极点配置问题.ppt
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10.2极点配置问题极点配置问题1概概述述q本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的定常连续系统的极点配置(极点配置(Poleassignment),也,也就是使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。
就是使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。
对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,也对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,也有类似的方法和结论。
有类似的方法和结论。
2q对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由很大程度上是由闭环系统的极点位置闭环系统的极点位置所决定的。
所决定的。
因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。
是可以有效地改善系统的性能品质指标的。
这样的控制系统设计方法称为这样的控制系统设计方法称为极点配置极点配置。
在经典控制理论的系统综合中,无论采用在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法频率域法还是还是根轨迹法根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,能指标,本质上均属于极点配置方法本质上均属于极点配置方法。
本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。
先选择的一组期望极点上。
3q由于线性定常系统的特征多项式为实系由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题对期望的极点的选择应注意下列问题:
1)对于对于n阶系统,可以而且必须给出阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。
性能品质指标等的要求。
q基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为点配置问题可描述为:
给定线性定常连续系统给定线性定常连续系统确定反馈控制律确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭个期望的闭环极点也就是成立环极点也就是成立5q下面分别讨论下面分别讨论:
状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法*输出反馈极点配置输出反馈极点配置*610.2.1状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理q在进行极点配置时,存在如下问题在进行极点配置时,存在如下问题:
被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则系统是可以进行极点配置的。
则系统是可以进行极点配置的。
下面的定理就回答了该问题。
下面的定理就回答了该问题。
q定理定理2-1对线性定常系统对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态利用线性状态反馈阵反馈阵K,能使闭环系统,能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任的极点任意配置的意配置的充分必要条件充分必要条件为为被控系统被控系统(A,B,C)是状是状态完全可控的态完全可控的。
q证明证明
(1)先证充分性先证充分性(条件条件结论结论)。
即证明,若被控系统即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全可控,则状态反状态完全可控,则状态反馈闭环系统馈闭环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
必能任意配置极点。
由于由于线性变换和状态反馈都不改变状态可控性线性变换和状态反馈都不改变状态可控性,而开环,而开环被控系统被控系统(A,B,C)状态可控,状态可控,因此一定存在线性变换因此一定存在线性变换能将其变换成可控标准型。
能将其变换成可控标准型。
不失一般性,下面仅对可控标准型证明充分性。
不失一般性,下面仅对可控标准型证明充分性。
下面仅对下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对系统进行充分性的证明,对MIMO系统可系统可完全类似于完全类似于SISO的情况完成证明过程。
的情况完成证明过程。
证明过程的思路为证明过程的思路为:
分别求出开分别求出开环与闭环系环与闭环系统的传递函统的传递函数阵数阵比较两传比较两传递函数阵递函数阵的特征多的特征多项式项式建立极点建立极点可任意配可任意配置的条件置的条件证明过程证明过程:
如果如果SISO被控系统被控系统(A,B,C)为可控标准型,则其各矩为可控标准型,则其各矩阵分别为阵分别为且其传递函数为且其传递函数为若若SISO被控系统被控系统(A,B,C)的状态反馈阵的状态反馈阵K为为K=knk2k1则闭环系统则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵的系统矩阵A-BK为为相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为分别为如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+an*那么那么,只需令只需令fK(s)=f*(s),即取即取a1+k1=a1*an+kn=an*则可将状态反馈闭环系统则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在的极点配置在特征多项式特征多项式f*(s)所规定的极点上。
所规定的极点上。
即证明了充分性。
即证明了充分性。
同时,还可得到相应的状态反馈阵为同时,还可得到相应的状态反馈阵为K=knk2k1其中其中
(2)再证必要性再证必要性(结论结论条件条件)。
即证明,若被控系统即证明,若被控系统(A,B,C)可进行任意极点配置,可进行任意极点配置,则该系统是状态完全可控的。
