二倍角的正弦余弦和正切公式基础.docx
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二倍角的正弦余弦和正切公式基础
【学习目标】
1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的在联系•
2•能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式•但不要求记忆),能灵活地将公式变形并运用.
3•通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用
【要点梳理】
要点一:
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1•二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin22sincos(S2)
22
cos2cossin(C2)
2cos21
12sin2
2tan
tan2—(T2)
1tan
要点诠释:
(1)公式成立的条件是:
在公式S2,C2中,角可以为任意角,但公式t2中,只有当
k
k及(kZ)时才成立;
242
(2)倍角公式不仅限于2是的二倍形式,其它如4是2的二倍、一是一的二倍、
24
3
3是—的二倍等等都是适用的•要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好
2
二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.如:
sin2sin—cos—;
22
sin歹2sin盯cos盯(nZ)
2•和角公式、倍角公式之间的在联系
在两角和的三角函数公式S,C,T中,当时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的在联系如下:
s2a
B二d
<
Sq+f
以-0代0
&
Cmp
4
co(-p
要点二:
二倍角公式的逆用及变形
1•公式的逆用
2sincossin2;sin
cos
-sin2
2
2.2
cossin
c2
2cos
2sin2cos2
2tanAc
2—tan2
1tan
2.公式的变形
1sin2
(sin
cos)2;
降幕公式:
cos2
1cos2
sin2
1cos2
升幕公式:
1cos2
22
2cos,1cos22sin
换元等;
“角的演变”规律,寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,如
),2(
)等等,把握式子的变形方向,准确运用公式,
要点三:
两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1•对公式会“正着用”,“逆着用”,也会运用代数变换中的常用方法:
因式分解、配方、凑项、添项、
2•掌握
也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);
3•将公式和其它知识衔接起来使用,尤其注意第一章与第三章的紧密衔接【典型例题】
类型一:
二倍角公式的简单应用
tan37.5
1tan237.5
例1.化简下列各式:
(1)4sincos;
(2)sin2—
228
2/c、
cos;(3)
8
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.
【答案】
(1)2sin
(2)2(3)乙三
22
【解析】
(1)4sin—cos—
22
22sin—cos—2sin
(2)sin—
2cos—
2cos—
-2sin-
8
8
8
8
cos—
4
(3)
tan37.5
2
1tan37.5
12sin37.5
—2
21tan37.5
1
tan75
2
2.3
2
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值,而是将所给式子作为一个整体变形,逐步向二倍角公式的展开形式靠近,然后逆用倍角公式,要仔细体会本题中的解题思
路.
举一反三:
【变式1】求值:
(1)cos一
12
sin—
12
cos—
12
2
2cos1;(3)
8
-.3
【解析】
(1)
原式=cos2一sin
12
2_
12
cos—
6
2tan75°
(2)原式=cos
(2)cos—
84
(3)原式=tan150otan(180°
o、
30)
tan30o
类型二:
利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
【思路点拨】解这类题型有两种方法:
o:
nQ
方法一:
适用sin,不断地使用二倍角的正弦公式.
2cos
方法二:
将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式,利用
cos
sin2
2sin
进行化
简.
【答案】
【解析】方法一:
sin10
sin50sin70
sin20sin50sin70
2cos10
sin20cos20
sin50
sin40sin50
sin40cos40sin801
2cos10
4cos10
4cos108cos108
•••sin10sin30sin50sin70—
16
、1
2sin20cos20cos40cos80
方法二:
原式-
cos20
cos40cos80
2
4sin20
sin40cos40
cos80
sin80cos80
1
sin1601
4sin20
2sin20
16
sin2016
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题.
方法-
和方法二通过观察角度间的
关系,发现其特征(二倍角形式),逆用二倍角的正弦公式,使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余(补)的关系,从而使最终的结果为实数.利用上述思想,我们还可以把问题推广到一般的情形:
一般地,若
sin0,贝ycoscos2cos4Lcos2n
n1
sin2
n1.
2sin
举一反三:
【变式1】求值:
sin10°cos40°sin70°.
【解析】原式cos20cos40cos80
2sin40cos40cos802sin80
2sin20cos20cos40cos80
2sin20
cos80
4sin208sin20
sin160sin20]
8sin208sin208
类型三:
利用二倍角公式化简三角函数式
例3•化简下列各式:
“、sinsin2/ox:
—j
(1)
(2).1sin4
1coscos2
【思路点拨】
(1)观察式子分析,利用二倍角公式把倍角展开成单角,再进行化简.
(2)
观察式子分析,利用二倍角公式把倍角展开成单角,利用平方差公式进行化简.
【解析】
sinsin2
1coscos2
sin2sincos
c2
cos2cos
sin(12cos)
cos(12cos)
tan
(2).1sin4
sin222sin2cos2cos22
.(sin2cos2)2|sin2cos21sin2cos2.
【答案】
(1)tan
(2)sin2cos2
2
1cos22cos,1cos2
2
2sin2.经常起到消除式子中
1的作用•②由于
sin22sincos,从而1sin2
2
(sincos),可进行无理式的化简和运算.
例4•化简:
2cos21
2tan4
-2
sin
4
【解析】原式-
2sin-
42
cos—
4cos-
4
cos2
cos2
2sin
cos—
4
sin2
2
cos2‘
1.
cos2
【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手.通过切化弦、弦
化切、异化同、高次降幕等手段,使函数式的结构化为最简形式.
