学年高一数学人教A版必修4学案311 两角差的余弦公式.docx

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学年高一数学人教A版必修4学案311两角差的余弦公式

3．1.1　两角差的余弦公式

明目标、知重点

　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．

两角差的余弦公式

C（α－β）：

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，其中α、β为任意角．

[情境导学]　我们在初中时就知道cos45°＝，cos30°＝，由此我们能否得到cos15°＝cos（45°－30°）＝？

大家可以猜想，是不是等于cos45°－cos30°呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！

下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos（α－β）＝？

探究点一　两角差余弦公式的探索

思考1　有人认为cos（α－β）＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举两例加以说明．

答　不正确．

例如：

当α＝，β＝时，

cos（α－β）＝cos＝，

而cosα－cosβ＝cos－cos＝－，

cos（α－β）≠cosα－cosβ；

再如：

当α＝，β＝时，cos（α－β）＝cos＝，

而cosα－cosβ＝cos－cos＝，

cos（α－β）≠cosα－cosβ.

思考2　请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．

①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝1＝cos0°；

②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝＝cos30°；

③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0＝cos（－90°）；

④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝＝cos（－60°）．

猜想：

cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α－β）；

即：

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.

探究点二　两角差余弦公式的证明

如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，请回答下列问题：

（1）P点坐标是（cosα，sinα），向量＝（cosα，sinα），||＝1.

Q点坐标是（cosβ，sinβ），向量＝（cosβ，sinβ），

||＝1.

（2）当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：

α－β＝〈，〉；

当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量与的夹角〈，〉之间的关系是：

α－β＝－〈，〉；

当α，β均为任意角时，α－β和〈，〉的关系是：

α－β＝2kπ±〈，〉，k∈Z.

（3）向量与的数量积·＝||||·cos〈，〉＝cos（α－β）；另一方面，与的数量积用点坐标形式表示：

·＝（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.

从而，对任意角α，β均有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.

探究点三　两角差余弦公式的应用

思考1　若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？

答　cosα＝cos[（α＋β）－β]＝cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）·sinβ.

思考2　利用α－（α－β）＝β可得cosβ等于什么？

答　cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinα·sin（α－β）．

思考3　若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos（α－β）等于什么？

答　cos（α－β）＝.

例1　利用两角差余弦公式求cos75°、cos15°的值．

解　cos75°＝cos（120°－45°）＝cos120°·cos45°＋sin120°·sin45°

＝－·＋·

＝.

cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°

＝×＋×＝.

反思与感悟　在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角（如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…）之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

cos15°＝cos（60°－45°），要学会灵活运用．

跟踪训练1　求cos105°＋sin195°的值．

解　cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin（90°＋105°）

＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos（135°－30°）

＝2（cos135°cos30°＋sin135°sin30°）

＝2＝.

例2　已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos（α－β）的值．

解　因为α∈，sinα＝.

由此得cosα＝－＝－＝－，

又因为cosβ＝－，β是第三象限角，

所以sinβ＝－＝－＝－.

所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝－.

反思与感悟　

（1）注意角α、β的象限，也就是符号问题．

（2）三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：

α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β），

α＝[（α＋β）＋（α－β）]，α＝[（β＋α）－（β－α）]等．

跟踪训练2　设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．

解　∵α∈，β∈，

∴α－∈，－β∈，

∴sin＝＝＝，

cos＝＝＝.

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝.

例3　已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，且α、β∈，求β的值．

解　∵α、β∈且cosα＝，cos（α＋β）＝－，

∴sinα＝＝，

sin（α＋β）＝＝.

又∵β＝（α＋β）－α，

∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝×＋×＝.

又∵β∈，∴β＝.

反思与感悟　

（1）本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围（找区间）；③确定角的值．

（2）确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

跟踪训练3　已知cos（α－β）＝－，cos（α＋β）＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．

解　由α－β∈，且cos（α－β）＝－，

得sin（α－β）＝，

由α＋β∈，且cos（α＋β）＝，

得sin（α＋β）＝－.

cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]

＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）

＝×＋×＝－1.

又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈.

∴2β＝π，则β＝.

1．cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　cos78°cos18°＋sin78°sin18°＝cos（78°－18°）＝cos60°＝，故选A.

2．cos165°等于（　　）

A.B.

C．－D．－

答案　C

解析　cos165°＝cos（180°－15°）＝－cos15°＝－cos（45°－30°）＝－（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）＝－.

3.sin60°＋cos60°＝.

答案　

解析　原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°

＝cos（60°－30°）＝cos30°＝.

