初中数学知识点整理表格版.docx
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初中数学知识点整理表格版
初中数学教材知识梳理•系统复习
第一单元数与式第1讲实数
知识点一:
实数的概念及分类
关键点拨及对应举例
1.实数
(1)按定义分
(2)按正、负性分
「正有理数
f有理数斗0有限小数或〔正实数
负有理数J无限循环小数实数』0
实数〈・1
r正无理数]1负实数
[无理数{,无限不循环小数
〔负无理数J
(1)0既不属于正数,也不属于负数.
(2)无理数的几种常见形式判断:
①含n的式
子;②构造型:
如3.010010001…(每两个1之间多个0)就是一个无限不循环小数;③开方开不尽的数:
如,;④三角函数型:
如
sin60°,tan25°.
(3)失分点警示:
开得尽方的含根号的数属于有理数,如=2,=-3,它们都属于有理数.
知识点二:
实数的相关概念
2.数轴
(1)三要素:
原点、正方向、单位长度
(2)特征:
实数与数轴上的点对应;数轴右边的点表示
的数总比左边的点表示的数大
例:
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
(1)概念:
只有符号不同的两个数
(2)代数意义:
a、b互为相反数a+b=0
(3)几何意义:
数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
a的相反数为-a,特别的0的绝对值是0.例:
3的相反数是卫,-1的相反数是J.
4.绝对值
(1)几何意义:
数轴上表示的点到原点的距离
(2)运算性质:
|a|=2(a>0);|a-b|=fa-b(a>b)
.-a(a<0).1b-a(a
(3)非负性:
|a|>0,若|a|+b2=0,则a=b=0.
(1)若|x|=a(a>0),贝Ux=±a.
(2)对绝对值等于它本身的数是非负数.例:
5的绝对值是5卜2|=?
;绝对值等于
3的是土3;|1-|=-1.
5.倒数
(1)概念:
乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a丰0)
(2)代数意义:
ab=1a,b互为倒数
例:
-2的倒数是-1/2;倒数等于它本身的数有土1.
知识点三:
科学记数法、近似数
6.科学记
数法
(1)形式:
ax10n,其中1w|a|v10,n为整数
(2)确定n的方法:
对于数位较多的大数,n等于原数的整数为减去1对于小数,与成ax10n,K|a|<10,n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的一个)
例:
21000用科学记数法表示为2.1x104;
19万用科学记数法表示为1.9x105;
0.0007用科学记数法表示为7X10-4.
7.近似数
(1)定义:
一个与实际数值很接近的数
(2)精确度:
由四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
例:
3.14159精确到百分位是3.14;精确
到0.001是3.142.
知识点四:
实数的大小比较
8.实数的
大小比较
(1)数轴比较法:
数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大.
(2)性质比较法:
正数〉0>负数;两个负数比较大小,绝对值
大的反而小.
