概率复习题.docx
- 文档编号:26423393
- 上传时间:2023-06-19
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:59.89KB
概率复习题.docx
《概率复习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率复习题.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率复习题
第一章
1.01II袋里装有若干个黑球和若干个白球,每次任取1个球,共抽取两次,设事件A表示第一次取到黑球,事件E表示第二次取到黑球,问:
(1)和事件A+E表示什么?
表示两次抽取中至少有一次取到照球
(2)积事件AB表示什么
表示两次都取到黑球
(3)积事件AE表示什么
表示第一次取到謂球,第二次取到白球
(4)对立事件A表示什么
表示第一次取到白球_
(5)第一次取到白球且第二次取到黑球应里何]表示?
表示为AB
(6)两次都取到白球应如何表示?
表示为AB
(7)两次取到球的颜色不一致应如何表示?
表示为AB+AB
(8)两次取到球的颜色一致应如何表示?
表示为AE+AB
1.03随机安排甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天,求:
(1)恰好有一人在星期一学习的概率;
(2)三人学习日期不相重的概率。
(1)
解:
设事件A表示甲、乙、丙三人恰好有一人在星期一学习。
即甲、乙、丙三人可以在星期一到星期三各学习一天11=33=27,其中一人星期一学习,有3种方法,其余二人安排在其他时间学习有2,种方法,所以m二3*2社12.由此得:
4
答:
恰好有一人在星期一学习的概率是§
(2)
6
27
设事件B表示三人的学习日期都不相同。
即甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天n=33-27,先安排一个在某天学习,有3种方法,其余两人安排在某天学习有2种方法,最后一人在剩余的一天学习有1种方法,所以m=3*2*l=6.由此得:
/、m
P(B)二一=n
2
答:
三人学习日期不相重的概率是§
1・05某地区一年内刮风的概率为4/15,卞雨的概率为2/15,既刮风又下雨的概率1/Q求:
(1)刮风或下雨的概率;
(2)既不刮风又不下雨的概率
解:
设事件A表示刮风,E表示下雨,贝ljP(A)=4/15P(B)=2/15P(AB尸1/10刮风或下雨意味着A事件发生或B事件发生,用和事件A+B表示:
P(A+E)=P(A)+P(E)・P(AB)=4/15+2/15」/10=3/10
既不刮风又不卞雨意味着事件A不发生且事件E不发生,用枳事件表示:
P(AB)=1-P(A+B>1-3/10=7/10
答:
刮风可下雨的概率是3/10,既不刮风又不下雨的概率是7/10o
1.14市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产,甲厂占50%,乙厂占30%,丙厂占20%,甲厂产品的正品率为88%,乙厂产品的正品率为70%,丙厂产品的正品率为75%,求:
(1)从市场上任买1件这种商品是正品的概率;
(2)从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率。
(注:
用全概公式)
解:
设Al={甲厂的商品},A2={乙厂的商品}人3={丙厂商品}
E={任买一件商品是正品}={甲厂的正品+乙厂正品+丙厂正品}
=A1B+A2B+A3B
P(B)=P(A1B)+P(A2E)+P(A3E)(根据互斥爭件概率)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)(乘法公式)
=0.5x0.88+03x0.7+0.2x0.75=0.8
P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=P(A1)P(E|A1)/P(B)=(0.5*0.88)/0.8=0.55
答:
从市场上任买1件这种商品是正品的概率是0.8,从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率是0.55
1.19填空题
(2)投掷两枚均匀硬币,设事件A表示出现两个正面,则概率P(A)=l/2*l/2=l/4
(8)设A,B为两个事件,且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3,若事件A.B相互独立,则概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(E)・P(A)P(B)=0.4+0.3-0.4*0.3=0.58(P34独立事件乘法公式)
1.20选择题
(1)设A,E为两个事件,若W-AoB,则下列笔论中(C)恒成些_
A爭件A,B互斥B事件A,B互斥C事件A,B互斥D爭件A,B互斥
(5)设A,E为两个事件,若概率P(A)=l/3,P(A|E尸2/3,P(®A)=3/5,则概率P(B)=(A)
A1/5B2/5C3/5D4/5
解:
因为P(B|A)=3/5所以P(B|A)=l-3/5=2/5
根据乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B|A)或P(B)P(A|B)得
P(AB)=P(A)P(B|A)=l/3*2/5=2/15
一221
所以P(E)=P(AB)/P(A|E)=讦一了=5
第二章
2.04设离散型随机变量X的概率分布列表如表2-32
X
-1
2
3
P
C
2c
4c
试求:
(1)常数c值;
(2)概率P{X>2}
(1)解:
根据离散型随机变量概率分布的性质:
c+2c+4c=l
所以常数c=l/7
⑵XX2的范围内,离散型随机变量X的取值有2和3两个值,所以概率
P{X>2}=P{X=2}+P{X=3}=2/7+4/7=6/7
2.05某菜市场零售某种蔬菜,进货后第一天售出的概率为0.7,每500g售价为10元;进货后第二天售出的概率为0.2,每500g售价为8元;进货后第三天售出的概率为0.1,每500g售价为4元。
求任取500g蔬菜售价X元的数学期望E(X)与方差D(X).
