北师大版初中数学九年级上册《13 正方形的性质与判定》同步练习卷含答案解析.docx
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北师大版初中数学九年级上册《13正方形的性质与判定》同步练习卷含答案解析
北师大新版九年级上学期《1.3正方形的性质与判定》
同步练习卷
一.选择题(共15小题)
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等B.对角线平分一组对角
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
2.我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理,再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形﹣﹣矩形、菱形和正方形.根据它们的特殊性,得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理,这种研究方法主要体现的数学思想是( )
A.转化B.分类讨论
C.数形结合D.由一般到特殊
3.正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A.四个角都是直角B.两组对边分别相等
C.对角线平分对角D.内角和为360°
4.若正方形的周长为12,则这个正方形的对角线长为( )
A.6B.
C.
D.
5.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠DEF的度数是( )
A.25°B.40°C.45°D.50°
6.如图,在正方形ABCD中,E为AB中点,连结DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,连结EF.若AE=1,则EF的值为( )
A.3B.
C.2
D.4
7.下列说法正确的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分且相等
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.正方形的对角线是正方形的对称轴
8.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形:
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形,一定能拼成的图形是( )
A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤
9.如图,点E,点F分别在正方形ABCD的边上,连接AE,AF,若△AEF是等边三角形,则∠BAE的度数为( )
A.15°B.30°C.45°D.60°
10.下列说法中,正确的是( )
A.对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B.对角线相等的四边形一定是矩形
C.对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D.对角线相等的四边形一定是正方形
11.下列判断错误的是( )
A.有一组对边平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C.四个内角都相等的四边形是矩形
D.四条边都相等的四边形是菱形
12.如图,已知矩形ABCD中,下列件能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A.AC=BDB.AB⊥BCC.AD=BCD.AC⊥BD
13.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形
C.对角线垂直且相等的四边形是正方形
D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形
14.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当∠ABC=90°时,它是矩形
B.当AB=BC时,它是菱形
C.当AC⊥BD时,它是菱形
D.当AC=BD时,它是正方形
15.给出下列判断:
①四个角相等的四边形是正方形.②对角线相等的四边形是矩形.③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形.④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.其中不正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二.填空题(共15小题)
16.正方形的对角线长为4
,则它的边长为 .
17.在正方形ABCD中,对角线AC=2cm,那么正方形ABCD的面积为 .
18.如图,将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A′B′C′D′,此时图中阴影部分的面积为 cm2;
19.如图,点G为正方形ABCD内一点,AB=AG,∠AGB=70°,联结DG,那么∠BGD= 度.
20.若正方形的对角线长为
,则该正方形的边长为 .
21.四边形ABCD是正方形,延长BC至E,使CE=AC,连接AE交CD于F,那么∠AFC的度数为 .
22.以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE,则∠AEB= °.
23.正方形的一条对角线和一边所成的角是 度.
24.若正方形的一条对角线长为4,则该正方形的面积为 .
25.菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个条件,使得菱形ABCD成为正方形,这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
26.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可)
27.如图在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你添加一个条件 ,使四边形BECF是正方形.
28.如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,要使ABCD是正方形,则需增加一个条件是 (不加字母和辅助线).
29.当 时,矩形ABCD变为正方形.(填一条件)
30.对角线垂直平分且相等的四边形是什么图形?
.
三.解答题(共8小题)
31.如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点,P不与A、C重合,求证:
∠ABP=∠ADP.
32.已知:
如图,在正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.
(1)求证:
△BEC≌△DFC;
(2)如果BC+DF=9,CF=3,求正方形ABCD的面积.
33.边长为4的正方形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的四等分点,连结EF,FG,GH,HE.
(1)求EH的长;
(2)求证:
∠EHG=90°;
(3)正方形EFGH的面积.
34.如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:
矩形ABCD是正方形.
35.如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,EF∥BC.
(1)求证:
△BDE≌△CDF;
(2)若BC=2AD,求证:
四边形AEDF是正方形.