举一反三:
【变式11
(1)1sin6的化简结果是
(2)已知sin3,且(,n),则sin?
—的值为
52cos
3
【答案】
(1)sin3cos3
(2)
2
【解析】
(1)原式=,1sin3cos3
、.(sin3
cos3)2
=|sin3cos3|
=sin3cos3
34
(2)因为sin,且a€(,n),所以COS,原式
525
2sincosI5I
=22()
cos542
类型四:
二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5.求值:
°)已知sin(12
I,求cos(6}.
(2)已知sin(
m,求sin2
【思路点拨】求解.
-)
4
观察所求的角与已知角的关系,发现它们是二倍的关系,所以用二倍角公式去
【答案】
(1)
7
25
(2)2m2
【解析】
(1)cos(
cos—
6
cos2一
12
2sin2
12
25
(2)sin2
7_
25
cos(―
2
2)=
2sin2
12sin2
2m21
求解的要点是利用公式沟通已知条件和
【变式
1】
已知
sin
cos
【答案】
8
9
9
17
【解析】
由
sin
cos
1
1,且0
3
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型,所求式子之间的联系,考查公式运用和变换的技巧.
举一反三:
,求sin2,cos2,tan2的值.
I得(sin
cos
即12sincos
1
-,二sin22sincos
9
由sincos
,得cos
3
sin
1
2.
・2
—
sin
sin
9
3
sin
即1sin2
40.
・2
…cos
整理得9sin23sin
解得sin117或sin1-17(舍去).
6
6
cos2
12sin2
12
1.172
仃
6
9
tan2
sin2
8.17
cos2
17.
【总结升华】解题过程中注意角的围的判定.
【变式2】已知tan—
4
1
2
sin2cos
1cos2
【解析】
(1)tan—
4
tantan
4
1tan
1,解得tan
2
1
1tantan
4
1tan
3
(1)求tan
的值;
(2)求
的值.
1
cos2
12cos21
1
1
1
5
tan
2
3
2
6.
【总结升华】
第(
〔1)
问中利用了方程的思想求
⑵sin2cos22sincoscos2
般需要将分式转化为含tan的式子求解,或者通过消元转化的方法求解.
类型五:
二倍角公式的综合应用
例6.已知f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x,求:
(1)f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合;
(2)f(x)的单调区间.
【思路点拨】用降幕公式把原式降幕,然后用辅助角公式化成
2sincos
2cos
tan的值;对于第
(2)问的题型,
Asin(x)k的形式.
【答案】
(1)
.22
x|x
3
k,kz
(2)单增区间k,k
88
8,kz
单减区间
k
k
5
kz
8
8
【解析】
(1)原式
=1
sin2x
cos2x
1
sin2xcos2x2
Jsin(2x)2
4
则当2x—2k
4
2,即小k-,kz时,
fmax
(x)
(2)f(x)的单调递增区间为:
2k
2x
2k
-,则
2
4
2
xk—,k
8
f(x)的单调递减区间为:
2k—2x—2k
24
3
2
,则
8,k
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余
弦公式及yAsin(x)的性质等知识•要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用:
2
(1
)缩角
升
2
幕
公
式1
sin
sin
COS—,
22
1sin
sincos—
•1
cos
2cos
2—,1
cos
2sin2
(2)扩角降幕
22
2
2
1cos2
.2
1
cos2
公式cos2
sin
2
2
例7
•已知向量
a(1
sin2x,sinx
cosx),
b
(1,sinx
cosx),求函数
f(x)ab•
(1)求f(x)的最大值及相应的x值;
⑵若f()5,求cos27的值.
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量数量积转化
为三角函数中的“数量关系”,从而建立函数f(x)关系式.
【答案】
(1)■21xk—(kZ)
(2)16
825
【解析】
(1)因为a(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),
所以f(x)1sin2xsin2xcos2*x
1sin2xcos2xx2sin2x—
4
因此,
当2x
2k
4
,即xk
2
令(kZ)时,f(x)取得最大值、、2「
(2)
由f(
)1sin2
8
cos2及f()—得Sin2
cos2
3
,两边平方得
5
5
sin4
9
口.16
.因此,cos22cos
16
即sin4
4
sin4
25
25
4
2
25
1
举一反三:
【变式1】已知函数f(x)sin°cosxcos—1.222
(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(n)求函数f(x)在[一,一]上的最小值•
I答案】(I)2,2k?
2k5r,k
z(n)
21
xx1cosx
【解析】(I)f(x)sincos-
222
1.11
sinxcosx一
2k
x2k
222
函数f(x)单调递减区间是[2k
3-,得-
22
5
2k
44
7
44.
],kZ.
则当x
54时,
f(x)取得最小值
【变式2】已知向量
m=(sinA,cosA),nG.3,1),m•n=1,
且A为锐角.
2sinA—
1,sinA—
6
6
【解析】
(1)由题意,得mn
由A为锐角得A—-,A—.
663
1
(2)由
(1)知cosA-,
2
所以f(x)cos2x2sinx
2
12sinx2sinx
2sinx
3
-•因为x€R,
2
(1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)
cos2x4cosAsinx(x€R)的值域.
3
【答案】
(1)—
(2)3,
32
、.3sinAcosA1,
所以sinx€[—1,1].
13
因此,当sinx时,f(x)有最大值一,当sinx=—1时,f(x)有最小值—3,所以
22
3
所求函数f(x)的值域是3
242
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