解:
数学期望就是随机变量X的所有取值与其对应概率的乘积之和。
由题意得:
X
4
8
10
p
0.1
0.2
0.7
所以数学期望
E(X)=4*0.I十8*0.2十10*0.7=9
答:
任取500g蔬菜的平均售价为9元
E(X2)=42*0.1+82*0.2+102*0.7=84.4
所以方差
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=84.4-92=3.4
2.08设离散型随机变量X的概率分布列表如表2-35
X
0
1
2
P
2c
1/c
3/c
试求:
(1)常数c值;
(2)概率P{0 (1)解: 根据离散型随机变量的性质得: 2/c+l/c+3/c=l 所以常数c=6 (2)0 (3)数学期塑E(X)就是随机变量X的取值与其对应的概率的乘枳之和,即 E(X)=0*2/6+l*1/6+2*3/6=7/6 (4)方差D(X)就是平方的期望之和减期塑的平方 E(X2>0*2/6+F*1/6+22*3/6=13/6 d(x)= 2.19填空题 (1)设离散型随机变量X的概率分布列表如2-36 X -1 0 1 2 P c 2c 3c 4c 则常数c=1/10(因为c+2c+3c+4c=l所以c=l/10) (9)设X为随机变量,若数学期塑E(X/2-l)=l,则数学期望E(X)=4(因为1/2E(X)-1=1,解得E(X)=4) (10)设X为随机变量,若方差D(3X-6)=3,则方差D(X)=l/3(因为32D(X)=3,解得D(X尸1/3) 注: (9)、(10)请见书82页期望和方差的性质。 2.20单项选择题 (3)设离散型随机变量X的所有可能取值为」与1,且已知离散弄随机变量X取-1的概率为p(0 AOBlCq-pD(q-p)2 X -1 1 P P q 丘医尸(-1)2*p-rl2*q=p+q=l(根据离散型随机变量的性质2,书52页) (7)已知连续型随机变量X的概率密度为 ■ -,0 〔0,其他 则数学期望E(X)=(D) Al/2B2C3/8D8/3 E(X)=JKM=J冷皿=^X2dx=£畔=£(,_0)=号=| 注: 公式见书76页 (8)设X为随机变量,若数学期望E(X)存在,则数学期望E(E(X))=(E) AOBE(X)CE(X2)D(E(X))2 第三章 3.12设连续型随机变量X服从参数为九(九>0)的指数分布,且己知方差D(X)=|,求: (1)参数入值; (2)概率P{O 解: 由于连续型随机变量X服从参数为九(九>0)的指数分布,且己知方差D(X)=|,根据公式: (1)D(X)=1/M=|所以九=2 (2)由于连续型随机变量X服从参数入=2的指数分布,根据指数分布概率的计算公式,得到概率P{O (3)由于数学期望E(X)=1/入=1/2,所以E(4X-3)=4E(X)-3=4*1/2-3=-1 (4)由于方差D(X)=l/V=l/4,所以D(4X-3)=16E(X)=16*l/4=4(108页公式) 答: 参数入值为2,概率P{O 3.16某所高等学校高等数学统考成绩X分是一个离散型随机变量,近似认为连续型随机变量,它服从正态分布N(58,IO? ),规定试卷成绩达到或超过60分为合格,求: (1)任取1份高等数学试卷成绩为合格的概率; (2)任取3份高等数学试卷中恰好有2份试卷成绩为合格的概率。 解: (1)因为X是服从N(58,102)的一般正态分布,所以均值卩=58,标准差0=10,又因为规定试卷成绩达到或超过60分为合格,得到概率 P{X>60}=1-0o[(6O-58)/10]=1-0o(0.2)=1-0.5793=0.4207 答: 任取1份高等数学试卷成绩为合格的概率是0.4207 (2)任取3份试卷中恰好有2份为合格,即抽取的3份试卷中,合格的份数就是所取的3份试卷中的份数X。 它服从参数为n=3,p=0.4207的二项分布,即离散型随机变量X〜N(3,0.4207)事件X=2表示所取的3份试卷中恰好有2份合格,其发生的概率为P{X=2}=C32p2q=3*(0.4207)2*(l-0.4207)=0.3076(P93页公式)答: 任取3份高等数学试卷中恰好有2份试卷成绩为合格的概率是0.3076 3.19填空腿 (1)若在4次独立重复试验中,事件A都发生的概率与都不发生的概率相等,则事件A在一次试验中发生的概率为0.5 (5)设离散型随机变量X服从参数为入(九>0)的泊松分布,若数学期望E(5X-1)=9,求参数九。 