(3)作差比较法:
a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a (4)平方法: a>b>0a2>b2. 例: 把1,-2,0,-2.3按从大到小的顺序排 列结果为1>0>-2>-2.3. 知识点五: 实数的运算 9. 常见运算 乘方 几个相冋因数的积;负数的偶(奇)次方为正(负) 例: (1)计算: 1-2-6=_-7__;(-2)2=4; 3-1=1/3;n0=1; (2)64的平方根是土8,算术平方根是 8,立方根是4. 失分点警示: 类似“的算术平方根”计算错误.例: 相互对比填一填: 16的算术平方根是4,的算术平方根是 2. 零次幕 a0=_1_(a丰0) 负指数幕 a-p=1/ap(0,p为整数) 平方根、算术平方根 若x2=a(a>0),则x=苗二其中Ja是算术平方根. 立方根 若x3=a,贝Hx=3,a 10.混合运算 先乘方、开方,再乘除,最后加减;冋级运算,从左向右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号一次进行•计算时,可以结合运算律,使问题简单化 第2讲整式与因式分解 知识点一: 代数式及相关概念 关键点拨及对应举例 1.代数 式 (1)代数式: 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式. (2)求代数式的值: 用具体数值代替代数式中的字母,计算得岀的结果,叫做求代数式的值. 求代数式的值常运用整体代入法计算. 例: a—b=3,贝U3b—3a=—9. 2.整式 (单项式、多项式) (1)单项式: 表示数字与字母积的代数式,单独的一个数或一个字母也叫单项 式.其中的数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做单项式的 次数. (2)多项式: 几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项,次数最高的项的次数叫做多项式的次数. (3)整式: 单项式和多项式统称为整式. (4)同类项: 所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有 的常数项都是同类项. 例: (1)下列式子: ①-2a2;②3a-5b;③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y;⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦;多项式是②⑥;同类项是①和®. (2)多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式, 常数项是_1. 知识点二: 整式的运算 3.整式 的加减运算 (1)合并同类项法则: 同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指 数不变. (2)去括号法则: 若括号外是“+”,则括号里的各项都不变号;若括号外是“―”, 则括号里的各项都变号. (3)整式的加减运算法则: 先去括号,再合并同类项. 失分警示: 去括号时,如果括号外面是符号,一定要变号,且与括号内每一项相乘,不要有漏项. 例: —2(3a—2b—1)=—6a+4b+2. 4.幕运 算法则 (1)同底数幂的乘法: aman=am+n; (2)幂的乘方: (am)n=amn; (3)积的乘方: (ab)n=型止; (4)同底数幂的除法: am^an=am—n(a工0.) 其中m,n都在整数 (1)计算时,注意观察,善于运用它们的逆运算解决问题.例: 已知2m+n=2,则3X 2mX2n=6. (2)在解决幂的运算时,有时需要先化成同底数侧: 2m-4m=23m. 5.整式 的乘除运算 (1)单项式x单项式: ①系数和同底数幂分别相乘;②只有一个字母的照抄. (2)单项式>多项式: m(a+b)=ma+mb. (3)多项式x多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (4)单项式单项式: 将系数、同底数幂分别相除. (5)多项式单项式: ①多项式的每一项除以单项式;②商相加. 失分警示: 计算多项式乘以多项式时,注意不能漏乘,不能丢项,不能出现变号错. 例: (2a—1)(b+2)=2ab+4a—b—2. (6) 乘法 公式 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的 运用 完全平方公式: (a±b)2=a2±ab+b2.变形公式: a2+b2=(a±b)2? 2ab,ab=【(a+b)2-(a2+b2)】/2 6.混合 运算 注意计算顺序,应先算乘除,后算加减;若为化简求值,一般步骤为: 化简、代入替换、计算. 例: (a-1)2-(a+3)(a-3)-10=-2a. 知识点五: 因式分解 7.