4．已知sinα＝－，sinβ＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos（α－β）的值．

解　因为sinα＝－，180°<α<270°，所以cosα＝－.

因为sinβ＝，90°<β<180°，所以cosβ＝－.

所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝－＝.

[呈重点、现规律]

1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围（找区间）；③确定角的值．

确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

一、基础过关

1．cos（－15°）的值是（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　cos（－15°）＝cos15°＝cos（45°－30°）

＝（cos30°＋sin30°）＝.

2．化简cos（45°－α）cos（α＋15°）－sin（45°－α）sin（α＋15°）的结果为（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　A

解析　原式＝cos（α－45°）cos（α＋15°）＋sin（α－45°）sin（α＋15°）＝cos[（α－45°）－（α＋15°）]＝cos（－60°）＝.

3．在△ABC中，若sinAsinB

A．等边三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．钝角三角形

答案　D

解析　∵sinAsinB

∴cosAcosB－sinAsinB>0，

∴cos（A＋B）>0即cos（π－C）>0，∴－cosC>0，

∴cosC<0，∵0

∴△ABC为钝角三角形．

4．已知点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则||等于（　　）

A.B.

C.D．1

答案　D

解析　||＝

＝

＝＝＝1.

5．cos15°＋sin15°＝.

答案　

解析　cos15°＋sin15°

＝（cos15°cos45°＋sin15°sin45°）

＝cos（45°－15°）＝cos30°＝.

6．若cos（α－β）＝，则（sinα＋sinβ）2＋（cosα＋cosβ）2＝.

答案　

解析　原式＝2＋2（sinαsinβ＋cosαcosβ）

＝2＋2cos（α－β）＝.

7．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求cos（α－β）的值．

解　由cosα－cosβ＝两边平方得

（cosα－cosβ）2＝cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝.①

由sinα－sinβ＝－两边平方得

（sinα－sinβ）2＝sin2α＋sin2β－2sinαsinβ＝.②

①＋②得

2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝.

∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，

∴cos（α－β）＝.

8．已知tanα＝4，cos（α＋β）＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．

解　∵α∈，tanα＝4，

∴sinα＝，cosα＝.

∵α＋β∈（0，π），cos（α＋β）＝－，

∴sin（α＋β）＝.

∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝×＋×＝.

二、能力提升

9．已知sinα＝，则cos（α－）的值为（　　）

A.B．－

C.D.或－

答案　D

解析　∵sinα＝，∴cosα＝±，

cos（α－）＝cosαcos＋sinαcos＝（cosα＋sinα）．

当cosα＝时，原式＝×（＋）＝.

当cosα＝－时，原式＝×（－＋）＝－.

10．若sinx＋cosx＝cos（x＋φ），则φ的一个可能值为（　　）

A．－B．－

C.D.

答案　A

解析　sinx＋cosx＝cosxcos＋sinxsin＝cos，故φ的一个可能值为－.

11．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α－β的值为．

答案　－

解析　∵α、β∈，

∴cosα＝，sinβ＝，

∵sinα

∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝，

∴α－β＝－.

12．已知：

cos（2α－β）＝－，sin（α－2β）＝，且<α<，0<β<，求cos（α＋β）的值．

解　因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.

因为cos（2α－β）＝－，所以<2α－β<π.

所以sin（2α－β）＝.

因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.

因为sin（α－2β）＝，所以0<α－2β<，

所以cos（α－2β）＝，

所以cos（α＋β）＝cos[（2α－β）－（α－2β）]

＝cos（2α－β）cos（α－2β）＋sin（2α－β）sin（α－2β）

＝－×＋×＝0.

三、探究与拓展

13．已知函数f（x）＝2cos（ωx＋）（其中ω>0，x∈R）的最小正周期为10π.

（1）求ω的值．

（2）设α，β∈[0，]，f（5α＋π）＝－，f（5β－π）＝，求cosαcosβ－sinαsinβ的值．

（3）求f（x）的单调递增区间．

解　

（1）T＝＝10π，所以ω＝.

（2）f（5α＋π）

＝2cos[（5α＋π）＋]

＝2cos（α＋）＝－2sinα＝－，

所以sinα＝，

f（5β－π）

＝2cos[（5β－π）＋]

＝2cosβ＝，

所以cosβ＝，因为α，β∈[0，]

所以cosα＝＝，

sinβ＝＝，

所以cosαcosβ－sinαsinβ

＝×－×＝－.

（3）f（x）＝2cos（＋），

由2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z，

得10kπ－≤x≤10kπ－，k∈Z，

所以单调递增区间为[10kπ－，10kπ－]（k∈Z）．