考研数学三真题及答案解析.docx
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考研数学三真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题
一、选择题:
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 设是数列,下列命题中不正确的是:
(A) 若,则 (B) 若, 则
(C) 若,则 (D) 若,则
(2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为:
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 ,函数在上连续,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 下列级数中发散的是:
(A) (B) (C) (D)
(5) 设矩阵,.若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为:
(A) (B) (C) (D)
(6) 设二次型在正交变换为下的标准形为 ,其中
,若 ,则在正交变换下的标准形为:
(A) (B) (C)(D)
(7) 若为任意两个随机事件,则:
(A)(B)
(C) (D)
(8) 设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则
(A) (B)(C)(D)
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
(10) 设函数连续,若则
(11) 若函数由方程确定,则
(12) 设函数是微分方程的解,且在处取得极值3,则
(13) 设阶矩阵的特征值为,其中E为阶单位矩阵,则行列式
(14) 设二维随机变量服从正态分布,则
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数,,若与在是等价无穷小,求的值.
(16) (本题满分10 分)
计算二重积分,其中
(17) (本题满分10分)
为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设为该商品的需求量,为价格,MC为边际成本,为需求弹性.
(I) 证明定价模型为;
(II) 若该商品的成本函数为,需求函数为,试由(I)中的定价模型确定此商品的价格.
(18) (本题满分10分)
设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式.
(19) (本题满分 10分)
(I) 设函数可导,利用导数定义证明
(II) 设函数可导,,写出的求导公式.
(20) (本题满分11分)
设矩阵,且.
(I) 求的值;
(II)若矩阵满足,其中为3阶单位矩阵,求.
(21) (本题满分11分)
设矩阵相似于矩阵.
(I)求的值;
(II)求可逆矩阵,使为对角矩阵.
(22)(本题满分11分)
设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.
(I) 求的概率分布;
(II) 求
(23)(本题满分11分)
设总体的概率密度为
其中为未知参数,为来自总体的简单随机样本.
(I) 求的矩估计量.
(II) 求的最大似然估计量.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)答案
(1) 【答案】(D)
【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.
【详解】数列收敛,那么它的任何无穷子数列均收敛,所以(A)与(C)正确;一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项,且这些子列均收敛于同一个值,则原数列是收敛的.(B)正确,(D)错,故选(D).
(2) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查曲线的拐点.
【详解】拐点出现在二阶导数等于零,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由的图形可得,曲线存在两个拐点.故选(C).
(3) 【答案】(B)
【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.
【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
所以,选(B).
(4) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.
【详解】选项(A),为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛;选项(B),为正项级数,因为,根据级数收敛准则,知收敛;
选项(C),,根据莱布尼茨判别法知收敛, 发散,所以根据级数收敛定义知,发散;
选项(D),为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛,所以选(C).
(5) 【答案】(D)
【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定
【详解】对增广矩阵进行初等行变换,得到
由,故或,同时或.故选(D).
(6) 【答案】(A)
【考查分析】本题考查二次型的正交变换.
【详解】由,故.且
.
所以.选(A).
(7) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查概率的性质.
【详解】由于,按概率的基本性质,我们有
且,
从而,选(C).
(8) 【答案】(B)
【考查分析】本题考查统计量的数字特征.
【详解】根据样本方差的性质,而,
从而,选(B).
(9) 【答案】
【考查分析】本题考查型未定式极限.
【详解】方法一:
方法二:
(10) 【答案】
【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.
【详解】因为连续,所以可导,所以;
因为,所以
又因为,所以
故
(11) 【答案】
【考查分析】本题考查隐函数的全微分.
【详解】当,时代入,得.
对两边求微分,得
把,,代入上式,得
所以
(12) 【答案】
【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.
【详解】的特征方程为,特征根为,,
所以该齐次微分方程的通解为,
因为可导,所以为驻点,
即,,所以,,
故
(13) 【答案】
【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.
【详解】的所有特征值为的所有特征值为
所以.
(14) 【答案】
【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.
【详解】由题设知,,且相互独立,从而
.
(15) 【答案】
【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.
【详解】方法一:
利用泰勒公式.
即
方法二:
利用洛必达法则.
因为分母的极限为,则分子的极限为,即
,分母的极限为,则分子的极限为,即
,则.
(16) 【答案】
【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.
【详解】
(17) 【答案】(I)略
(II) .
【考查分析】本题考查导数的经济应用.
【详解】(I)由于利润函数,两边对求导,得
.
当且仅当时,利润最大,又由于,所以,
故当时,利润最大.
23
(II)由于,则代入(I)中的定价模型,得
从而解得.
(18) 【答案】.
【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.
【详解】设在点处的切线方程为:
令,得到.
由题意,,即,
转化为一阶微分方程,
分离变量得到通解为:
,
已知,得到,因此;
即.
(19) 【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.
【详解】(I)
(II) 由题意得
(20) 【答案】
【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.
【详解】(I)
(II)由题意知
,
(21) 【答案】(I) .
(II)
,则.
【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.
【详解】(I) 则即.
即
整理得到
(II)
的特征值.
当时,的基础解系为
当时,的基础解系为
,则的特征值为.
令,则
.
(22) 【答案】(I) ,.
(II) .
【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.
【详解】(I) 记为观测值大于的概率,则.
的概率分布为
,
(II)
记,则
,
从而.
(23) 【答案】(I).
(II) .
【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.
【详解】(I) .
令,即,解得.
为的矩估计量,其中;
(II) 似然函数
当时,,
取对数,得到.
求导,得到 ,
则越大,似然函数越大,但是,
所以当时,似然函数最大.
为的最大似然估计量.
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