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多变量网络控制系统建模与稳定性分析解析
第20卷第14期系
统仿真学报©Vol.20No.14
2008年7月JournalofSystemSimulationJul.,2008
多变量网络控制系统建模与稳定性分析
魏利胜,费敏锐
(上海大学机电工程与自动化学院,上海200072
摘要:
研究了一类多变量网络控制系统的建模和稳定性问题,基于线性时不变对象,推导了该类网络控制系统的时滞连续时间数学模型,并利用李雅普诺夫第二法,分析了系统的渐近稳定性,得到了系统稳定运行的最大允许时延和全时滞稳定的条件。
最后,通过实例仿真分析证实了本文所提理论的有效性,以及稳定判据的可行性。
关键词:
网络控制系统;稳定性;网络延时;最大允许时延;全时滞
中图分类号:
TP273+.5文献标识码:
A文章编号:
1004-731X(200814-3759-04
ModelingandStabilityAnalysisofMulti-variableNetworkedControlSystems
WEILi-sheng,FEIMin-rui
(SchoolofMechatronicsandAutomation,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China
Abstract:
Theissueofmodelingandstabilityformulti-variablenetworkedcontrolsystems(NCSwasresearched.Atime
delaycontinuous-timemathematicmodelofthesystemwasdevelopedbasedonlineartime-invariantplant.Asymptoticalstabilityofthesystemwasanalyzedusingthe2ndLyapunovmethod,andcriteriaofdelay-dependentasymptoticalstabilityforsystemswerederived.Andtheconditionsofalldelayswhichcouldmakesystemstablewerederived.Atlast,simulationexamplesshowtheeffectivenessofthepresentedtheoryandthestabilitycriterion.
Keywords:
networkedcontrolsystems;stability;networkinduceddelay;maximumallowabledelaybound;alldelays
引言自上世纪90年代以来,伴随着控制技术和计算机网络技术的飞速发展,网络与控制逐渐紧密结合,形成了一门新兴的发展方向:
网络控制系统(networkedcontrolsystems,NCS。
其中较为典型案例有现场总线控制、基于工业以太网的控制、基于Internet的远程控制,以及“勇气号”火星车星际遥操作控制。
这种网络化的控制模式相对于传统点对点控制模式,具有成本低、连线少、易于安装维护和扩展、系统的可靠性与灵活性高,可实现资源共享等诸多优点,已经逐渐应用于工业、机器人遥操作、遥医学、航空和航天等领域[1-5]。
但由于网络环境下通信带宽、承载能力和服务能力有限,使得控制回路中不可避免地存在时延等问题,从而导致控制系统的性能下降、甚至不稳定,因此,对网络控制系统时延的分析和综合成为当前控制理论的研究热点之一。
国内外学者对此提出很多解决方法,F.L.Lian等[3]分析了网络时延的构成和特性,研究了某一特定时滞规律下的网络控制系统的稳定问题;G.C.Walsh等[4]针对一个两变量对象,采用非线性控制理论深入研究了控制网络中存在不同延时情况下的系统稳定性;胡维礼等[5]针对网络只存在传感器与控制器节点之间的MIMO网络控制系统,给出了该类系统的模型化
收稿日期:
2007-03-22修回日期:
2007-08-10
基金项目:
高等学校博士学科点专项科研基金(20040280017、上海市重点学科(T0103、上海市科委重点基础研究项目(04JC14038和上海市电站自动化技术重点实验室资助。
作者简介:
魏利胜(1978-,男,安徽巢湖人,博士生,研究方向为智能建模与控制、网络控制;费敏锐(1961-,男,上海市人,教授,博导,研究方向为智能建模与控制、网络控制以及虚拟现实。
描述和稳定性分析结果;张庆灵等[6]研究了一类具有分布时滞、输入受限的多变量网络控制系统的建模和稳定性分析问题,得到了具有较小保守性的时滞上界结果。
然而以上针对具有多变量受控对象网络控制系统控制器部分主要采用状态反馈控制方式,得到的结果比较初步,为此,本文将基于线性时不变对象,建立一类多变量网络控制系统的时滞连续时间数学模型,并利用李雅普诺夫第二法,分析系统渐近稳定运行的最大允许时延和全时滞稳定的条件。
最后给出了仿真算例,以说明该稳定判据的可行性和有效性。
1多变量网络控制系统的建模
多变量网络控制系统结构如图1所示,它包含:
被控对象p
G、控制器cG、r
个传感器、m个执行器以及数据传输网
络。
其中:
(ipyt表示第i个传感器的输出;(i
c
ut表示控制器第i个输出;i
sc