36.如图所示,在△ABC中,在△ACB=90°,CD平分△ACB,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,求证:
四边形CEDF是正方形.
37.如图所示,点E是矩形ABCD的边AB上任意一点,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,DE=DF.求证:
矩形ABCD是正方形.
38.如图,已知点E,F,G,H分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AE=BF=CG=DH.求证:
四边形EFGH是正方形.
北师大新版九年级上学期《1.3正方形的性质与判定》
同步练习卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等B.对角线平分一组对角
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断.
【解答】解:
矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.
故选:
C.
【点评】本题考查了正方形的性质:
正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
2.我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理,再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形﹣﹣矩形、菱形和正方形.根据它们的特殊性,得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理,这种研究方法主要体现的数学思想是( )
A.转化B.分类讨论
C.数形结合D.由一般到特殊
【分析】依据探究过程并结合选项可作出判断.
【解答】解:
这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊.
故选:
D.
【点评】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质,读懂题意是解题的关键.
3.正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A.四个角都是直角B.两组对边分别相等
C.对角线平分对角D.内角和为360°
【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可.
【解答】解:
正方形的四个角都是直角,菱形的四个角不一定都是直角.
故选:
A.
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质,熟练掌握相关性质是解题的关键.
4.若正方形的周长为12,则这个正方形的对角线长为( )
A.6B.
C.
D.
【分析】利用正方形的性质先得到正方形的边长,然后根据正方形的对角线的长为边长的
倍求解.
【解答】解:
∵正方形的周长为12,
∴正方形的边长为3,
∴这个正方形的对角线长为3
.
故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的性质:
正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
5.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠DEF的度数是( )
A.25°B.40°C.45°D.50°
【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°,进而得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=∠DCE=45°,
在△BCE和△DCE中,
,
∴△BCE≌△DCE(SAS),
∴∠CBE=∠CDE=20°,
∴∠BFC=70°,
∴∠DEF的度数是:
70°﹣20°=50°.
故选:
D.
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质,正确得出△BCE≌△DCE(SAS)是解题关键.
6.如图,在正方形ABCD中,E为AB中点,连结DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,连结EF.若AE=1,则EF的值为( )
A.3B.
C.2
D.4
【分析】根据题意可得AB=2,∠ADE=∠CDF,可证△ADE≌△DCF,可得CF=1,根据勾股定理可得EF的长.
【解答】解:
∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD,∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF且AD=CD,∠A=∠DCF=90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=1
∵E是AB中点
∴AB=BC=2
∴BF=3
在Rt△BEF中,EF=
=
故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定,勾股定理,关键熟练运用这些性质解决问题.
7.下列说法正确的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分且相等
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.正方形的对角线是正方形的对称轴
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理判断即可.
【解答】解:
平行四边形的对角线互相平分,不一定相等,A错误;
矩形的对角线相等且互相平分,B正确;
菱形的对角线互相垂直,不一定相等,C错误;
正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴,D错误;
故选:
B.
【点评】本题考查的是命题的真假判断,掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键.
8.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形:
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形,一定能拼成的图形是( )
A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤
【分析】此题需要动手操作或画图,用两块完全相同的直角三角形可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形.
【解答】解:
根据题意,能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形.故选D.
【点评】本题主要考查了学生的拼图能力、观察能力等.
9.如图,点E,点F分别在正方形ABCD的边上,连接AE,AF,若△AEF是等边三角形,则∠BAE的度数为( )
A.15°B.30°C.45°D.60°
【分析】想办法证明△ABE≌△ADF即可推出∠BAE=∠DAF=15°.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,∠EAF=60°,
∴Rt△ABE≌△RtADF(HL),
∴∠BAE=∠DAF=
(90°﹣60°)=15°,
故选:
A.
【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
10.下列说法中,正确的是( )
A.对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B.对角线相等的四边形一定是矩形
C.对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D.对角线相等的四边形一定是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定.