解: 根据数学期望性质: E(5X-1)=5E(X)-1=9所以E(X)=2乂因为离散型随机变量X服从参数为入(九>0)的泊松分布,所以X=E(X)=2答: 参数入值为2. (8)己知连续型随机变量X〜N(O,1),函数值 解: 因为①。 (0.55)=0.7088,根据标准正态分布的计算公式,得到概率 P{-0.55vX<0}=①。 (0)-①。 (-0.55)=①。 (0)-[1- 概率P{-0.55 第四章 4.05某商店一天内有300笔销售收入,每笔销售收入都以元为单位,并将小数部分经四舍五入归为整数,所产生误差的数学期望为0,方差为1/12元,且各笔销售收入相互独立,求在300笔销售收入中误差总和的绝对值不超过5元的概率。 解: 设Xi表示第j笔销售收入(匸1,2,...,300),离散型随机变量Xi,X2,…,X300相互独立,且离散型随机变量 300 x=£五 i=i 由题意得到数学期望和方差 E(Xi)=0,方差D(Xi)=l/12 根据数学期望和方差的性质得: E(X)=0D(X)=300*1/12=25 根据林徳伯格定理,离散型随机变量X近似服从参数为E(X)=0,D(X尸25的正态分布,即 300 X二》斥〜N(0,52) /=1 所以300笔收入误差总和的绝对值不超过5元概率为: P{|X|<5}=P{-5<^^<5}=P{4 (1)-①o(-1)=①o (1)-(1-①o (1))=2® (1)-1=2*0.8413-1=0.6826(7 答: 在300笔销售收入中误差总和的绝对值不超过5元的概率是0.6826 4.06—个系统由100个相互独立的部件组成,在系统运行期间每个部件损坏的概率皆为0.05,而系统只有在损坏部件不多于8个时才能正常运行,求系统正常运行的概率。 解: 设系统部件运行正常用X表示,它服从二项分布。 已知p=0.05,n=100,x=8,X的期望和方差分别为: E(X)=np=100*0.05=5 D(X)=npq=5*(1-0.05)=4.75 根据林徳伯格定理,X服从参数卩=5,cr=4.75的正态分布,所以系统部件正常工作的概率为: P{X<8}=①o(8-5/J4.75)=5(1.38)=0.9162 答: 系统正常运行的概率是0.9162. 4.11己知XbX2,X3,X4,X5是总体X的一个样本,X为样本均值,差别下列统计量是否为总体数学期望E(xyo的无偏估计量: (1)X1+X3-X5 解: 由于数学期望 E(Xi+X3-X5) =E(X1)+E(X3)-E(X5)=E(X)十E(X)-E(X)=E(X) 所以所给统计量Xi+X3-X5是总体数学期望E(X)的无偏估计量 (2)2X2-X4 解: 由于数学期望 E(2X2-X4) =2E(X2)-E(XQ=2E(X)-E(X)=E(X) 所以所给统计量2X2-X4是总体数学期望E(X)的无偏估计量 (3)|Xi+|X 解: 由于数学期望 E(Xi)+|E(X)=|E(X)十|E(X)=E(X) I2一 所以所给统计量扌X1十彳X是总体数学期望E(X)的无偏估计量 解: 由于数学期望 E(|X+jX5) =|E(X)+|E(X5)=IE(X)十|E(X)=2E(X)丰E(X) 2一1 所以所给统计量彳X十扌X5不是总体数学期望E(X)的无偏估计量 4.12己知Xi,X2,X3是总体X的一个样本,X为样本均值,判别统计量2Xi-X与1/3X1十2/3X3是否为总体数学期望E(X)的无偏估计量,若它们都是总体数学期望E(X)的无偏估计量,则评价它们中哪一个有效。 —_ 解: 2Xi-X=E(2Xi)-E(X)=2E(X)-E(X)=E(X) 1/3X1十2/3X3=EQ/3Xi)十E(2/3X3)=1/3E(X)十2/3E(X)=E(X) 计算得知2Xi-文与1/3X1十2/3X3是总体数学期望玖X)的无偏估计量 D(2XrX)=4D(Xj-D(X)=4D(X)-D(X)=3D(X) D(的Xi+%X3)二1/9D(Xi)+4/9D(X3)=1/9D(X)+4/9D(X)=5/9D(X)<3D(X) 所以第X1+肝X3更有效更 第五章 5.04己知某砖瓦厂生产机制砖的抗断强度Xkg/cm2服从正态分布N(卩丄21),从一批机制砖中随机抽取6块,测量其抗断强度分别为 32.6,30.0,31.6,32.0,31.8,31.6 试在检验水平a=0.05下,检验这批机制砖的平均抗断强度卩显著为32.0kg/cm2是否成立。 