τ表示第i个传感器到控制器回路的网络延时;i
ca
τ表示第i个控制器到执行器回路的网络延时。
图1多变量网络控制系统结构图
考虑到网络控制系统的数学模型在很大程度上依赖于
2008年7月系
统仿真学报Jul.,2008
采样技术、节点驱动方式和其它的一些相关技术,因此为了问题分析的简便而又不失一般性,在具体推导多变量网络控制系统模型之前先做以下假设[7,8]:
(1传感器节点采用时间驱动方式,而控制器和执行器节点均采用事件驱动方式,由于传感器和执行器的数据处理时间相对与网络传输时间和控制器的计算时间来说比较小,因此可以忽略不计。
(2考虑到实际工业过程中控制数据量较小,因此本文网络数据包采用单包传输方式,并在每个数据包上加时间标签,以避免错序现象发生,且暂不考虑数据包丢失。
假设被控对象pG的状态方程如下:
(((((pppppp
ppxtAxtButytCxt=+⎧⎨
=⎩(1其中被控对象的状态向量(pnpxtR∈,(mputR∈,(rpytR∈,则ppnnpAR×∈,pnmpBR×∈,prnpCR×∈。
控制器CG虽然由计算机来实现,但为了研究方便,这里仍然用连续时间状态方程来描述,并假设控制器的计算时间为cτ,则
((((((ccccccccccccx
tAxtButytCxtDutττ=+⎧⎨=−+−⎩(2其中,控制器的状态向量(cncxtR∈,(rcutR∈,(mcytR∈,则ccnncAR×∈,cnrcBR×∈,cmncCR×∈,mrcDR×∈。
由图1可知,控制器CG的输出j
c
y(1,2,,jm="经过
网络传输后作为执行器的输入jpu,这期间的网络延时为
j
caτ。
因此,
((jjj
p
ccautytτ=−1,2,,jm="同理,传感器的测量值jpy(1,2,,jr="经过网络传递
到控制器,作为控制器的输入jcu,
这期间的网络延时为j
scτ。
因此,
((jjj
cpscutytτ=−1,2,,jr="
写成向量的形式:
11
22((((ccaccapmmccaytytutytτττ−⎡⎤
⎢⎥−⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦#;1122((((pscpsccrr
pscytytutytτττ−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣
⎦#将pC、cC、cD分别用行向量的形式表示:
12ppprpCCCC⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦#,12cccmcCCCC⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦#,1
2cc
cmcDDDD⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦#
利用(1式,则(cut可以表示为:
1111
22221((((((((pscppscrpscppscj
cjpsc
jrrrrpscppscytCxtytCxtutExtytCxtτττττττ=−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥===−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑##(3其中列矩阵p
rnjER×∈的第j行为j
p
C,其余行为零向量。
根据(1、(2、(3式,则(put可以表示为:
111111
22222211(((((((((((ccacccaccccacccacccaccccacpmmmmmmccacccaccccacc
ccacytCxtDutytCxtDututytCxtDutCxtCτττττττττττττττττ−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
−−=###11
1
2222
1111
(((((((r
jcjpcasccjrjcjpcascccccacjmmcc
cacrmmj
cjpcasccjmiijiccacijpcasccijDExtDExtxtCxtDExtFxtGxtττττττττττττττττττ=====⎡⎤−−−⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦⎢⎥−−−⎢⎥⎣⎦
=−−+−−−∑∑∑∑##1mr
i=∑∑(4
其中列矩阵cmniFR×∈的第i行为icC,其余行皆为零的向量;
而矩阵pmnijGR×∈的第i行为icjDE,其余行也皆为零的向量。
由(3、(4式,被控对象及控制器的状态方程可以表示为:
111
1
11
1
(((([((]((((((((
pppppm
i
pppiccacimrij
ijpca
sccijm
i
pppiccacimr
ij
p
ij
p
ca
sccijcccccj
cccjpscjx
tAxtButAxtBFxtGxtAxtBFxtBGx
tx
tAxtButAxtBExtτττττττττττ========+=+−−+
−−−=+−−+−−−=+=+−∑∑∑∑∑∑r
∑
取(((pc
pnncxtxtR
xt+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦作为网络控制系统的状态向量,则有:
