最新高中数学知识点汇总文科优秀名师资料.docx

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最新高中数学知识点汇总文科优秀名师资料

_____________________________方______________________________第1页共43页必修1

第一章集合与函数概念

1.集合三要素:

确定性、互异性、无序性.

2.常见集合:

整数集合:

N;正整数集合:

*N或+N;整数集合:

Z;有理数

集合:

Q;实数集合:

R.

3.集合的表示方法:

列举法、描述法、韦恩图法.

4.子集:

一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合

B中的元素,则称集合A是集合B的子集.记作BA?

.

5.真子集:

如果集合BA?

但存在元素Bx∈,且Ax?

则称集合A是集合

B的真子集.记作:

AB.

6.把不含任何元素的集合叫做空集.记作:

Φ.并规定:

空集是任何集合的子

集;空集是任何集合的真子集.

7.如果集合A中含有n个元素,则集合A有n2个子集.

8.并集:

一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A

与B的并集.记作:

AB,即AB={|,xxA∈或}xB∈.

9.交集:

一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A

与B的交集.记作:

AB,即AB={|,xxA∈且}xB∈.

10.补集:

对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合A相对于全集U的补集,记作:

UAe,即UAe={|,}xxUxA∈?

且.

11.一个函数的构成要素为:

定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义

域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.

12.函数的三种表示方法:

解析法、图象法、列表法.

13.用定义法判断函数单调性的步骤:

①取值;②作差变形;③定号;④判断.

14.一般地,如果对于函数（）xf的定义域内任意一个x,都有（）（）xfxf=-,

那么就称函数（）xf为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

15.一般地,如果对于函数（）xf的定义域内任意一个x,都有（）（）xfxf-=-,

那么就称函数（）xf为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

16.求函数定义域:

①分母不为0;②偶次方根被开方数0≥;③对数的真数0>.17.用定义判断奇偶性的方法:

①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定）（xf-与）（xf的关系;③得出结论:

若）（）（xfxf=-或者0）（）（=--xfxf,则）（xf是偶函数;若）（）（xfxf-=-或者

0）（）（=+-xfxf,则）（xf是奇函数;

第二章基本初等函数（Ⅰ）

1.一般地,如果axn=,那么x叫做a的n次方根。

其中+∈>Nnn,1.

2.

（1））,1（）（*Nnnaann∈>=且

（2）当n为奇数时,aann=;当n为偶数时,aann=.3.我们规定:

⑴mnm

n

aa

=（）

1,,,0*>∈>mNnma;⑵（）01

>=

-na

ann;4.指数运算性质:

⑴（）Qsraaaasrsr∈>=+,,0;⑵（）（）Qsraaarss

r∈>=,,0;

⑶（）（）Qrbabaabrrr

∈>>=,0,0.

xNNaax=?

=logxay=10<a

图象

定义域R值域

（0,+∞）性质

定点

过定点（0,1）

x对y

影响当x>0时,01.

当x>0时,y>1;当x<0时,0

单调性在R上是减函数

在R上是增函数

对称性xya=和xya-=关于y轴对称

奇偶性

非奇非偶函数

6.指数式与对数式互化:

7.对数的运算性质:

当0,0,1,0>>≠>NMaa时

⑴（）NMMNaaalogloglog+=;⑵NMNMaaalogloglog-=?

?

?

?

?

;

（3）

MnMan

aloglog=.（4）aa

N

a=log,01log=a,1log=aa.

8.换底公式:

ab

bccalogloglog=

（）0,1,0,1,0>≠>≠>bccaa.

abbalog1

log=

（）1,0,1,0≠>≠>bbaa.

函数log（0,1）ayxaa=>≠叫对数函数.

xyalog=

10

<

a

图象

定义域（0,+∞）

值域

R

性质

过定点（1,0）,即x=1时,y=0

在R上是减函数在R上是增函数

当00当x>1时,y<0当01时,y>0;

非奇非偶函数。

10.幂函数的图象及性质

（1）几种幂函数的图象:

（2）幂函数的性质:

①所有的幂函数在）（+∞,0都有定义,并且图像过点）（1,1②0>α时,幂函数的图象都通过原点,且在）（+∞,0上是增函数③0<α时,幂函数的图象在区间）（+∞,0上是减函数

第三章函数的应用

1.方程（）0=xf有实根

?

函数（）xfy=的图象与x轴有交点?

函数（）xfy=有零点.

2.性质:

如果函数（）xfy=在区间[]ba,上的图象是连续不断的一条曲线,并

且有（）（）0

bfaf,那么,函数（）xfy=在区间（）ba,内有零点,即存在

（）bac,∈,使得（）0=cf,这个c也就是方程（）0=xf的根

〖补充知识〗函数图象变换

1.平移变换

0,0,|（）（）hhhhyfxyfxh><=?

?

?

?

?

?

?

→=+左移个单位

右移|个单位0,0,|（）（）kkkkyfxyfxk><=?

?

?

?

?

?

?

