵AB=AC,AB=AE,
∴AC=AE.
∴∠ACE=∠AEC.
∴∠DCE=∠DEC.∴DC=DE.
∴AB=BE=BD+DE=BD+DC,即BD+DC=AB.
4.解:
在DC上截取DE=BD,连接AE,∵AD⊥BC,BD=DE,∴AD是线段BE的垂直平分线,∴AB=AE,∴∠B=∠AEB.∵AB+BD=DC,DE=BD,∴AB+DE=CD.而CD=DE+EC,∴AB=EC,∴AE=EC.∴∠EAC=∠C,可设∠EAC=∠C=x,∵∠AEB为△AEC的外角,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x,∴∠BAE=180°-2x-2x=180°-4x.∵∠BAC=120°,∴∠BAE+∠EAC=120°,即180°-4x+x=120°,解得x=20°,则∠C=20°.
(第5题)
5.证明:
如图,延长CE到点F,使EF=CE,连接FB,则CF=2CE.∵CE是△ABC的中线,∴AE=BE.在△BEF和△AEC中,
∴△BEF≌△AEC(SAS).
∴∠EBF=∠A,BF=AC.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.
∵CB是△ADC的中线,
∴AB=BD.又∵AB=AC,AC=BF,∴BF=BD.
在△CBF与△CBD中,
∴△CBF≌△CBD(SAS).∴CF=CD.∴CD=2CE.
专训二
1.D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.20
7.解:
设AB=AC,BD⊥AC;
(1)高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部,如图①,∵∠DBC=25°,∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°,∴∠ABC=∠C=65°,∠A=180°-2×65°=50°.
(第7题)
(2)当高与另一腰的夹角为25°时,
如图②,高在△ABC的内部时,
∵∠ABD=25°,∴∠A=90°-∠ABD=65°,
∴∠C=∠A
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- 沪科版 数学 年级 上册 15 整合 提升 试题 答案
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