2131
1
11
(((((((
pcrmmr
jiji
jiijjiijxtx
txtAxtAxtBxtCxtτττ====⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=+−+−+−∑∑∑∑(5
其中:
00
p
cAAA⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦,000jcjABE⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,00
0piiBFB⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦,000pijijBGC⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1jjscττ=,2ii
cacτττ=+,,3ijijcasccττττ=++,
上面推导了分布式多变量网络控制系统控制数据信号在采用多包传输且信号延时各异情况下的连续状态方程,当
控制信号采用单包传输时,即1r
scscscτττ===",
12cacaττ=="m
cacaττ==,从而得出系统的连续时间状态方程如下:
112233(((((x
tAxtAxtAxtAxtτττ=+−+−+−其中:
00
p
cAAA⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦,1000cpABC⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,2000pcBCA⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,3000pcp
BD
CA⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
1scττ=,2cacτττ=+,3casccττττ=++
2008年7月魏利胜,
等:
多变量网络控制系统建模与稳定性分析Jul.,2008
进一步化简可得:
1231122330112233((([((][((][((]([((][((][((]x
tAAAAxtAxtxtAxtxtAxtxtAxtAxtxtAxtxtAxtxtττττττ=++++−−+−−+−−=+−−+
−−+−−(6
当被控对象为时变的,即pG的状态方程如下式所示,
((((((((
ppppppppx
tAtxtBtutytCtxt=+⎧⎨
=⎩控制器采用状态反馈控制方式时,即:
((ccccutKxtτ=−
同理,可以得到系统的状态方程如下:
1111221111(((((((((((p
pppppppppnm
jijjijjpicpcacscjinm
jijjijjpicpcacscjinmjijjijnjpnicpcacsc
jix
tAtxtBtutaxtbkxtaxtbkxtaxtbkxtτττττττττ=======+⎡⎛⎞
+−−−⎢⎜⎟⎝
⎠⎢⎢⎛⎞⎢+−−−⎜⎟=⎢⎝⎠⎢⎢⎛⎞+−−−⎜⎟⎝
⎠⎣∑∑∑∑∑∑#⎤⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎦
当控制系统信号也采用单包传输的情况下,系统的连续时间状态方程为:
(((((ppcpccascx
tAtxtBtKxtτττ=+−−−2多变量网络控制系统稳定性分析[9]
现利用时滞系统稳定性理论对该类多变量网络控制系统进行研究,分别推导出使其稳定的时滞依赖性条件和时滞独立性条件。
其中时滞依赖性条件是指在该条件下,对滞后时间τ在一定范围内系统是稳定的,
而对滞后时间τ超出该范围系统就变得不稳定了,即系统的稳定性依赖于滞后时间;而时滞独立性条件是指在该条件下,对所有的时滞0τ>,系统总是渐近稳定的。
引理:
假设系统((X
tAXt=•是渐进稳定的,即系统所有特征根的实部均为负,则存在两个正数0∆>及0ε>,使得当
0τ≤≤∆时,
(([((]XtAXtBXtXtτ=•+•−−的所有特征根λ均满足关系:
Re(λε≤−
定理1:
若多变量网络控制系统满足如下条件:
1.012NAAAAA=++++"为常数矩阵,并且是渐进稳定的;
2.iA(1,2,,iN="有界,则存在一个正数0∆>,使得当0τ≤<∆时,系统是渐进稳定的。
证明:
因为0A为定常渐进稳定矩阵,所以对任意指定
的正数d,Riccati代数矩阵方程:
002T
APPAdI+=−(7具有唯一的对称正定解P,现取正定二次型(((TvxxtPxt=(8
作为时滞控制系统(6的Lyapunov函数,则有:
22(((((TTaxtxtvxbxtxt≤≤(9
其中20a≥、20b≥分别为P的最小、最大特征根。
(vx沿系统(6对t进行求导,可得:
12
22
2
2
1
(2(([((((((((]2(2((
(
N
TTTiiiTiiN
i
iiv
xdxtxtxtxtAPxtxtPAxtxtdxtPAxtxtxtτττ===−+−−+−−≤−+−−∑∑
这里2•表示向量和矩阵的2l范数,即:
2
222
(;(TTi
iixtxxPAPAPA==(10
之最大特征根。
由于
2
2
222
21
