中考数学压轴题及答案.docx
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中考数学压轴题及答案
中考数学压轴题及答案
1.(2011年四川省宜宾市)
已知:
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似?
如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
(注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为)
2.(11浙江衢州)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,),C(0,),点T在线段OA上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A′),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;
(1)求∠OAB的度数,并求当点A′在线段AB上时,S关于t的函数关系式;
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t的取值范围;
(3)S存在最大值吗?
若存在,求出这个最大值,并求此时t的值;若不存在,请说明理由.
3.(11浙江温州)如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于
,当点与点重合时,点停止运动.设,.
(1)求点到的距离的长;
(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点,使为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.
4.(11山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
5、(2007浙江金华)如图1,已知双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A,B两点,点A在第一象限.试解答下列问题:
(1)若点A的坐标为(4,2).则点B的坐标为;若点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为;
(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y=(k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形;②设点A.P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?
可能是正方形吗?
若可能,直接写出mn应满足的条件;若不可能,请说明理由.
8.(2011浙江义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移,平移后的直线与轴交于点D,与轴交于点E.
(1)将直线向右平移,设平移距离CD为(t0),直角梯形OABC被直线扫过的面积(图中阴影部份)为,关于的函数图象如图2所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积;
②当时,求S关于的函数解析式;
(2)在第
(1)题的条件下,当直线向左或向右平移时(包括与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使为等腰直角三角形?
若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.(2011山东烟台)如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
10.(2011山东烟台)如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线,交轴于C、D两点.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由.
13.(2011山东威海)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN面积的最大值.
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,
求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.
16.(2011年浙江省绍兴市)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒).
(1)用含的代数式表示;
(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;
(4)连结,将沿翻折,得到,如图2.问:
与能否平行?
与
能否垂直?
若能,求出相应的值;若不能,说明理由.
17.(2011年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.
(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
18.(2011年沈阳市)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.
(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(2011年四川省巴中市)已知:
如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点.
(1)写出直线的解析式.
(2)求的面积.
(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动.设运动时间为秒,请写出的面积与的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?
20.(2011年成都市)如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且=3,sin∠OAB=.
(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式;
(2)在
(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将点O、点A分别变换为点Q(-2k,0)、点R(5k,0)(k>1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为,△QNR的面积,求∶的值.
22.(2011年四川省宜宾市)已知:
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似?
如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
(注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为)
.
24.(2011年大庆市)
如图①,四边形和都是正方形,它们的边长分别为(),且点在上(以下问题的结果均可用的代数式表示).
(1)求;
(2)把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的;
(3)把正方形绕点旋转一周,在旋转的过程中,是否存在最大值、最小值?
如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.
25.(2011年上海市)已知,,(如图13).是射线上的动点(点与点不重合),是线段的中点.
(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长;
(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长.
27.(2011年山东省青岛市)已知:
如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为y(),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?
若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.
28.(2011年江苏省南通市)已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
29.(2011年江苏省无锡市)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:
在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:
(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?
(2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求?
答题要求:
请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)
压轴题答案
1.
解:
(1)由已知得:
解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
(3)相似
如图,BD=
BE=
DE=
所以,即:
所以是直角三角形
所以,且,
所以.
2.
(1)∵A,B两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,),
∴,
∴
当点A´在线段AB上时,∵,TA=TA´,
∴△A´TA是等边三角形,且,
∴,,
当时,由图
,重叠部分的面积
∵△A´EB的高是,
∴
当t=2时,S的值最大是;
当,即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图
,其中E是TA´与CB的交点,F是TP与CB的交点),
∵,四边形ETAB是等腰形,∴EF=ET=AB=4,
∴
综上所述,S的最大值是,此时t的值是.
3.解:
(1),,,.
点为中点,.
,.
,
,.
(2),.
,,
,,
即关于的函数关系式为:
.
(3)存在,分三种情况:
①当时,过点作于,则.
,,
.
,,
,.
②当时,,
.
③当时,则为中垂线上的点,
于是点为的中点,
.
,
,.