【解答】解:
A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形,正确,符合题意;
B、对角线相等的四边形一定是矩形,错误,比如等腰梯形的对角线相等,表示平行四边形,不符合题意;
C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形,错误.不符合题意;
D、对角线相等的四边形一定是正方形,错误,不符合题意;
故选:
A.
【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.
11.下列判断错误的是( )
A.有一组对边平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C.四个内角都相等的四边形是矩形
D.四条边都相等的四边形是菱形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定分别对每一项进行分析,即可得出答案.
【解答】解:
A、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形,判断错误,故本选项正确;
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,判断正确,故本选项错误;
C、四个内角都相等的四边形是矩形,判断正确,故本选项错误;
D、四条边都相等的四边形是菱形,判断正确,故本选项错误;
故选:
A.
【点评】此题主要考查了菱形,矩形,正方形,平行四边形的判定,关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系.
12.如图,已知矩形ABCD中,下列件能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A.AC=BDB.AB⊥BCC.AD=BCD.AC⊥BD
【分析】根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可.
【解答】解:
A、当AC=BD时,只能判定四边形ABCD是矩形,不能判定该矩形是正方形,故本选项错误;
B、矩形ABCD的四个角都是直角,则AB⊥BC,不能判定该矩形是正方形,故本选项错误;
C、矩形ABCD的对边AD=BC,不能判定该矩形是正方形,故本选项错误;
D、当矩形ABCD的对角线相互垂直,即AC⊥BD时,该矩形是正方形,故本选项正确;
故选:
D.
【点评】本题考查了正方形的判定.需要掌握矩形与正方形间的区别与联系.
13.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形
C.对角线垂直且相等的四边形是正方形
D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】分别根据矩形、平行四边形和正方形的判定逐项判断即可.
【解答】解:
A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形,故不一定是矩形,故A不正确;
B、一组对边相等一组对边平行的四边形可能是等腰梯形,故B不正确;
C、对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形,也可能是等腰梯形,故C不正确;
D、由条件一组对边平行,一组对角相等,则可求得另一组对角也相等,故可判断其为平行四边形,故D正确;
故选:
D.
【点评】本题主要考查特殊四边形的判定方法,注意判断结论不正确时可利用举反例的方法来判断.
14.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当∠ABC=90°时,它是矩形
B.当AB=BC时,它是菱形
C.当AC⊥BD时,它是菱形
D.当AC=BD时,它是正方形
【分析】根据矩形的判定方法对A、D进行判定;根据菱形的判定方法对B、C进行判定.
【解答】解:
A、当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD为矩形,所以A选项的结论正确;
B、当AB=BC时,平行四边形ABCD为菱形,所以B选项的结论正确;
C、当AC⊥BD时,平行四边形ABCD为菱形,所以C选项的结论正确;
D、当AC=BD时,平行四边形ABCD为矩形,所以D选项的结论不正确.
故选:
D.
【点评】本题考查了正方形的判定:
先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角.也考查了菱形的判定方法.
15.给出下列判断:
①四个角相等的四边形是正方形.②对角线相等的四边形是矩形.③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形.④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.其中不正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【分析】根据平行四边形、菱形和矩形、正方形的判定,对选项一一分析,选择正确答案.
【解答】解:
①四个角相等的四边形是正方形,不正确,故此选项符合题意;
②对角线相等的四边形是矩形,不正确,故此选项符合题意;
③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形,不正确,故此选项符合题意;
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形,此说法是正确的,不符合要求;
故选:
B.
【点评】本题考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法.解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定.
二.填空题(共15小题)
16.正方形的对角线长为4
,则它的边长为 4 .
【分析】根据正方形的性质可以直接得到.
【解答】解:
设正方形的边长为a
则a2+a2=(4
)2
∴a=4
故答案为4
【点评】本题考查了正方形的性质,熟练运用正方形的性质是本题的关键.
17.在正方形ABCD中,对角线AC=2cm,那么正方形ABCD的面积为 2 .
【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积
【解答】解:
正方形面积=
=2
故答案为2
【点评】本题考查了正方形的性质,利用正方形的面积=对角线积的一半解决问题.
