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高三数学理上期中试题含答案
2016-2017年高三数学(理)上期中试题(含答案)
兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试
数学试题(理科)
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1若集合,,则()
ABD
2已知复数,若是实数,则实数的值为()
A.B..D.
3以下判断正确的是()
函数为上可导函数,则是为函数极值点的充要条
命题“”的否定是“”
“”是“函数是偶函数”的充要条
D命题“在中,若,则”的逆命题为假命题
4一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积为( )
A.1203B.1003.803D.603
由曲线,直线及坐标轴所围成图形的面积为
()
ABD
6设等差数列的前项和为,若,,,则()
ABD
7我国古代数学典籍《九算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:
“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?
”现用程序框图描述,如图所示,则输出的结果()
ABD
8设,则()
ABD
9已知函数,则的图象大致为()
ABD
10函数的图象向右平移个单位后,与函数的
图象重合,则的值为()
A&nt;BD
11椭圆:
的左、右焦点分别为,焦距为若直线=与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于()
ABD
12已知定义在R上的函数满足:
且,,则方程在区间上的所有实根之和为()
ABD
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题分,共20分
13已知向量
14已知,则
1已知满足约束条若的最小值为,则
16在中,内角的对边分别为,已知,,
则面积的最大值为
三、解答题:
本大题共6小题,共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若,求的最大值和最小值
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,是棱上
的一点,是的延长线与的延长线的交点,且∥平面.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
随着苹果7手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及,因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式,某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示
付款方式分1期分2期分3期分4期分期
频数32
10
已知分3期付款的频率为01,并且销售一部苹果7手机,顾客分1期付款,其利润为1000元;分2期或3期付款,其利润为100元;分4期或期付款,其利润为2000元,以频率作为概率
(Ⅰ)求,的值,并求事:
“购买苹果7手机的3位顾客中,至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用表示销售一部苹果7手机的利润,求的分布列及数学期望
20.(本小题满分12分)
已知抛物线:
,直线交于两点,是线段的中点,过点作轴的垂线交于点
(Ⅰ)证明:
抛物线在点的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数,使以为直径的圆经过点?
若存在,求的值;若不存在,说明理由
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数在其定义域内有两个不同的极值点
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)设两个极值点分别为,证明:
.
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线上一点,为曲线上一点,求的最小值.
23(本小题满分10分)选修4—:
不等式选讲
已知函数,且的解集为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,且,求证:
.兰州一中2016-2017-1学期期中考试
高三数学试题参考答案(理科)
一、选择题(本题共12小题,每小题分,共60分。
)
题号12346789101112
答案ADBAABDB
二、填空题(本大题共4小题,每小题分,共20分)
13.14.1.16.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若,求的最大值和最小值
解:
(Ⅰ)…4分
∴的最小正周期为,……分
令,则,
∴的对称中心为……6分
(Ⅱ)∵∴8分
∴∴10分
∴当时,的最小值为;当时,的最大值为……12分
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,是棱上
的一点,是的延长线与的延长线的交点,且∥平面.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.
解:
(Ⅰ)连接交于,连接
∵∥平面,面,面面
∴∥……………2分
又∵为的中点,
∴为中点∴为中点……………4分
∴∴……………分
(Ⅱ)∵在直三棱柱中,
∴……………6分
以为坐标原点,以,所在直线建立空间直角坐标系如图所示。
由(Ⅰ)知为中点
∴点坐标分别为
,,,设平面的法向量
∵且
∴取∴……………8分
同理:
平面的法向量……………10分
设二面角平面角为
则,∴……………12分
19.(本小题满分12分)
随着苹果7手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及,因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式,某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示
付款方式分1期分2期分3期分4期分期
频数32
10
已知分3期付款的频率为01,并且销售一部苹果7手机,顾客分1期付款,其利润为1000元;分2期或3期付款,其利润为100元;分4期或期付款,其利润为2000元,以频率作为概率
(Ⅰ)求,的值,并求事:
“购买苹果7手机的3位顾客中,至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用表示销售一部苹果7手机的利润,求的分布列及数学期望
解:
(Ⅰ)由,得因为所以………3分
………6分
(Ⅱ)设分期付款的分期数为,则
…8分
的所有可能取值为1000,100,2000
………10分
所以的分布列为10001002000
P030402
………12分
20.(本小题满分12分)
已知抛物线:
,直线交于两点,是线段的中点,过点作轴的垂线交于点
(Ⅰ)证明:
抛物线在点的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数,使以为直径的圆经过点,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由
解:
(Ⅰ)解法一:
设,,把代入得,
得.
∵,点的坐标为. ………………………2分
∵ ∴,
即抛物线在点处的切线的斜率为. ………………………4分
∵直线:
的的斜率为,∴. ……………………6分
解法二:
设,,把代入得,
得.
∵,点的坐标为. ……………………2分
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得, ………………………4分
直线与抛物线相切,,,即. …………………6分
(Ⅱ)假设存在实数,存在实数使为直径的圆经过点.
是的中点,.
由(Ⅰ)知
轴,. …………………8分
∵
. ……………………10分
,∴,
故,存在实数使为直径的圆经过点. ………………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数在其定义域内有两个不同的极值点
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)设两个极值点分别为,证明:
.
解:
(Ⅰ)当时,;
函数的定义域为,
当时,;当时,
所以,在上单调递减;在上单调递增………………4分
(Ⅱ)(ⅰ)依题意,函数的定义域为,
所以方程在有两个不同根
即,方程在有两个不同根
(解法一)转化为,函数与函数
的图像在上有两个不同交点,如图
可见,若令过原点且切于函数图像的直线斜率为,
只须………………6分
令切点,所以,又,所以,
解得,,于是,
所以………………8分
(解法二)令,从而转化为函数有两个不同零点,
而()
若,可见在上恒成立,所以在单调增,
此时不可能有两个不同零点………………分
若,在时,,在时,,
所以在上单调增,在上单调减,
从而………………6分
又因为在时,,在在时,,于是只须:
,即,所以………………7分
综上所述,………………8分
(ⅱ)由(i)可知分别是方程的两个根,
即,,
不妨设,作差得,,即
原不等式等价于
令,则,………………10分
设,,
∴函数在上单调递增,
∴,
即不等式成立,
故所证不等式成立.………………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设为曲线上一点,为曲线上一点,求的最小值.
解:
(1)由消去参数得,曲线的普通方程得.....3分
由得,曲线的直角坐标方程为....分
(2)设,则点到曲线的距离为
...........8分
当时,有最小值0,所以的最小值为0.............10分
23(本小题满分10分)选修4—:
不等式选讲
已知函数,且的解集为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,且,求证:
.
解:
(Ⅰ)因为,
所以等价于,
由有解,得,且其解集为.
又的解集为,故............分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又,∴≥=9.
(或展开运用基本不等式)
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