综上所述,当为或6或时,为等腰三角形.
4.
解:
(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴,即.
∴AN=x.……………2分
∴=.(0<<4)……………3分
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO=OD=MN.
在Rt△ABC中,BC==5.
由
(1)知△AMN∽△ABC.
∴,即.
∴,
∴.…………………5分
过M点作MQ⊥BC于Q,则.
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA.
∴.
∴,.
∴x=.
∴当x=时,⊙O与直线BC相切.…………………………………7分
故以下分两种情况讨论:
当0<≤2时,.
∴当=2时,……………………………………8分
当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x.
又∵MN∥BC,
∴四边形MBFN是平行四边形.
∴FN=BM=4-x.
∴.
又△PEF∽△ACB.
∴.
∴.………………………………………………9分
=.……………………10分
当2<<4时,.
∴当时,满足2<<4,.……………………11分
综上所述,当时,值最大,最大值是2.…………………………12分
5.解:
(1)(-4,-2);(-m,-)
(2)①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形
②可能是矩形,mn=k即可
不可能是正方形,因为Op不能与OA垂直.
解:
(1)作BE⊥OA,
∴ΔAOB是等边三角形
∴BE=OB·sin60o=,
∴B(,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为
(2)由旋转知,AP=AD,∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=
6.解:
(1)作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=,∴B(,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,
以直线AB的解析式为
(2)由旋转知,AP=AD,∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=
(1)①……………………………………………………………………………2分,,S梯形OABC=12……………………………………………2分
②当时,
直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积-直角三角开DOE面积
…………………………………………4分
(2)存在……………………………………………………………………………………1分…(每个点对各得1分)……5分
对于第
(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二:
1以点D为直角顶点,作轴
同理在③二图中分别可得点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4),
E点在A点下方不可能.
综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、
P(8,4)、P(4,4).
下面提供参考解法二:
以直角进行分类进行讨论(分三类):
第一类如上解法⑴中所示图
,直线的中垂线方程:
,令得.由已知可得即化简得解得;
第二类如上解法②中所示图
,直线的方程:
,令得.由已知可得即化简得解之得,
第三类如上解法③中所示图
,直线的方程:
,令得.由已知可得即解得
(与重合舍去).
综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、
P(8,4)、P(4,4).
事实上,我们可以得到更一般的结论:
如果得出设,则P点的情形如下
∴.……………………8分
当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为.……………9分
(3)能.……………………………………………………………………10分
由
(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=.
若四边形MEFN为正方形,则ME=EF.
即7-2x.解,得.……………………………………………11分
∴EF=<4.
∴四边形MEFN能为正方形,其面积为.
∴.……………………8分
当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为.……………9分
(3)能.……………………………………………………………………10分
由
(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=.
若四边形MEFN为正方形,则ME=EF.
即7-2x.解,得.……………………………………………11分
∴EF=<4.
∴四边形MEFN能为正方形,其面积为.
(2)当时,过点作,交于,如图1,
则,,
,.
(3)①能与平行.
若,如图2,则,
即,,而,
.
②不能与垂直.
若,延长交于,如图3,
则.
.
.
又,,
,
,而,
不存在.
17.解:
(1)直线与轴交于点,与轴交于点.
,1分
点都在抛物线上,
抛物线的解析式为3分
顶点4分
(2)存在5分
7分
9分
(3)存在10分
理由:
解法一:
延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点.
11分
在中,,
,,12分
设直线的解析式为
解得
13分
解得
在直线上存在点,使得的周长最小,此时.14分
解得
13分
解得
在直线上存在点,使得的周长最小,此时.1
18.解:
(1)点在轴上1分
理由如下:
连接,如图所示,在中,,,
,
由题意可知:
点在轴上,点在轴上.3分
(2)过点作轴于点
,
在中,,
点在第一象限,
点的坐标为5分
由
(1)知,点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为6分
抛物线经过点,
由题意,将,代入中得
解得
所求抛物线表达式为:
9分
(3)存在符合条件的点,点.10分
理由如下:
矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为.