(((((((
iiiiN
j
ijijxtxtx
tAxtAxtxtττττ=−−=≤+
−−∑
此处(1,,iitttiNτ−≤≤=",max(iττ=所以
2
22
21
2
22
21
(2(2(((((
N
iiN
ij
ijijv
xdxtPAxtAxtAxtxtττ==≤−+×
+−−∑∑
(11
注意到(1,2,,iAiN="有界,以及
2
22((((
ijiijixtxtxtxtττ−−≤−+
ijtττ−≤
所以存在两个正数H和M,使得下式成立:
2
022max{,}1,2,,i
iPAH
AAMiN≤≤="(12
并且当((((
(vxvxttσσ≤≤时,有
1222max{(,(}(iijxtxtabxtτ−−≤(13由式(11,并考虑式(12及(13可得:
2
2122
(2(2(21(vxdxtNNHMabxtτ−≤−++(14
取∆为
1(21d
NNHMab
−∆=
+(15
所以0τ≤<∆当时,可知:
(0vx<则定理1得以证明。
定理2:
若定理1的条件成立,则当H、a、b、d满足条件1(10dNHab−−+>(16
时(即网络控制系统的时滞独立性条件,多变量网络控制系统(6的零解是全时滞渐进稳定的。
证明:
由定理1的证明过程,不难推知:
2
22221
(2(2((((N
iiv
xdxtHxtxtxtτ=≤−+−+∑(17当0(((((,vxvxttttσσ≤≤≥时,有
2008年7月系统仿
真学报Jul.,2008
2
21221
2
2122
(2(2(1(2(2(1(
N
iv
xdxtHabxtdxtNHabxt−=−≤−++=−++∑
所以当条件(16成立时,可知:
(0vx<则定理2得证。
3仿真实验验证
考虑一个双输入双输出连续时间线性时不变系统,被控对象的数学模型为:
10.380.20776.7155.6760.58144.29100.6751.0674.2736.6535.8930.0484.2731.3432.104A−−−⎡⎤
⎢⎥−−−⎢⎥=
⎢⎥−⎢⎥
−⎣⎦0
05.67901.1363.1461.136
0B⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥
⎣⎦,10110100C−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用输出反馈极点配置法,可以推导该系统控制器的数学模型:
0.050.60.010.1yu−⎡⎤
=⎢⎥−−⎣⎦
经检验可知,0A为常数矩阵,并且是渐进稳定的;取
0.5d=,求解相应的Riccati方程可得,
0.0512
0.00130.02840.00970.00130.09900.02020.09500.02840.02020.13560.00270.00970.09500.0027
0.2812P−⎡⎤⎢⎥
−⎢
⎥=⎢⎥−⎢⎥
−⎣⎦
0.1916a
0.5676b1.0921H=,16.9356M=
则:
13((21d
msNNHMab
−∆=
=+当系统的初试状态为[0,1,-1,0.5]时,利用Matlab仿真软件得到系统状态运动轨迹如图2-图4所示。
图2无延时情况下系统状态轨迹图
图3延时为1ms的情况下系统状态轨迹图
图4延时为200ms的情况下系统状态轨迹图
从仿真的结果可知,当网络延时为零,即控制系统反馈回路中不存在网络的情况下,利用极点配置法构建的控制器完全能够保证整个控制系统的状态是收敛性,如图2所示;当系统中的网络延时小于3ms的情况下,原有的控制器依然能够保证系统状态的收敛,且系统具有较快的零状态响应速度,如图3所示;而当网络延时过大时,系统状态呈发散趋势,如图4所示,从而验证了本文所推导定理的有效性,为实际工业工程中网络控制系统的设计、传感器、控制器以及执行器的采样周期的确定等都具有较强的指导意义。
4结论
本文在一定的假设条件下,推导了一类多变量网络控制系统的连续时间模型是一个非等差多时滞系统,并在此基础上,利用时滞系统稳定性理论和李雅普诺夫第二法,得到了系统渐近稳定运行的最大允许时延和全时滞稳定的条件。
通过仿真算例可知,本文所得到的稳定判据是可行且有效的,但仍具有一定的保守性,如何降低设计的保守性以应用到实际多主节点网络控制系统中将有待于日后进一步研究。
参考文献:
[1]李洪波,吴凤鸽,孙增圻,孙富春.网络控制系统仿真平台的设计与实现[J].系统仿真学报,2006,18(6:
1700–1704.(LIHong-bo,WUFeng-ge,SUNZeng-qi,SUNFu-chun.DesignandImplementationofSimulationPlatformofNetworkedControlSystem[J].JournalofSystemSimulation,2006,18(6:
1700–1704.[2]ZhangLei,DimitriosHristu-Varsakelis.CommunicationandControlCo-designforNetworkedControlSystems[J].Automatica(S0005-1098,2006,42(6:
953-958.
[3]Feng-LiLian,JMoyne,DTilbury.Networkdes
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