因式 分解 (1)定义: 把一个多项式化成几个整式的积的形式. (2)常用方法: ①提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c). ②公式法: a2-b2=(a+b)(a-b);a2d2ab+b2=(a±b)2. (3)一般步骤: ①若有公因式,必先提公因式;②提公因式后,看是否能用公式 法分解;③检查各因式能否继续分解. (1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止,相同因式写成幂的形式; (2)因式分解与整式的乘法互为逆运算. 第3讲分式 知识点一: 分式的相关概念 关键点拨及对应举例 1.分式的 A (1)分式: 形如一 (A,B是整式,且B中含有字母,BM0) 在判断某个式子是否为分式时,应注意: (1)判 断化简之间的式子; (2)n是常数,不是字母. B 例: 下列分式 : ①: ②: ③: ④2x2,其中是分 概念 的式子. X21 (2)最简分式: 分子和分母没有公因式的分式 式是②③④; 最简分式③. (1)无意义的条件: 当 A B=0时,分式一无意乂; B 失分点警示: 在解决分式的值为0,求值 2.分式的 A,、 的问题时, 定要注意所求得的值满足分 (2)有意义的条件: 当 B工0时,分式一有意义; B 母不为0. 意义 A 2 例: 当X 1 1的值为0时,则X—-1. (3)值为零的条件: 当 A=0,BM0时,分式一=0. -B X 1 A (1)基本性质: B ACAC (CM0) BCBC 由分式的基本性质可将分式进行化简: 3.基本性 (2)由基本性质可推理出变号法则为: X21=X1 例: 化简: 2亠■ x22x1X1 质 AAA AAA BBB ;. BBB 知识点三: 分式的运算 (1)约分(可化简分式): 把分式的分子和分母中的公因式约去, 分式通分的关键步骤是找出分式的最 血ama 简公分母,然后根据分式的性质通分. 4.分式的 即; bmb 11 2和的最间公分母 XXX1 约分和 (2)通分(可化为同分母 ): 根据分式的基本性质,把异分母的分 例: 分式 X 通分 式化为同分母的分式, racacbd 即_————— 亠2 1. bdbe'bc 为XX 5.分式的 (1)同分母: 分母不变, 分子相加减.即a£=严; ccc 例: — X1 X—1.1X 加减法 acad+hc ⑵异分母: 先通分,变为同分母的分式,再加减.即弋営. 1 12a 2 a1 a1a1 6.分式的 乘除法 ⑴乘法: b^=bCd;⑵除法: a-=竺; bdbdbdbc anan ⑶乘方: —=-n(n为正整数). bb 捌.ab1,21 例0: 一=一;一=2y; 2ba2xxy 33=27 7.分式的 混合运算 (1)仅含有乘除运算: 首先观察分子、分母能否分解因式,若能,就要先分解后约分. (2)含有括号的运算: 注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方, 再算乘除,最后算加减,若有括号,先算括号里面的. 失分点警示: 分式化简求值问题,要先将分式化简到最简分式或整式的形式,再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入. 第4讲二次根式 知识点一: 二次根式 关键点拨及对应举例 (1)二次根式的概念: 形如Qa(a>0的式子. 失分点警示: 当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时,注意确保各部分都 (2)二次根式有意义的条件: 被开方数大于或等于0. 有意义,即分母不为0,被开方数大于等于0 1.有关概念 (3)最简二次根式: ①被开方数的因数是整数,因式是整 式(分母中不含根号): ②被开方数中不含能开得尽方 等.例: 若代数式有意义,则x的取值 Vx1 的因数或因式 范围是x>1. 禾U用二次根式的双重非负性解题: (1)双重非负性: (1)值非负: 当多个非负数的和为0时,可得 ①被开方数是非负数,即a>0 各个非负数均为o.如Ja1+Jb1=0 ②二次根式的值是非负数,即ja>o. 则a=-1,b=1. (2)被开方数非负: 当互为相反数的两个数同 2.二次根式 注意: 初中阶段学过的非负数有: 绝对值、偶幕、算式平方根、二次根式. 时出现在二次根式的被开方数下时,可得这一对相反数的数均为0.如已知 的性质 b=Ja1^1a,则a=1,b=0. (2)两个重要性质: 例: 计算: ①(W)2=a(a>0)②寸孑=回=aa0; aa0 J3.142=314J22=2; ⑶积的算术平方根: 需b=石•Jb(a>0b>0) (4)商的算术平方根: £予(a>Qb>0). i—[~4J42 耳;=2;七T9E 知识点二: 二次根式的运算 3二次根式的 加减法 先将各根式化为最简二次根式,再合并被开方数相冋的二次根式. 例: 计算: J8卮=3l~2_. 4二次根式的 乘除法 (1)乘法: 嘉.