由题意可知为此平行四边形一边,
又
边上的高为211分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得,,
,
以为顶点的四边形是平行四边形,
,,
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,;
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,.14分
(以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分)
19.
解:
(1)在中,令
,
,1分
又点在上
的解析式为2分
(2)由,得4分
,
,5分
6分
(3)过点作于点
7分
8分
由直线可得:
在中,,,则
,9分
10分
11分
此抛物线开口向下,当时,
当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为.
20.解:
(1)如图,过点B作BD⊥OA于点D.
在Rt△ABD中,
∵∣AB∣=,sin∠OAB=,
∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB
=×=3.
又由勾股定理,得
∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.
∵点B在第一象限,∴点B的坐标为(4,3).……3分
设经过O(0,0)、C(4,-3)、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为
y=ax2+bx(a≠0).
由
∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为……2分
(2)假设在
(1)中的抛物线上存在点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形
①∵点C(4,-3)不是抛物线的顶点,
∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1.
则直线CP1的函数表达式为y=-3.
对于,令y=-3x=4或x=6.
∴
而点C(4,-3),∴P1(6,-3).
在四边形P1AOC中,CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.
∴点P1(6,-3)是符合要求的点.……1分
②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为
将点C(4,-3)代入,得
∴直线CO的函数表达式为
于是可设直线AP2的函数表达式为
将点A(10,0)代入,得
∴直线AP2的函数表达式为
由,即(x-10)(x+6)=0.
∴
而点A(10,0),∴P2(-6,12).
过点P2作P2E⊥x轴于点E,则∣P2E∣=12.
在Rt△AP2E中,由勾股定理,得
而∣CO∣=∣OB∣=5.
∴在四边形P2OCA中,AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.
∴点P2(-6,12)是符合要求的点.……1分
③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2
将点A(10,0)、C(4,-3)代入,得
∴直线CA的函数表达式为
∴直线OP3的函数表达式为
由即x(x-14)=0.
∴
而点O(0,0),∴P3(14,7).
过点P3作P3E⊥x轴于点E,则∣P3E∣=7.
在Rt△OP3E中,由勾股定理,得
而∣CA∣=∣AB∣=.
∴在四边形P3OCA中,OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.
∴点P3(14,7)是符合要求的点.……1分
综上可知,在
(1)中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),
使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形.……1分
∴
∴……2分
②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y轴的正半轴交于点N,
同理,可得……1分
综上所知,的值为3:
20.……1分
22.解:
(1)由已知得:
解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
(3)相似
如图,BD=
BE=
DE=
所以,即:
所以是直角三角形
所以,且,
所以.
24.解:
(1)∵点在上,
∴,
∴,
∴.
(2)连结,由题意易知,
∴.
(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆.
第一种情况:
当b>2a时,存在最大值及最小值;
因为的边,故当F点到BD的距离取得最大、最小值时,取得最大、最小值.
如图
所示时,
的最大值=
的最小值=
第二种情况:
当b=2a时,存在最大值,不存在最小值;
的最大值=.(如果答案为4a2或b2也可)
25.解:
(1)取中点,联结,
为的中点,,.(1分)
又,.(1分)
,得;(2分)(1分)
(2)由已知得.(1分)
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,
,即.(2分)
解得,即线段的长为;(1分)
(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,
又易证得.(1分)
由此可知,另一对对应角相等有两种情况:
①;②.
①当时,,..
,易得.得;(2分)
②当时,,.
.又,.
,即,得.
解得,(舍去).即线段的长为2.(2分)
综上所述,所求线段的长为8或2.
26.解:
方案一:
由题意可得:
,
点到甲村的最短距离为.(1分)
点到乙村的最短距离为.
将供水站建在点处时,管道沿铁路建设的长度之和最小.
即最小值为.(3分)
方案二:
如图①,作点关于射线的对称点,则,连接交于点,则.
,.(4分)
在中,
,,
,两点重合.即过点.(6分)
在线段上任取一点,连接,则.
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把供水站建在乙村的点处,管道沿线路铺设的长
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