解: 提出原假设Ho: |i=32.0;备择假设: Hi: 片32.0 己知总体方差己知样本个数〃=6,当原假设成立条件下,构造U变量 X-32 a/L21 由显著性水平a=0・05,查表确定双侧检验临界值①(X)=l-a/2=0.975确定拒绝域为|U|>1.96.计算样本均值,求出统计量U的值与临界值±1.96比较 -161 X二一工兀=—(32.6+30+...+31.6丿=31.6 "I6 U==3L6~32V6=-0.89>-1.96 erVL21 答: 这批机制砖平均抗断强度//=32.0kg/cni2成立. 5.06.S知某地区小麦单位产量Xkg服从正态分布N(p,q2),往年平均单位产量150kg,今年施以某种肥料进行实验,在麦收季节,随机抽取9个地块,测算其单位产量分别为 170,140,160,150,145,155,165,145,165试在检验水平a=0.01下,检验这种 肥料使得小麦的平均单位产量p显著增加是否成立。 W: 提出原假设Ho: 均值2150;Hi: p>150. 由于未知方差选择T检验,己知n=9,检验水平*0.01,当原假设成立条件下,构造T变量 八上如徧=匚列術〜"_1)SS 由显著性水平a=0.01,查对应的T分布表双侧分位数,满足概率P{|T|>X}=2a=0.02 由P{|T|>X}=0.02,求出拒绝域|T|>Z=2.896O计算统计量观测值,若落入拒绝域,则拒绝H。 ,否则接受H。 样本均值文二+£兀・=155丁_%-从-丘 样本方差s2=— T统计量观测賀口 样本标准差s=10.61 统计量观测值落入拒绝域,说明接受H】. 答: 这种肥料使得小麦的平均单位产量卩显著增加不成立。 5.20己知某种商品的销售额Y万元与广告费x万元的一组统计资料列表如表5-11: 广告费X 30 25 20 30 40 40 15 20 50 销售额Y 470 460 420 460 500 520 400 440 560 试求: (1)在检验水平a二0.05下,该种商品的销售额Y万元与广告费x万元是否具有显著线性相关关系; (2)在它们具有显著线性相关关系情况下,该种商品的销售额Y万元对广告费x万元的回归直线方程; (3)广告费x每增加1万元,商品销售额Y平均增加多少; (4)当广告费x为35万元时,商品销售额Y估计为多少。 解: (1)所给样本容量n=9,p=a=0.05,自由度m=9-2=7,贝ij九=0.6664计算样本有关的函数值: 》兀•=30+25+...+50二30+25十・・・50=270 Xx=302+252+...+502=9150 r=l 9 £y_=470+460+...+560=4230 92 Yy.=4702+4602+...+5602=2008100 30x470+25x460+...+50x560=131400 再计算: 91991 A訥犷諸硝沪131400-gx270x4230=4500 得到样本相关系数统计量1-的观测值 =0.9820 由于|r|=0.9820>X=0.6664,所以可以认为该种商品的销售额Y万元与广告费x万元具有显著线性相关关系 (2)所求回归直线方程为 人人/\ y=a+bx 计算x、Y的样本均值 -191-191 x=—“=—x270=30y=-Zy.=-x4230=470 9日9・9”T9 因而得到回归截距与回归系数 A.A ''Ixy“a“4500/Ixy4500 a=y-x—=470-30x=341.43b=——==4.29 lxx1050lxx1050 所以该种商品销售额Y万元对商品广告费x万元的回归直线方程为 A ),=341.43+4.29x A (3)由于回归系数b=4.29 所以广告费X每增加1万元,商品的销售额Y平均增加4.29万元。 (4)在回归直线方程中,变量x用35代入得到 y*35=341.43+4.29x35=491.58 所以当广告费x为35万元时,商品销售额Y估计为491.58万元。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率 复习题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)