\? b= 注意: 将运算结果化为最简二次根式. 例: 计算: 忑£=1;4. (2)除法: (a>0,b>0). 5•二次根式的 混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相冋,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号) 运算时,注意观察,有时运用乘法公式会使运算简便• 例: 计算: (J2+i)(-i)=1. 第二单元方程(组)与不等式(组) 第5讲一次方程(组) 知识点一: 方程及其相关概念 关键点拨及对应举例 1.等式的基 本性质 (1)性质1等式两边加或减冋一个数或冋一个整式,所得结果 仍是等式.即右a-b,贝Uaic-b±j. (2)性质2: 等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0), 所得结果仍是等式.即右a-b,贝Uac-bc,一_(cm0.) cc ⑶性质3: (对称性)若a=b,则b=a. ⑷性质4: (传递性)若a=b,b=c,则a=c. 失分点警示: 在等式的两边同除以一个数时,这个数必须不为0. 例: 判断正误. (1)若a=b,则a/c=b/c.(x) (2)若a/c=b/c,则a=b.(V) 2.关于方程 的基本概念 (1)一兀一次方程: 只含有二个未知数,并且未知数的次数是1, 且等式两边都是整式的方程. (2)二兀一次方程: 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次 数都是1的整式方程. (3)二兀一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程. (4)二元一次方程组的解: 二元一次方程组的两个方程的公共解. 在运用一元一次方程的定义解题时, 注意一次项系数不等于0. 例: 若(a-2)x|a11a0是关于x的一 兀一次方程,则a的值为_p. 知识点二: 解一兀一次方程和二兀一次方程组 3.解一元一 次方程的步骤 (1)去分母: 方程两边冋乘分母的最小公倍数,不要漏乘常数项; (2)去括号: 括号外若为负号,去括号后括号内各项均要变号; (3)移项: 移项要变号; ⑷合并同类项: 把方程化成ax=-b(am0); (5)系数化为1: 方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a. 失分点警示: 方程去分母时,应该将分子用括号括起来,然后再去括号,防止出现变号错误. 4.二元一次 方程组的解法 思路: 消兀,将二兀一次方程转化为一兀一次方程 已知方程组,求相关代数式的值时,需注意观察,有时不需解出方程组,利用整体思想解决解方程组.例: 已知2xy9则x-y的值为x-y=_4. x2y3 方法: (1)代入消元法: 从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把 “它”代入另一个方程,进行求解; (2)加减消元法: 把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法. 知识点三: 一次方程(组)的实际应用 5.列方程(组) 解应用题的 —.KixlrHTW ⑴审题: 审清题意,分清题中的已知量、未知量; (2)设未知数; (3)列方程(组): 找出等量关系,列方程(组); ⑷解方程(组); (5)检验: 检验所解答案是否正确或是否满足符合题意; (6)作答: 规范作答,注意单位名称. (1)设未知数时,一般求什么设什么,但 有时为了方便,也可间接设未知数.如题目中涉及到比值,可以设每一份为X. (2)列方程(组)时,注意抓住题目中的关键词语,如共是、等于、大(多)多少、小(少)多少、几倍、几分之几等. 般步骤 6.常见题型 及关系式 (1)利润问题: 售价=标价X折扣,销售额=售价x销量,禾叶润=售价-进价,利润率=利润/进价x100%. (2)禾禾息问题: 利息=本金X利率X期数,本息和=本金+利息. (3)工程问题: 工作量=工作效率x工作时间. (4)行程问题: 路程=速度x时间.①相遇问题: 全路程=甲走的路程+乙走的路程; ②追及问题: a.冋地不冋时出发: 前者走的路程=追者走的路程;b.冋时不冋地出发: 前者走的路程+两地间距离=追者走的路程. 第6讲一元二次方程 知识点一: 一元 匸二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 1.一元二 (1)定义: 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程. ⑵一般形式: ax2+bx+c=0(a丰0)其中ax2、bx、c分别叫做二次项、 例: 方程axa20是关于x的 次方程的相关概念 一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项. 