小学数学典型应用题类型.docx

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小学数学典型应用题类型

小学数学典型应用题

1 归一问题

【含义】   在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】   总量÷份数＝1份数量   

               1份数量×所占份数＝所求几份的数量

               另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】  先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1  买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

          解

（1）买1支铅笔多少钱？

      0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？

0.12×16＝1.92（元）

              列成综合算式  0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

          答：

需要1.92元。

2 归总问题

 【含义】    解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

 【数量关系】 1份数量×份数＝总量     

              总量÷1份数量＝份数

              总量÷另一份数＝另一每份数量

 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

 例1   服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

 解 

（1）这批布总共有多少米？

   3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

         2531.2÷2.8＝904（套）

           列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）

                       答：

现在可以做904套。

。

3 和差问题

 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

 【数量关系】   大数＝（和＋差）÷2       

                小数＝（和－差）÷2

 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

 例1   甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

     解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

         乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

                        答：

甲班有52人，乙班有46人。

4 和倍问题

【含义】   已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】 总和÷（几倍＋1）＝较小的数  

             总和－较小的数＝较大的数

             较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

 例1   果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

   解 

（1）杏树有多少棵？

 248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

  62×3＝186（棵）

                          答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

5 差倍问题

【含义】   已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】  两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

              较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

 例1   果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求杏树、桃树各多少棵？

    解 

（1）杏树有多少棵？

   124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

    62×3＝186（棵）

                  答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

6 倍比问题

【含义】   有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数   

             另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1   100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解 

（1）3700千克是100千克的多少倍？

 3700÷100＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？

           40×37＝1480（千克）

          列成综合算式   40×（3700÷100）＝1480（千克）

                       答：

可以榨油1480千克。

7 相遇问题

【含义】   两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】   相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

               总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1   南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

           解   392÷（28＋21）＝8（小时）

                         答：

经过8小时两船相遇。

8 追及问题

【含义】   两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】  追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

              追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1   好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解 

（1）劣马先走12天能走多少千米？

 75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？

  900÷（120－75）＝20（天）

  列成综合算式  75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

                      答：

好马20天能追上劣马。

9 植树问题

【含义】   按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】       线形植树    棵数＝距离÷棵距＋1

                   环形植树    棵数＝距离÷棵距

                   方形植树    棵数＝距离÷棵距－4

                   三角形植树    棵数＝距离÷棵距－3

                   面积植树    棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1   一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

              解  136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

                           答：

一共要栽69棵垂柳。

10 年龄问题

【含义】   这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1   爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

      解         35÷5＝7（倍）  

              （35+1）÷（5+1）＝6（倍）

       答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

           明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

11 行船问题

【含义】   行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

             （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

              顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

              逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1   一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时     320÷8－15＝25（千米）

      船的逆水速为     25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为  320÷10＝32（小时）

                  答：

这只船逆水行这段路程需用32小时。

12 列车问题

【含义】   这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】 火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

             火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

                                   ÷（甲车速－乙车速）

             火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

                                   ÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1   一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。

这列火车长多少米？

解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

（1）火车3分钟行多少米？

 900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多少米？

   2700－2400＝300（米）

    列成综合算式   900×3－2400＝300（米）

                          答：

这列火车长300米。

13 时钟问题

【含义】   就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。

时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】  分针的速度是时针的12倍，

              二者的速度差为11/12。

              通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1   从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。

每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。

4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。

所以

分针追上时针的时间为   20÷（1－1/12）≈22（分）

                    答：

再经过22分钟时针正好与分针重合。

14 盈亏问题

【含义】   根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

            参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

            参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

             参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1   给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。

问有多少小朋友？

有多少个苹果？

解  按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？

 （11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？

    3×12＋11＝47（个）

                        答：

有小朋友12人，有47个苹果。

15 工程问题

【含义】   工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

            工作量＝工作效率×工作时间    

            工作时间＝工作量÷工作效率

            工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1    一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。

由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式：

   1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

                        答：

两队合做需要6天完成。

16 正反比例问题

 【含义】   两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

 例1   修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

 解 由条件知，公路总长不变。

          原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

          现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为   300÷（4－3）×12＝3600（米）

                         答：

这条公路总长3600米。

17 按比例分配问题

【含义】   所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：

一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。

 总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1   学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

 解 总份数为          47＋48＋45＝140

             一班植树   560×47/140＝188（棵）

             二班植树   560×48/140＝192（棵）

             三班植树   560×45/140＝180（棵）

             答：

一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

18 百分数问题

 【含义】   百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。

百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

                百分数＝比较量÷标准量   

                标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】  一般有三种基本类型：

（1）      求一个数是另一个数的百分之几；

（2）      已知一个数，求它的百分之几是多少；

          （3）      已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1   仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

 解 

（1）用去的占   720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占   6480÷（720＋6480）＝90%

                           答：

用去了10%，剩下90%。

19“牛吃草”问题

 【含义】   “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

 【数量关系】   草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

 例1   一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。

问多少头牛5天可以把草吃完？

   解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。

求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？

   设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

             1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

   同理     1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

   由此可知 （20－10）天内草的生长量为 

                       1×10×20－1×15×10＝50

   因此，草每天的生长量为   50÷（20－10）＝5

20 鸡兔同笼问题

 【含义】   这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

 假设全都是鸡，则有 

             兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

 假设全都是兔，则有 

             鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

 第二鸡兔同笼问题：

 假设全都是鸡，则有

             兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

 假设全都是兔，则有

             鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

 例1   长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有九十四。

请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

 解 假设35只全为兔，则 

            鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

            兔数＝35－23＝12（只）

 也可以先假设35只全为鸡，则 

            兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

            鸡数＝35－12＝23（只）

                        答：

有鸡23只，有兔12只。

21 方阵问题

 【含义】   将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

 【数量关系】 

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

                    四周人数＝（每边人数－1）×4

                   每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

          实心方阵：

总人数＝每边人数×每边人数

          空心方阵：

总人数＝（外边人数）－（内边人数）

          内边人数＝外边人数－层数×2

              （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

           总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

 【解题思路和方法】   方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，