→=+上移个单位下移|个单位

2.伸缩变换

01,1,（）（）yfxyfxωωω<<>=?

?

?

?

→=伸

缩01,1,（）（）AAyfxyAfx<<>=?

?

?

?

→=缩伸

3.对称变换

（）（）xyfxyfx=?

?

?

→=-轴（）（）yyfxyfx=?

?

?

→=-轴

（）（）

yfxyfx=?

?

?

→=--原点

1（）（）yxyfxyfx-==?

?

?

?

→=直线

（）（||）yyyyfxyfx=?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

→=去掉轴左边图象

保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象

（）|（）|xxyfxyfx=?

?

?

?

?

?

?

?

?

→=保留轴上方图象

将轴下方图象翻折上去

必修2第一章空间几何体

（1）棱柱:

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

几何特征:

两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥:

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体

几何特征:

侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台:

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分

几何特征:

①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱:

定义:

以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征:

①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥:

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征:

①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台:

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

几何特征:

①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇环。

（7）球体:

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征:

①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.三视图:

正视图:

从前往后侧视图:

从左往右

俯视图:

从上往下

2.画三视图的原则:

长对正、高平齐、宽相等

高平齐

长对正

长对正宽相等

3.直观图画法:

斜二测画法

4.斜二测画法的要求:

（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;

（2）平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;（3）画法要写好。

5.斜二测画法的步骤:

（1）画轴

（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

6.棱柱、棱锥的表面积:

各个面面积之和

7.圆柱的表面积8.圆锥的表面积2

rrlSππ+=

9.圆台的表面积22RRlrrlSππππ+++=10.球的表面积24RSπ=11.柱体的体积hSV?

=底

2

22rrlSππ+=

P

·α

L

βDCB

Aα

12.锥体的体积hSV?

=

底31

13.台体的体积hSSSSV?

++=）31

下下上上（

14.球体的体积33

4

RVπ=

第二章直线与平面的位置关系

1.平面含义:

平面是无限延展的

2.平面的画法:

水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长（如图）

3.三个公理:

（1）公理1:

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为

公理1作用:

判断直线是否在平面的理论依据

（2）公理2:

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:

三点不共线有且只有一个平面,使

。

公理2作用:

确定一个平面的依据。

（3）公理3:

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:

公理3作用:

判定两个平面是否相交的依据及点共线的依据

LBA·αC·

B

·A·αα

αα?

?

?

?

?

?

?

?

?

∈∈∈∈LBALBLAααα∈∈∈CBA,,CBA,,?

αLPLp∈=?

?

?

∈,且βαβα

4.空间的两条直线有如下三种关系:

?

?

?

没有公共点;平行直线:

同一平面内有且只有一个公共点;相交直线:

同一平面内

共面直线异面直线:

不同在任何一个平面内,没有公共点。

5.公理4（平行线的传递性）:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:

设、、是三条直线,

公理4作用:

判断空间两条直线平行的依据。

6.等角定理:

空间中若两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补

7.异面直线所成角的定义:

已知异面直线,,在空间中任取一点O,过点O

分别做,

则与所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角

8.直线与平面有三种位置关系:

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线与平面平行——没有公共点

指出:

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用

来表示

9.线面平行判定定理:

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:

线线平行,则线面平行。

符号表示:

c

abcba//////?

?

?

?

aa'//bb'//a'b'abα?

aabcα?

aAa=?

αα//aααα////ababa?

?

?

?

?

?

?

?

10.面面平行判定定理:

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:

11.判断两平面平行的方法有三种:

（1）用定义;

（2）判定定理;（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

12.线线平行判定定理:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:

线面平行则线线平行。

符号表示:

作用:

利用该定理可解决直线间的平行问题。

13.定理:

如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示:

作用:

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

14.线面垂直定义:

如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作

直线叫做平面的垂线,平面叫做直线

的垂面。

如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

αp

β

αα

ββ

//////?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

abaPbabab

abaa////?

?

?

?

?

?

=?

?

βαβα

bab////?

?

?

?

?

?

=?

=?

γβαγαβααLLLLααα⊥Lα

lllxl与xl与00tan0===o

ok,α

15.线面垂直判定定理:

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

16.二面角的概念:

表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭lβ

B

α

17.面面垂直判定定理:

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

18.线线平行判定定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行。

19.线面垂直性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章直线与方程

1.直线倾斜角的概念:

当直线与x轴相交时,取x轴作为基准,

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,规定.

2.倾斜角

的取值范围:

.当直线l与x轴垂直时,.3.直线的斜率:

一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是⑴当直线

轴平行或重合时,⑵当直线

轴垂直时,由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4.直线的斜率公式:

给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:

2121

yykxx-=-

5.两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即L1∥L2?

k1=k2

lα

o

0=ααo

o

o180<≤αo

90=α（

）

o

90≠ααα

tan=k不存在

ko90=ααl

（）（）2

2

122221PPxxyy=

-+-两点间的距离公式:

）

（2121yyxx≠≠6.两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即1212llkk=0⊥?

?

