届北师大版文科数学推理与证明 单元测试.docx
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届北师大版文科数学推理与证明单元测试
自检14:
推理与证明
A组 高考真题集中训练
推理与证明
1.(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析:
由甲说“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.
答案:
D
2.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析:
法一:
取两个球往盒子中放有4种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加1;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多,所以①和②的情况一样多,③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.
①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.
综上,选B.
法二:
若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A、D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C;故选B.
答案:
B
3.(2016·全国甲卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
解析:
法一:
由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;
若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法.
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二:
因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案:
1和3
4.(2016·山东高考)观察下列等式:
-2+
-2=
×1×2;
-2+
-2+
-2+
-2=
×2×3;
-2+
-2+
-2+…+
-2=
×3×4;
-2+
-2+
-2+…+
-2=
×4×5;
……
照此规律,
-2+
-2+
-2+…+
-2=________.
解析:
通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的
是个固定数,
后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,
后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为
×n×(n+1),即
n(n+1).
答案:
n(n+1)
5.(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
解析:
由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市,乙去过A城市或C城市,结合乙的回答可得乙去过A城市.
答案:
A
6.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
①男学生人数多于女学生人数;
②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.
(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________;
(2)该小组人数的最小值为________.
解析:
(1)若教师人数为4,则男学生人数小于8,最大值为7,女学生人数最大时应比男学生人数少1人,所以女学生人数的最大值为7-1=6.
(2)设男学生人数为x(x∈N+),要求该小组人数的最小值,则女学生人数为x-1,教师人数为x-2.又2(x-2)>x,解得x>4,即x=5,该小组人数的最小值为5+4+3=12.
答案:
6 12
B组 高考对接限时训练(十四)
(时间:
35分钟 满分70分)
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分.
1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
解析:
至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
答案:
A
2.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A.大前提:
无限不循环小数是无理数;小前提:
π是无理数;结论:
π是无限不循环小数
B.大前提:
无限不循环小数是无理数;小前提:
π是无限不循环小数;结论:
π是无理数
C.大前提:
π是无限不循环小数;小前提:
无限不循环小数是无理数;结论:
π是无理数
D.大前提:
π是无限不循环小数;小前提:
π是无理数;结论:
无限不循环小数是无理数
解析:
A中小前提不正确,C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理,所以A、C、D都不正确,只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确.
答案:
B
3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:
“设a>b>c,且a+b+c=0,求证
<
a”的索因应是( )
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
解析:
由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证
<
a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2-c2>0,即证a(a-c)+(a+c)·(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)·(a-b)>0.故求证“
<
a”索的因应是(a-c)(a-b)>0,故选C.
答案:
C
4.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一个人说了真话,只有一人偷了珠宝.甲:
我没有偷;乙:
丙是小偷;丙:
丁是小偷;丁:
我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析:
假如甲说了真话,则乙、丙、丁都说了假话,那么丙不是小偷,丁不是小偷,丁偷了珠宝,显然矛盾,故甲说了假话,即甲是小偷,故选A.
答案:
A
5.已知“整数对”按如下规律排列:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第70个“整数对”为( )
A.(3,9) B.(4,8)
C.(3,10) D.(4,9)
解析:
因为1+2+…+11=66,所以第67个“整数对”是(1,12),第68个“整数对”是(2,11),第69个“整数对”是(3,10),第70个“整数对”是(4,9).故选D.
答案:
D
6.有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:
4号或5号选手得第一名;观众乙猜测:
3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:
1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:
4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析:
若甲猜测正确,则4号或5号得第一名,那么乙猜测也正确,与题意不符,故甲猜测错误,即4号和5号均不是第一名.若丙猜测正确,那么乙猜测也正确,与题意不符,故仅有丁猜测正确,所以选D.
答案:
D
7.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49 B.62,63
C.75,76 D.84,85
解析:
由已知图形中座位的排列顺序,可得:
被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号,只有D符合条件.
答案:
D
8.已知结论:
“在正△ABC中,若D是边BC的中点,G是△ABC的重心,则
=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:
“在棱长都相等的四面体A-BCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则
等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:
如图,设正四面体的棱长为1,则易知其高AM=
,此时易知点O即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等积法有4×
×
r=
×
×
⇒r=
,故AO=AM-MO=
-
=
,
故AO∶OM=
∶
=3∶1.
答案:
C
9.(2017·广州模拟)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.
1 2 3 4 5…2013 2014 2015 2016
3 5 7 9…………4027 4029 4031
8 12 16………………8056 8060
20 28……………………16116
………………………………
该表由若干行数字组成,从第二行起,第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( )
A.2017×22013 B.2017×22014
C.2016×22015 D.2016×22014
解析:
当第一行为2个数时,最后一行仅一个数,为3=3×1=3×20;
当第一行为3个数时,最后一行仅一个数,为8=4×2=4×21;
当第一行为4个数时,最后一行仅一个数,为20=5×4=5×22;
当第一行为5个数时,最后一行仅一个数,为48=6×8=6×23;
归纳推理得,当第一行为2016个数时,最后一行仅一个数,为2017×22014.故选B.
答案:
B
10.“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名,下面讲到人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化,在这些医务人员中:
①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是( )
A.男护士 B.女护士
C.男医生 D.女医生
解析:
设女护士人数为a,男护士人数为b,女医生人数为c,男医生人数为d,则有:
(一)a+b≥c+d
(二)d>a
(三)a>b
(四)c≥1
得出:
d>a>b>c≥1,
假设:
c=1,仅有:
a=4,b=3,d=5,c=1时符合条件,
又因为使a、b、c、d中一个数减一符合条件,只有b-1符合,即男护士;假设:
c>1,则没有能满足条件的情况.综上,这位说话的人是男护士,故选A.
答案:
A
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.共20分.
11.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式:
[
]+[
]+[
]=3,
[
]+[
]+[
]+[
]+[
]=10,
[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]=21,
…
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________.
解析:
因为[
]+[
]+[
]=1×3,
[
]+[
]+[
]+[
]+[
]=2×5,
[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]=3×7,
…,
以此类推,第n个等式的等号右边的结果为n(2n+1),即2n2+n.
答案:
2n2+n
12.(2017·临沂一模)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是31,则m的值为________.
解析:
∵23=3+5,是从3开始的2个奇数的和;33=7+9+11,是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和;…;而31之前除了1以外的奇数有15个,又2+3+4+5=14,∴63=31+33+35+37+39+41.故m的值应为6.
答案:
6
13.如图,在单位圆中,用三角形的重心公式G
研究内接正三角形ABC(点A在x轴上),有结论:
cos0+cos
+cos
=0.有位同学,把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角,这时,可以得到的一个结论是__________.
解析:
在把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角的过程中,三个角始终相差
,所以得到cosα+cos
+cos
=0.
答案:
cosα+cos
+cos
=0
14.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形边茭草束数,等价于层数)几何?
”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,……,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为________.
解析:
由题意,第n层茭草束数为
1+2+…+n=
,
∴1+3+6+…+
=680,
即为
=
n(n+1)(n+2)=680,
即有n(n+1)(n+2)=15×16×17,
∴n=15,∴
=120.
答案:
120
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