一元二次方程,则方程的根为—1. (1)直接开平方法: 形如(x+m)2=n(n》0)的方程,可直接开平方求解. 解一兀二次方程时,注意观 (2)因式分解法: 可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程,用因式分解法求解. 察,先特殊后一般,即先考 2.一元二 (3)公式法•一元一次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=b,b4ac 虑能否用直接开平方法和因 次方程 的解法 2a 式分解法,不能用这两种方法 (b2-4ac>0). 解时,再用公式法. 例: 把方程x2+6x+3=0变形为 (4)配方法: 当元二次方程的二次项糸数为1,次项糸数为偶数时, 也可以考虑用配方法. (x+h)2=k的形式后,h=3,k=£. 知识点二: - 兀二次方程根的判别式及根与系数的关系 2 (1)当△=b4ac>0时,原方程有两个不相等的实数根. 2 例: 方程X2x10的判别式 3.根的判 等于8,故该方程有两个不相等的 2 ⑵当△=b4ac=0时,原方程有两个相等的实数根. 实数根;方程x22x30的判 别式 ⑶当△=b4ac<0时,原方程没有实数根. 别式等于-8,故该方程没有实数 根. 与一元二次方程两根相关代数式的 (1)基本关系: 右关于x的兀—次方程ax+bx+c=0(aM0)有两个根分 别为X1、X2,则x1+x2=-b/a,x1X2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件 常见变形: 4.根与系 是△》0. (X1+1)(X2+1)=X1X2+(X1+X2)+1,X12+X22 数的关 (2)解题策略: 已知一兀二次方程,求关于方程两根的代数式的值时, =(X1+X2)2-2X1X2,11X1X2等. X1X2X1X2 系 先把所求代数式变形为含有X1+X2、X1X2的式子,再运用根与系数的 失分点警示 关系求解. 在运用根与系数关系解题时,注意前提条件时△=b2-4ac>0. 知识点二: 一兀一次方程的应用 4.列一元 二次方 程解应用题 (1)解题步骤: ①审题;②设未知数;③列一兀二次方程;④解一兀二次方程;⑤检验根是否有意义;⑥作答. 运用一兀二次方程解决实际问题时,方程一般有两个实数根,则必须要根据题意检验根是否有意义• (2)应用模型: 一兀二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用• 1平均增长率(降低率)问题: 公式: b=a(1±x)n,a表示基数,x表示 平均增长率(降低率),n表示变化的次数,b表示变化n次后的量; 2利润问题: 利润=售价-成本;利润率=利润/成本x100%; 3传播、比赛问题: 4面积问题: a•直接利用相应图形的面积公式列方程;b•将不规则图形通 过割补或平移形成规则图形,运用面积之间的关系列方程 第7讲分式方程 知识点一: 分式方程及其解法 关键点拨及对应举例 1•定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 例: 在下列方程中,①x210;② xy4: ③—x,其中是分式方程的 x1 是③. 2.解分式方程 方程两边同乘以 最简公分母亠,.,、、.一基本思路: 分式方程►整式方程 约去分母 例: 将方程122转化为整式方程可 x11x 得: 1—2=2(x—1). 解法步骤: (1)去分母,将分式方程化为整式方程; (2)解所得的整式方程; (3)检验: 把所求得的x的值代入最简公分母中,若最 简公分母为0,则应舍去. 3•增根 使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例: 若分式方程—0有增根,则增根为 x1 1. 知识点二: 分式方程的应用 4.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题;⑵设未知数;(3)列分式方程;⑷解分式方程;(5)检验: (6)作答. 在检验这一步中,既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解,又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义. 第8讲一元一次不等式(组) 知识点一: 不等式及其基本性质 关键点拨及对应举例 1.不等式 的相关 概念 (1)不等式: 用不等号(>,》,V,W或工)表示不等关系的式子. (2)不等式的解: 使不等式成立的未知数的值 (3)不等式的解集: 使不等式成立的未知数的取值范围 例: a与b的差不大于1用不 等式表示为a—bw1 2.不等式的基本性质 性质1: 若a>b,则a±c>bic; 性质2: 若a>b,c>0,贝Uac>bc,—>^; cc ab性质3: 若a
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