则该系统是状态完全可控的。
采用采用反证法反证法。
即证明,即证明,假设系统是状态不完全可控的,但可以进假设系统是状态不完全可控的,但可以进行任意的极点配置。
行任意的极点配置。
证明过程的思路为证明过程的思路为:
对状态不完对状态不完全可控的开全可控的开环系统进行环系统进行可控分解可控分解对可控分对可控分解后的系解后的系统进行状统进行状态反馈态反馈其完全不可其完全不可控子系统不控子系统不能进行极点能进行极点配置配置与假设与假设矛盾矛盾,必要性必要性得证得证证明过程证明过程:
其中状态变量其中状态变量是完全可控的是完全可控的;状态变量状态变量是完全不可控的。
是完全不可控的。
对状态反馈闭环系统对状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)作同样的线性变换作同样的线性变换,有有其中其中被控系统被控系统(A,B,C)状态不完全可控状态不完全可控,则一定存在线性变则一定存在线性变换换x=Pc,对其可进行可控分解对其可进行可控分解,得到如下状态空间模型得到如下状态空间模型:
由上式可知,状态完全不可控子系统的系统矩阵由上式可知,状态完全不可控子系统的系统矩阵的特的特征值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。
征值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。
虽然状态完全可控子系统的虽然状态完全可控子系统的的特征值可以任意配的特征值可以任意配置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵的的特征值个数。
特征值个数。
因此因此,系统系统的所有极点并不都能任意配置。
的所有极点并不都能任意配置。
由于线性变换不改变系统特征值,因此系统由于线性变换不改变系统特征值,因此系统(A,B,C)的的极点并不是都能任意配置的。
极点并不是都能任意配置的。
这与前面假设矛盾,即证明了:
这与前面假设矛盾,即证明了:
被控系统被控系统可任意配置可任意配置极点,则系统一定是状态完全可控的极点,则系统一定是状态完全可控的。
故必要性得证。
故必要性得证。
q由可控标准型的状态反馈闭环系统的传递函数由可控标准型的状态反馈闭环系统的传递函数状态反馈虽然可以改变系统的极点,但状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点不能改变系统的零点。
当被控系统是当被控系统是状态完全可控状态完全可控时,其极点可进行任意配置。
时,其极点可进行任意配置。
因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时,则闭环系统的传递函数中存在重合时,则闭环系统的传递函数中存在零极点相消零极点相消现象。
现象。
16根据零极点相消定理可知,闭环系统根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不可控或状或状态不可控或状态不可观态不可观。
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全可控由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全可控特性,故该闭环系统只能是状态不完全可观的。
特性,故该闭环系统只能是状态不完全可观的。
这说明了这说明了状态反馈可能改变系统的状态可观性状态反馈可能改变系统的状态可观性。
从以上说明亦可得知,若从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反系统没有零点,则状态反馈不改变系统的状态可观性。
馈不改变系统的状态可观性。
1710.2.2SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法q上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。
对的一种方法。
对此,有如下讨论此,有如下讨论:
1.由上述定理的充分性证明中可知,对于由上述定理的充分性证明中可知,对于SISO线性定常连线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为可控标准可控标准型型,则相应的,则相应的反馈矩阵反馈矩阵为为K=knk1=an*-ana1*-a1其中其中ai和和ai*(i=1,2,n)分别为开环系统特征多项式分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。
和所期望的闭环系统特征多项式的系数。
对可控标准型对可控标准型进行极点配置,求得相应的状态反馈阵进行极点配置,求得相应的状态反馈阵因此,原系统因此,原系统的相应状态反馈阵的相应状态反馈阵K为为2.若若SISO被控系统的状态空间模型不为可控标准型,则由被控系统的状态空间模型不为可控标准型,则由9.9节讨论的求可控标准型的方法节讨论的求可控标准型的方法,利用线性变换利用线性变换x=P,将系统将系统(A,B)变换成可控标准型变换成可控标准型,即有即有q下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。
的方法。
q例例2-1设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为求状态反馈阵求状态反馈阵K使闭环系统的极点为使闭环系统的极点为-1j2。
q解解:
1.判断系统的可控性判断系统的可控性开环系统的可控性矩阵为开环系统的可控性矩阵为则开环系统为状态可控,可以进行任意极点配置。
则开环系统为状态可控,可以进行任意极点配置。
2.求可控标准型求可控标准型3.求反馈律求反馈律因此因此开环特征多项式开环特征多项式f(s)=s2-2s-5而由期望的闭环极点而由期望的闭环极点-1j2所确定的所确定的期望闭环特征多项式期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5则得状态反馈阵则得状态反馈阵K为为通过验算可知,该闭环系统的极点为通过验算可知,该闭环系统的极点为-1j2,达到设计要求。
,达到设计要求。
则在反馈律则在反馈律u=-Kx+v作用下的闭环系统的状态方程为作用下的闭环系统的状态方程为q例例2-2(P252例例10-1,掌握掌握)已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵试选
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