7.直线的点斜式方程:

直线l经过点）,（000yxP,且斜率为k则

）（00xxkyy-=-

8.直线的斜截式方程:

直线l的斜率为k,与y轴的交点为）,0（b,bkxy+=9.直线的两点式方程:

已知直线上的两点）

（）,,（222211yxPxxP其中11

2121y-yx-x=

y-yx-x

10.直线的截距式方程:

已知直线l与x轴的交点为A）0,（a,与y轴的交点为B）,0（b,其中0,0≠≠ba,1xya

b

+=

11.直线的一般式方程:

0=++CByAx（A,B不同时为0）

12.点到直线距离公式:

点）,（00yxP到直线0:

=++CByAxl的距离为:

2

2

00B

ACByAxd+++=

13.两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l:

01=++CByAx,2l:

02=++CByAx,则1l与2l的距离为2

2

21B

ACCd+-=

14.

22

DE-

-（）

第四章圆与方程

1.圆的标准方程:

222（）（）xaybr-+-=,圆心为A（a,b）,半径为r

2.点00（,）Mxy与圆222（）（）xaybr-+-=的关系的判断方法:

（1）2200（）（）xayb-+->2r,点在圆外

（2）2200（）（）xayb-+-=2r,点在圆上（3）2200（）（）xayb-+-<2r,点在圆内

3.圆的一般方程:

022=++++FEyDxyx,（2240DEF+->）,圆心半径r=

2242

DEF

+-

4.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线l:

0=++cbyax,圆C:

022=++++FEyDxyx,圆的半径为r,圆心

）2

2（E

D--

到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:

（1）当rd>时,直线l与圆C相离;

（2）当rd=时,直线l与圆C相切;（3）当rd<时,直线l与圆C相交;

5.两圆的位置关系:

设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:

（1）当21rrl+>时,圆1C与圆2C相离;

（2）当21rrl+=时,圆1C与圆2C外切;（3）当<-||21rr21rrl+<时,圆1C与圆2C相交;

（4）当||21rrl-=时,圆1C与圆2C内切;（5）当||21rrl-<时,圆1C与圆2C内含;

6.空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组）,,（zyx来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M）,,（zyx,

x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖

坐标。

7.空间中任意一点）,,（1111zyxP到点）,,（2222zyxP之间的距离公式

22122122121）（）（）（zzyyxxPP-+-+-=

必修3第一章算法初步

1.算法的特点:

有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性.

2.算法的三种基本逻辑结构:

顺序结构、条件结构、循环结构.

3.辗转相除法.也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:

（1）.用较大的数m除以较小的数n得到一个商0S和一个余数0R

（2）.若0R=0,则n为m,n的最大公约数;若0R≠0,则用除数n除以余数

0R得到一个商1S和一个余数1R

（3）.若1R=0,则1R为m,n的最大公约数;若1R≠0,则用除数0R除以余数

1R得到一个商2S和一个余数2R;……依次计算直至nR=0,此时所得到的

1nR-即为所求的最大公约数.

4.更相减损术

（1）.任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。

若是,用2约简;若不是,执行第二步.

Oy

z

x

M

P1

P2

N

M1

N2N1M2H

（2）.以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。

继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数（等数）就是所求的最大公约数.5.秦九韶算法概念:

1210

123

n12

12n11011n1）））（（））（（）（）（:

）（axaxaxaxaaxaxax

ax

aaxaxaxaxfaxaxaxaxfnnnnnnnnnnnn+++++==++++=+++=+++=----------求值问题

求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即11-+=nnaxav然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即

01323212axvvaxvvaxvvnnnn+=+=+=---

这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

6.进位制表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001

（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数.

（2）k进制转化为十进制公式:

（3）十进制转化为k进制:

除k取余法

110（）

110110（10）

nnknnnnaaaaakakakak---=?

+?

++?

+?

L

L

注:

k进制数之间的转化,首先转化成十进制,再转化为其他进制数.

第二章统计

1.简单随机抽样常用的方法:

①抽签法②随机数表法

（2）抽签法步骤:

①编号②制签③搅拌均匀④抽签⑤确定样本（3）随机数表法:

①编号②从数表中定“中心”③按事先约定好的方向取数④确定样本2.系统抽样（等距抽样或机械抽样）:

把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取.

特点:

抽出的样本编号按大小顺序排列时,编号之差为定值（即等距）。

3.分层抽样（类型抽样）:

先将总体中的所有元素按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次,然后按比例在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本.分层的比例问题:

抽样比例=

=样本容量各层样本容量

个体容量各层个体容量

4.用样本的数字特征估计总体的数字特征

①样本均值:

12......n

xxxxn

+++=

②方差:

[]

2

22212）（）（）（1xxxxxxn

sn-++-+-=

③样本标准差:

222

2

12（）（）......（）nxxxxxxssn

-+-++-==

④众数:

在样本数据中,出现次数最多的那个数据（可以是多个）⑤中位数:

在样本数据中,从小到大排列,最中间的那一个数据,如果最中间有两个数据,取其平均