系统辨识课件5.ppt
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系统辨识课件5.ppt
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第4章极大似然法辨识方法特点:
方法特点:
(1)无偏估计方法;
(2)适用于(k)相关情况;(3)当系统信噪比较小时有较好的估计效果;(4)算法稳定度好;(5)是一种递推算法;(6)实际工程中广泛使用。
辨识准则:
辨识准则:
以观测值的出现概率最大为准则。
4.1辨识基本原理可见,似然函数最直接的取法为:
观察值概率分布密度函数的乘积观察值概率分布密度函数的乘积辨识准则:
以观测值的出现概率最大作为准则。
如何构造指标函数?
称为似然函数称为似然函数因此,使该似然函数为最大时的参数估计值就称为:
极大似然参数辨识极大似然参数辨识简称ML参数辨识方法。
定义似然函数LL为:
MLML辨识基本原理辨识基本原理设某离散随机过程VV(k)与待辨识参数有关。
其分布密度为:
若测得n个独立的观测值其概率分布密度已知。
辨识的原则就是使得LL达到极大值,即:
通常对LL取对数求解,即lnLL取得极大则LL取得极大,则有:
由(4.1)或(4.2)解出的即为极大似然估计(4.1)(4.2)4.2差分方程的极大似然辨识1.1.白噪声情况白噪声情况式中,(k)为高斯白噪声序列且与u(k)无关。
系统差分方程:
上式写成向量形式为:
系统估计残差为:
设e(k)方差为则似然函数LL为:
由于(k)为高斯白噪声,故而e(k)也为高斯白噪声。
因为高斯分布概率密度函数:
则依极大似然辨识原理有:
解上述方程有:
可见在(k)为高斯白噪声序列这一特殊情况下,极大似然辨识与一般最小二乘法辨识具有相同结果。
2.2.有色噪声情况有色噪声情况其向量形式为:
式中:
预测误差e(k)为:
系统差分方程:
因为(k)为高斯白噪声,故而e(k)可假设为零均值的高斯白噪声。
则似然函数LL为:
由记讨论:
讨论:
y(k)出现的概率最大,亦即JJ达到极小值。
即使对概率密度不作任何假设,使JJ极小也是极有意义的。
因此,ML估计就变成了如何求取J极小的算法。
可见,使使LL为最大的估计值,等价为最大的估计值,等价于使于使JJ为极小的估计值。
为极小的估计值。
式中:
称为JJ的梯度矩阵称为JJ的海赛矩阵求J的极小值问题只能采用循环迭代方法循环迭代方法。
常用的迭代算法有:
拉格朗日乘子法和牛顿-拉卜森法。
牛顿牛顿-拉卜森法拉卜森法的迭代公式:
注意:
注意:
上式中JJ的梯度矩阵和海赛矩阵,依不同辨识对象,需进行详细推导,推导出矩阵中每个元素的具体表达式。
推导时要非常仔细。
Newton-Raphson迭代计算步骤迭代计算步骤
(1)初始值的选定任意取值用基本LS辨识获取
(2)计算预测误差(残差)及JJ值指标函数JJ值:
预测误差:
误差方差估计值:
(3)计算梯度矩阵及海赛矩阵当估值比较接近真值时,e(k)接近于0,后一项可忽略,则海赛矩阵为:
(4)按牛顿-拉卜森迭代公式计算新的估计值(5)计算残差方差比则终止迭代。
返回
(2)进行循环迭代,若:
的解算的解算则各参数的偏导数如下:
上式均为差分方程,其初始条件均为零。
通过求解上述差分方程,可得到e(k)对各参数的全部偏导数。
4.34.3递推极大似然法递推极大似然法递推ML算法的特点:
按不同的估计方法,可得不同的递推极大似然算法。
常用的有按牛顿-拉卜森法、二次型函数逼近法的递推ML算法。
(1)其性能介于递推广义最小二乘法与离线ML法之间;
(2)收敛性好,以概率1收敛于局部极小值;(3)在高噪声时,采用递推ML效果好。
递推极大似然法由同学们自学。
递推极大似然法由同学们自学。
目的:
目的:
随时间t变化而变化,估计第第55章章时变参数辨识方法时变参数辨识方法卡尔曼滤波法:
采用卡尔曼预测公式估算。
方法:
方法:
仍为老方法,只是更加强调新数据作用。
矩形窗法:
只取后N个数据,前面全抛弃。
本章自学本章自学指数窗法:
第第66章章多输入多输入多输出系统的辨识多输出系统的辨识主要方法有:
本章自学本章自学MIMO的最小二乘辨识MIMO的极大似然辨识第第77章章随机时序列模型的建立随机时序列模型的建立本章自学本章自学观点:
观点:
无“因”有“果”模型的辨识,即只有输出而无输入模型的建立及辨识。
上述知识在随机过程课程讲述。
主要随机模型:
主要随机模型:
回归模型、自回归模型、移动平均模型、自回归移动平均模型第第88章章系统结构辨识系统结构辨识目的:
目的:
确定系统模型阶次n。
常用的定阶方法有以下六种:
(1)按残差方差定阶
(2)AIC准则(3)按残差白色定阶(4)零点极点消去检验定阶(5)利用行列式比定阶(6)利用Hankel矩阵定阶重点掌握前三种定阶方法。
重点掌握前三种定阶方法。
8.1按残差方差定阶定阶原理:
定阶原理:
(1)按估计误差方差最小定阶
(2)F检验法该方法可细分为两种方法:
实际工程中采用实际工程中采用FF检验法。
检验法。
计算不同阶次n辨识结果的估计误差方差,按估计误差方差最小或最显著变化原则来确定模型阶次n。
指标函数:
向量形式:
LS估计:
残差:
1.1.按估计误差方差最小定阶按估计误差方差最小定阶系统差分方程:
