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数学证明的讲解
数学证明的讲解(华师大版证明方法精讲)
一. 内容:
证明
1. 证明的认识
2. 用推理方法研究三角形包括:
(1)等腰三角形,
(2)角平分线,(3)线段的垂直平分线,(4)逆命题、逆定理。
二. 过程:
(知识点回顾)
1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据,从而证明新的命题成立,常用公理如下:
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
2. 等腰三角形:
(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简写成“等角对等边”,这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。
(2)重要性质:
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合,简写成“等腰三角形的三线合一”。
3. 角平分线:
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
4. 线段的垂直平分线上
(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
(2)到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
【典型例题】
例1. “三角形内角和180°”的证明。
方法1:
方法2:
方法3:
方法4:
(注:
通过作平行线将角转化),证明过程略。
例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。
常用的方法是将四边形转化成三角形,利用三角形的内角和:
也可以通过平移角的方法证明:
DE∥BC,FH∥AB
∠4=∠6=∠B
∠3=∠C
∠5=∠A
∠A+∠B+∠C+∠ADC=∠5+∠4+∠3+∠ADC=360°
例3. 如图,已知:
AB∥DE,观察∠A、∠C、∠D的关系如何?
方法一:
延长CD交AB于F
∵AB∥DE
∴∠1=∠CDE
又∵∠1=∠A+∠C
∴∠CDE=∠A+∠C
方法二:
延长ED交AC于F
∵AB∥DE
∴∠CFD=∠A
又∵∠CDE=∠C+∠CFD
∴∠CDE=∠C+∠A
方法三:
过C作CF∥AB
∵AB∥DE,∴DE∥CF
∴∠1+∠D=180°
∠1+∠2+∠A=180°
∴∠D=∠2+∠A
图2:
方法一:
∵AB∥DE
∴∠A=∠DEA=∠D+∠C
方法二:
延长BA、CD交于F
∵AB∥DE
∴∠F=∠EDC
∴∠BAC=∠F+∠C=∠EDC+∠C
方法三:
解略
此题是平移角的训练,关键体会只需移动角的位置。
例4. 已知AD⊥CD,∠C=15°,∠ABE=30°,求∠A。
解:
方法一:
延长AB交CD于F
则∠ABE=∠CBF=30°
∴∠AFD=∠C+∠CBF=15°+30°=45°
∵∠ADF=90°
∴∠A=180°-∠ADF-∠AFD=45°
方法二:
过B作BF∥CD交AD于F
则∠EBF=∠C=15°,∠BFA=∠CDA=90°
∴∠ABF=∠ABE+∠EBF=45°
∴∠A=180°-∠ABF-∠AFB=45°
例5. 已知:
如图,AB∥CD,BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线,点E在AD上。
求证:
BC=AB+CD
(分析:
一般证明线段和差时有截长法,补短法)
方法一:
截长法(因为要证BC=AB+CD,在线段BC上截取BF=AB,然后证明CF=CD,或在BC上截取CF=CD,再证明BF=AB。
)
如上图,在BC上截取BF=AB,连结EF
在△ABE和△FBE中
∴△ABE≌△FBE(SAS)
∴∠A=∠EFB
∵AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
又∵∠BFE+∠EFC=180°
∴∠EFC=∠D
在△EFC和△EDC中
∴△EFC≌△EDC(AAS)
∴FC=CD
∴BC=BF+FC=AB+CD
证法:
补短法(延长BE交CD的延长线于G,如图,再证明DG=AB,从而转证BC=CG,则由△BCE≌△GCE可得,再证△ABE≌△DGE可有结论DG=AB。
)
∵AB∥CG
∴∠ABE=∠G
又∵∠ABE=∠GBC
∴∠G=∠GBC
在△GEC和△BEC中
∴△GEC≌△BEC(AAS)
∴EG=EB,CG=BC
在△ABE和△DGE中
∴△ABE≌△DGE(ASA)
∴AB=DG
∴BC=CG=CD+DG=CD+AB
例6. 如图,四边形ABCD中,AB=8,BC=1,∠DAB=30°,∠ABC=60°且四边形ABCD的面积为 ,求AD的长。
解:
将不规则四边形转化成特殊三角形,延长AD、BC交于E
∵∠A=30°,∠B=60°
∴∠E=180°-∠A-∠B=90°
∵AB=8
由勾股定理:
∵BC=1,∴CE=BE-BC=3
例7. 已知:
AB=AC,D是BC上任意一点,DE⊥AB。
求证:
∠A=2∠EDB
解:
方法一:
利用等腰三角形的性质(即三线合一)
过A作AF⊥BC于F
∵AB=AC,∴AF平分∠BAC
即
∵∠B+∠1=90°
DE⊥AB于E
∴∠B+∠BDE=90°
方法二:
将△BDE沿DE翻折,得到△DEF
∵AB=AC
则∠DFB=∠B=∠C,∠BDF=2∠BDE
∴△BDF为等腰三角形,且∠BDF=∠A
