第九节随机变量的数字特征正态分布.docx
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第九节随机变量的数字特征正态分布
第九节随机变量的数字特征、正态分布
知识点预习
1.离散型随机变量的数学期望与方差
(1)数学期望
(2)方差
2.二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差
期望
方差
变量X服从二点分布
X~B(n,p)
X服从参数为N,M,
n的超几何分布
3.正态曲线
4.正态曲线的性质
5.正态变量在三个特定区间内取值的概率值
预习练习题
1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.( )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.( )
(5)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( )
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
2、(教材改编)某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为( )
A.0.4B.0.6C.0.7D.0.9
3、设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )
A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a
4、设随机变量X的分布列为P(X=k)=
(k=2,4,6,8,10),则D(X)等于( )
A.5B.8C.10D.16
5、设随机变量X~B(8,p),且D(X)=1.28,则概率p的值是( )
A.0.2 B.0.8
C.0.2或0.8D.0.16
6、已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
A.
B.4
C.-1D.1
7、若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )
A.3×2-2B.2-4
C.3×2-10D.2-8
8、有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=________.
9、某糖厂用自动打包机打包,每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22),一公司从该糖厂进货1500包,则重量在(98.8,101.2)的糖包数量为________包.
11、抛掷两枚骰子,当至少一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中成功次数的均值为________.
例题选讲
例1、某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和均值.
例2、设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:
取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=
,D(η)=
,求a∶b∶c.
例3、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
,求p的值;
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ).
例4、计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:
一年内上游来水与库区降水之和.单位:
亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40 80≤X≤120 X>120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 例5、已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)( ) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74% 例6、(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2. (1)若m=10,求甲袋中红球的个数; (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是 ,求P2的值; (3)设P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数,求ξ的分布列和均值. 第九节课堂练习 X 0 1 P 1、若离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)=( ) A.2 B.2或 C. D.1 2、设X~N(μ1,σ ),Y~N(μ2,σ ),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) 3、已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.) A.4.56% B.13.59%C.27.18%D.31.74% 4、某校在一次月考中约有600人参加考试,数学考试的成绩ξ~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 ,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人. 5、为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据: 处罚金额x(单位: 元) 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时,行人会闯红灯的概率的差是多少? (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于20元的概率; ②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和数学期望. 6、为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定: 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 7、有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行质量检验,结果如下: X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纤维长度(单位: mm),根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量. 8、乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定: 回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为 ,在D上的概率为 ;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为 ,在D上的概率为 .假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与均值. 9、某投资公司在2015年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一: 新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为 和 ; 项目二: 通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 , 和 . 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 10、在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人. 第九节课后作业 1.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( ) A.3×2-2B.2-4 C.3×2-10D.2-8 2.随机变量ξ的分布列如下,其中a、b、c为等差数列,若E(ξ)= ,则D(ξ)的值为( ) ξ -1 0 1 P a b c A. B. C. D. 3.设随机变量X~N(μ,σ2),且X落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等,若P(X>2)=p,则P(0 A. +pB.1-p C.1-2pD. -p 4.一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球,其中白球的个数为X,则X的均值是________. 5.若随机变量X的概率分布密度函数是f(x)= ·e- (x∈R),则E(2X-1)=________. 6.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= ,k=1,2,3,…,n,则P(2<ξ≤5)=________. 7.某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取了如下措施: 对不使用超市塑料购物袋的顾客,超市给予9.6折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购买费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人,其中有12位顾客自己带了购物袋,现从这36人中随机抽取两人. (1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率; (2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ,求ξ的分布列和均值. 8.在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数. 9.现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为: 若小球最终落入A槽,得10张奖票;若落入B槽,得5张奖票;若落入C槽,得重投一次的机会,但投球的总次数不超过3次. (1)求投球一次,小球落入B槽的概率; (2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X,求X的分布列及均值. 10.设随机变量X服从正态分布N( ,σ2),集合A={x|x>X},集合B={x|x> },则A⊆B的概率为( ) A. B. C. D. 11.袋中装有大小完全相同,标号分别为1,2,3,…,9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如: 若取出球的标号为3,4,5,则有两组相邻的标号3,4和4,5,此时ξ的值是2),则随机变量ξ的均值E(ξ)为( ) A. B. C. D. 12.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 请小牛同学计算ξ的均值.尽管“! ”处完全无法看清,且两个“? ”处字迹模糊,但能断定这两个“? ”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________. 13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)在这15天的数据中任取3天的数据,记ξ表示空气质量达到一级的天数,求ξ的分布列. (2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级. 14.气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下: 日最高气温 t(单位: ℃) t≤22 22 ≤28 28 ≤32 t>32 天数 6 12 Y Z 由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位: ℃)对西瓜的销售影响如下表: 日最高气温 t(单位: ℃) t≤22 22 ≤28 28 ≤32 t>32 日销售额X (单位: 千元) 2 5 6 8 (1)求Y,Z的值; (2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的均值和方差; (3)在日最高气温不高于32℃时,求日销售额不低于5千元的概率.
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- 第九节 随机变量的数字特征正态分布 随机变量 数字 特征 正态分布