依次计算n=1,2,3,时的指标函数Jn,并将其绘制成曲线。
定阶原则:
定阶原则:
则随着n增大,J值是下降的。
若n0为正确的阶次,此时J值所在的点是曲线上最大的拐点,此后J值基本不变化或变化很小。
Jn曲线如下:
依上述原则,上述曲线模型阶次为3。
2.F2.F检验法检验法选取F变化最大时的n为系统的阶次。
实际工程应用时,在定阶过程中,我们并不是取Jn最小时n值,作为系统模型的阶次,而是对在n增大过程中,使使JJnn显著减小的显著减小的nn值感兴趣值感兴趣。
为了避免人为主观判断的影响,引入准则:
n123456J592.65469.64447.25426.40418.73416.56F50.949.679.679.433.150.99依F检验法,系统模型阶次为3。
8.2AIC8.2AIC信息准则(信息准则(akaikeakaike)L-是模型的似然函数;P-是模型中的参数个数。
AIC准则定义为:
1.AIC1.AIC定阶原则定阶原则式中:
含义:
使含义:
使LL最大时的最小的最大时的最小的nn值为模型阶次。
值为模型阶次。
定阶原则:
AIC最小值所对应的n即为系统阶次。
e(k)为服从正态分布的白噪声,则似然函数为:
2.AIC2.AIC计算公式计算公式系统模型:
(1)
(1)白噪声情况白噪声情况由由选取不同的阶数n1、n2,按上式计算AIC值,其中最小AIC对应的n1、n2值即为系统的阶次。
取:
n1,n2123411022.94341.76697.35323.3802280.04651.08530.39316.800325.86414.07015.59917.649415.93115.10816.218按AIC准则n1=3、n2=2。
(k)为服从正态分布的白噪声,经推导可得:
系统模型:
(2)
(2)有色噪声情况有色噪声情况计算不同n1、n2、n3时的AIC值,取最小的AIC值对应的n1、n2、n3值为系统的阶次。
式中:
8.38.3按残差白色定阶按残差白色定阶定阶原理:
定阶原理:
若阶次n设计合适,则残差近似为白噪声。
因此可利用计算残差e(k)的自相关函数来检查白色性。
自相关函数的计算如下:
定义归一化的为:
由上图可知n=2残差近似为白噪声,则系统阶次为2。
8.4零点-极点消去检验则系统的闭环脉冲传函G(z)为:
G(z)中必有零极点可对消。
如果实际系统的阶数为n0,则当时,的根,此时,通过计算多项式就可判定阶次的合理性。
定阶原理:
定阶原理:
8.5行列式比定阶如果输入u(k)为持续激励信号,则有因此有若在时,则可判定系统的阶数。
缺点:
缺点:
当系统有噪声时也是满秩的,定阶困难。
定义:
优点:
优点:
只用原只用原始数据始数据8.6Hankel矩阵定阶定理:
定理:
当系统中不存在噪声,则有时,对于所有k,但存在噪声则无上述结论,因此定义指标:
当D达到极大时L值即为系统阶次n。
由脉冲响应序列来定阶。
特点:
特点:
Hankel矩阵:
-阶次另一种求另一种求DD的方法的方法计算脉冲响应序列的自相关值:
归一化处理:
当D达到极大值时的l值就是系统的阶次n。
,构成Hankel矩阵并计算D值。
以代替第第99章章闭环系统的辨识闭环系统的辨识9.19.1闭环辨识的问题闭环辨识的问题辨识对象:
控制器:
问题:
问题:
在闭环工作下辨识方法:
方法:
直接辨识法和间接辨识法。
特点:
特点:
闭环系统有的可以辨识,有的不可辨识。
因此,闭环辨识存在可辨识性概念。
数据辨识(不需要知道H(z))直接辨识:
由间接辨识:
由数据辨识在H(z)已知下可以求出G(z)。
原因:
原因:
开环不稳定或该系统是大系统的一部分,不可分割。
为系统脉冲传递函数:
9.29.2可辨识性概念可辨识性概念将u(k)=dy(k)代入阵,即某系统:
阵不满秩,为奇异矩阵。
系统不可辨识。
结论:
结论:
闭环系统可辨识性与控制器的结构、阶次和反馈通道的噪声有关。
若系统的反馈通道改为:
或可见阵满秩,为非奇异矩阵,系统可辨识。
或1.1.直接辨识直接辨识9.3SISO9.3SISO闭环系统的辨识闭环系统的辨识辨识的计算公式可由LS可得。
我们主要讨论可辨识性条件和闭环辨识的一致性估计可辨识性条件和闭环辨识的一致性估计。
闭环系统差分方程为:
式中:
(k)与s(k)互不相关,P和q分别是反馈通道和前向通道的滞后时间。
可以证明:
(1)当(k)和s(k)均存在互不相关时,若p0或q0,则LS为一致性和惟一性估计。
(2)当(k)存在且s(k)=0,若q0或p0,则LS为一致性估计。
若ncnb-q或ndna-q,则LS为惟一性估计。
(3)当(k)=0,LS为一致性和惟一性估计。
(4)若(k)为有色噪声,LS不是一致性估计,可用LS的无偏估计法,从而得到一致性估计。
当s(k)=0,若ncnb-q或ndna-q,则LS为惟一性估计。
结论:
结论:
反馈通路中存在噪声,G(z)是可辨识的。
故最好在反馈通道中加入一个持续的激励信号。
2.2.间接辨识间接辨识自学大大作作业业邮箱:
密码:
88888888要求:
闭卷考试时交纸质版一份,同时电子版email至上述邮箱。
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