∴∠A=2∠BDE
方法三:
将BA延长至F使AF=AB,连结AC(即倍长腰)
∵AB=AC,∴AF=AC
即∠BCF=90°
∵DE⊥AB,∴∠BED=90°
又∠B=∠B,∴△BCF∽△BED
即∠BAC=2∠BDE
将此题推广,已知AB=AC,D是AC上任意一点,DE⊥AB
如图:
将ED、BC延长交于F,则∠A=2∠F
方法一:
方法二:
方法三:
例8. 已知BD、CE是∠ABC、∠ACB的平分线,若∠A=60°。
求证:
(1)BC=BE+CD
(2)OD=OE
证明:
此题隐含的结论:
(1)∠DOC=∠EOB=60°,
(2)AEOD四点共圆,(3)O为内心。
先证OD=OE
方法1:
连结AO
∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线
∴∠DOC=∠EOB=60°
∴∠EOD=120°
∴∠AEO+∠ADO=180°
∴A、E、O、D四点共圆
∵O为△ABC的内心
∴AO平分∠EAD
∴OE=OD
方法2:
∵O为△ABC的内心
∴AO平分∠EOD,可以将△AOD沿AO翻折,得到△AFO,则
OD=OF,∠ADO=∠AFO
由方法1得:
∠AEO+∠ADO=180°
又∠AFO+∠EFO=180°
∴∠AEO=∠EFO
∴OE=OF
∴OD=OE
证明BC=BE+CD也有两种方法:
方法1:
在BC上截取BH=BE,连结OH,先得出△BOE≌△BOH
OE=OH,∠1=∠2=60°
∴∠3=∠4=60°
再证△COD≌△COH,得到CH=CD
∴BC=BH+CH=BE+CD
方法2:
将△BOE沿BO翻折得到△BOH,然后再证△COH≌△COD。
(证明略)
例9. 已知:
∠BAC=90°,AD⊥BC,BE平分∠ABC,EG⊥BC,GH⊥AC。
求证:
DG=GH
分析:
先看一个基本图,由双垂直,AD⊥BC,∠BAC=90°
再加角平分线BE平分∠ABC,必有等线段AE=AF
由角平分线性质得:
AE=EG
最后能知四边形AFGE为菱形
方法1:
连结FG、AG
∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°
∴∠1+∠ABC=90°
∴∠1=∠C
∵BE平分∠ABC,∴∠2=∠3
∵∠4=∠1+∠2,∠5=∠3+∠C
∴∠4=∠5
∴AF=AE
又∵EG⊥BC,∴AE=EG且EG∥AF
∴AF=AE=FG
∴四边形AFGE为菱形
∴AG平分∠FAE
∵GH⊥AC,GD⊥AD
∴DG=GH(角平分线的性质)
方法2:
由平行、角平分线及等线段中两个条件成立,必有第三个结论成立,如图,连结AG。
∵BE平分∠ABC,∠BAC=90°,EG⊥BC
∴AE=EG
∴∠1=∠2
又∵AD⊥BC
∴AD∥EG
∴∠3=∠2
∴∠1=∠3
∵DG⊥AD,GH⊥AC
∴DG=GH
【模拟试题】
1. 如图所示,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠A,CF平分∠C。
求证:
AE∥CF
2. 已知:
如图所示,△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,EF⊥AD于G,交AB于E,交AC于F,交BC的延长线于H。
求证:
3. 如图所示,已知:
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BD平分∠ABC交AC于D,AE⊥BD交BD的延长线于E。
求证:
BD=2AE
4. 如图所示,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1,求AD的长。
5. 已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为
,△ABC的高为h。
“若点P在一边BC上(如图
(1)),此时 ,可得结论:
。
”
(1)请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P在△ABC内(如图
(2))、点P在△ABC外(如图(3))这两种情况时,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,
与h之间又有怎样的关系?
请写出你的猜想,不需证明。
(2)若不用上述信息,你能用其他方法证明猜想结论吗?
6. 如图所示,△ABC中,AD是∠A的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠BAF=180°。
求证:
DE=DF
7. 如图所示,已知:
在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE交于O。
求证:
AE+CD=AC
8. 如图所示,BC>AB,BD平分∠ABC,且AD=DC。
求证:
∠A+∠C=180°
【试题答案】
1. 证明:
∴AE∥CF
2.
3. 证明:
延长BC、AE交于F
先证
得EF=EA,AF=2AE
再证
得BD=AF
4. 解:
为等边三角形
5. 解:
(1)如图
(2),当P在
内时,结论
仍成立;当P在
外时,结论
不成立;应是
(2)如图(3)
(由面积得到)
6. 证明:
过D作DM AB于M,DN AC于N
则DM=DN
再证
则可证 有DE=DF
7. 证明:
在AC上截取AF=AE,连OF,则
8. 方法1:
(如图)
方法2:
如图
证法略
方法3:
如图
证法略
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