18.如图,将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A′B′C′D′,此时图中阴影部分的面积为 6 cm2;
【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A′B′C′D′,可得阴影部分是矩形,且可求阴影部分的长和宽,则面积能求出.
【解答】解:
∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A′B′C′D′
∴平移的性质可得阴影部分是矩形
∵根据题意得:
阴影部分的宽为4﹣2=2cm,长为4﹣1=3cm
∴S阴影部分=2×3=6
故答案为6
【点评】本题考查正方形的性质,平移的性质,关键是理解图形变化的所表达的意义.
19.如图,点G为正方形ABCD内一点,AB=AG,∠AGB=70°,联结DG,那么∠BGD= 135 度.
【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°,由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数,由∠DAG=90°﹣∠BAG可求出∠DAG的度数,由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数,再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数.
【解答】解:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵AB=AG,∠AGB=70°,
∴∠BAG=180°﹣70°﹣70°=40°,
∴∠DAG=90°﹣∠BAG=50°,
∴∠AGD=
(180°﹣∠DAG)=65°,
∴∠BGD=∠AGB+∠AGD=135°.
故答案为:
135.
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键.
20.若正方形的对角线长为
,则该正方形的边长为 1 .
【分析】利用正方形的性质,可得AD=CD,∠D=90°,再利用勾股定理求正方形的边长.
【解答】解:
如图所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠D=90°
设AD=CD=x,在Rt△ADC中,
∵AD2+CD2=AC2
即x2+x2=
2
解得:
x=1,(x=﹣1舍去)
所以该正方形的边长为1
故答案为:
1
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理.通过正方形的性质设出未知数,利用勾股定理得方程是解决本题的关键.
21.四边形ABCD是正方形,延长BC至E,使CE=AC,连接AE交CD于F,那么∠AFC的度数为 112.5° .
【分析】根据正方形的性质就有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC,根据CE=AC就可以求出∠CAE=22.5°,在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=∠ACB=45°.
∵∠ACB=∠CAE+∠AEC,
∴∠CAE+∠AEC=45°.
∵CE=AC,
∴∠CAE=∠AEC,
∴∠CAE=22.5°.
∵∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°,
∴∠AFC=112.5°.
故答案为:
112.5°.
【点评】本题考查了正方形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用.
22.以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE,则∠AEB= 30或150 °.
【分析】解答本题时要考虑两种情况,E点在正方形内和外两种情况,即∠AEB为锐角和钝角两种情况.
【解答】解:
当点E在正方形ABCD外侧时,
∵等边△CDE,
∴∠CDE=60°,
∴∠ADE=150°,
∵AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA=15°,
同理可知∠CEB=15°,
故∠AEB=30°;
当点E在正方形ABCD内侧时,
∵AD=DE=EC=DC=BC,
∵∠DEC=∠EDC=60°,∠ADE=∠BCE=30°,
∴∠DAE=∠DEA=75°,
∴∠EAB=15°,
同理可得∠EBA=15°,
∴∠AEB=150°.
故∠AEB=30°或150°.
故答案为30或150
【点评】本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质,本题要分两种情况,这是解题的关键.
23.正方形的一条对角线和一边所成的角是 45 度.
【分析】正方形的对角线和其中的两边长构成等腰直角三角形,故正方形的一条对角线和一边所成的角为45度.
【解答】解:
∵正方形的对角线和正方形的其中两条边构成等腰直角三角形
∴正方形的一条对角线和一边所成的角是45°故答案为
【点评】本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质.
24.若正方形的一条对角线长为4,则该正方形的面积为 8 .
【分析】由正方形的对角线互相垂直可得:
正方形的面积=两条对角线乘积的一半,即可得出结果.
【解答】解:
如图所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AC=BD=4,
∴正方形ABCD的面积=
AC•BD=
×4×4=8;
故答案为:
8.
【点评】本题考查了正方形的性质和正方形面积的计算方法;
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