线性多变量系统(线性系统理论完整.ppt
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线性多变量系统选用教材:
郑大钟线性系统理论清华大学出版社教学参考书:
陈启宗著线性系统理论与设计科学出版社何关钰著线性控制系统理论辽宁人民出版社第一章第一章绪绪论论第二章第二章线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第三章第三章线性系统的运动分析线性系统的运动分析第四章第四章线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性第五章第五章线性系统的稳定性线性系统的稳定性第六章第六章线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合线性系统的时间域理论线性系统的复频率域理论第一章绪论1.1系统控制理论的研究对象系统控制理论的研究对象系统是系统控制理论的研究对象系统:
是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
(2)抽象性作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究.(3)相对性在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性1/3,1/51/3,1/5动态系统:
所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统系统变量可区分为三类形式系统动态过程的数学描述动态系统的分类从机制的角度从特性的角度从作用时间类型的角度uxy2/3,2/52/3,2/5线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理.若表征系统的数学描述为L系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述系统模型的作用模型类型的多样性数学模型的基本性建立数学模型的途径系统建模的准则3/3,3/53/3,3/51.2线性系统理论的基本概貌线性系统理论的基本概貌线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科主要内容:
数学模型分析理论综合理论发展过程:
经典线性系统理论,现代线性系统理论主要学派:
状态空间法几何理论把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合代数理论把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题多变量频域方法1/2,4/51/2,4/51.3本书的论述范围本书的论述范围1:
状态空间法2:
多项式矩阵法2/2,5/52/2,5/5第一部分第一部分:
线性系统时间域理论线性系统时间域理论第二章第二章线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述2.1状态和状态空间线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法系统动态过程的数学描述1/4,1/501/4,1/50
(1).系统的外部描述外部描述常被称作为输出输入描述例如.对SISO线性定常系统:
时间域的外部描述:
复频率域描述即传递函数描述
(2)系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,状态方程和输出方程(3)外部描述和内部描述的比较一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.2/4,2/502/4,2/50状态和状态空间的定义状态变量组:
状态(向量)一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组所组成的一个列向量一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组状态空间状态空间定义为状态向量(取值)的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数几点解释
(1)状态变量组对系统行为的完全表征性只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组和tt0各时刻的任意输入变量组那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定3/4,3/503/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性的数学特征(4).状态变量组的不唯一性(5).系统任意两个状态变量组之间的关系(6)有穷维系统和无穷维系统(7)状态空间的属性状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn4/4,4/504/4,4/502.2线性系统的状态空间描述电路系统状态空间描述的列写示例以上方程可表为形如描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式(动态方程或运动方程),包括状态方程(描述输入和状态变量之间的关系)和输出方程(描述输出和输入、状态变量之间的关系)。
1/7,5/501/7,5/50机电系统状态空间描述的列写示例上式可表为形如2/7,6/502/7,6/50连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统线性时变系统3/7,7/503/7,7/50连续时间线性系统的方块图4/7,8/504/7,8/50人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数写成矩阵形式5/7,9/505/7,9/50离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统离散时间线性时变系统6/7,10/506/7,10/50状态空间描述的特点一是:
状态方程形式上的差分型属性二是:
描述方程的线性属性三是:
变量取值时间的离散属性离散时间线性系统的方块图7/7,11/507/7,11/502.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类线性系统和非线性系统设系统的状态空间描述为向量函数若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统对于线性系统非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统1/2,12/501/2,12/50时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,即该系统称为时不变系统若向量f,g显含时间变量t,即该系统称为时变系统连续时间系统和离散时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量2/2,13/502/2,13/502.4由系统输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述其传递函数描述可以导出其状态空间描述为1/18,14/501/18,14/50结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
(1)m=n,即系统为真情形设2/18,15/502/18,15/50可见3/18,16/503/18,16/50令有4/18,17/504/18,17/50
(2)mn,即系统为严真情形写成矩阵形式:
5/18,18/505/18,18/50结论2给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
(1)m=0情形此时输入输出描述为:
选取n个状态变量6/18,19/506/18,19/50其对应的状态空间描述为:
7/18,20/507/18,20/50
(2)m0情形此时输入输出描述为:
a:
8/18,21/508/18,21/50其对应的状态空间描述为:
其中9/18,22/509/18,22/50b:
改写为令10/18,23/5010/18,23/50结论3给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为:
其极点即分母方程的根为两两互异实数,则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出:
(1)mt0的有限时间区间t0,t1内,存在一个无约束的控制矢量u(t),使x(t1)=0,则称系统是状态完全能控的,简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
定义1/3,1/451/3,1/45能控性,能达性定义对连续时间线性时变系统如果存在一个时刻以及一个无约束的容许控制u(t)使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0,则称非零状态X0在t0时刻为能控。
如果存在一个时刻t1J,t1t0,以及一个无约束的容许控制u(t),tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。
*对连续时间线性时不变系统,能控性和能达性等价;对离散时间线性时不变系统和线性时变系统,若系统矩阵为非奇异,则能控性和能达性等价;对连续时间线性系统,能控性和能达性一般为不等价。
定义:
对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果状态空间中所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达,称系统在时刻t0为完全能控/能达。
2/3,2/452/3,2/45定义:
对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达,称系统在时刻t0为不完全能控/能达。
定义:
若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关,或系统在任意初始时刻t0J均为完全能控/能达,则称系统为一致完全能控/能达。
能观测性定义对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J,t1t0,使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零,即y(t)0,tt0,t1,则称非零状态x0在时刻t0为不能观测;如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测,则称系统在时刻t0为完全能观测;如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测,则称系统在时刻t0为不完全能观测;如果系统对任意时刻均为完全能观测,即能观测性与初始时刻t0的选取无关,则称系统为一致完全能观测。
该系统是不完全能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。
3/3,3/453/3,3/4542连续时间线性系统的能控性判据结论1:
线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵证明充分性为非奇异时,系统能控说明系统是能控的1/8,4/451/8,4/45反证法必要性是奇异的,且系统能控,看能否导出矛盾的结果。
由于是奇异的,故的行向量在t0,t1上线性相关,必存在非零的行向量,使在t0,t1区间成立,若选择非零的初始状态x(t0)=T,则说明=0,矛盾2/8,5/452/8,5/45结论2:
连续时间线性时不变系统:
完全能控的充分必要条件是,存在时刻t10,使格拉姆矩阵为非奇异。
结论3:
n维连续时间线性时变系统设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微,定义则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件为,存在一个有限时刻t1J,t1t0,,使3/8,6/453/8,6/45结论4对n维连续时间线性时不变系统,系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵满秩,即rankQc=n结论5n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为:
rankSI-AB=n,或为系统特征值结
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