控制系统的状态空间表达式.ppt
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控制系统的状态空间表达式.ppt
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控制系统状态空间表达式基本概念状态空间表达式的建立状态空间表达式求传递函数矩阵离散系统的数学模型线性变换组合系统的数学描述基本概念基本概念状态状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。
动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。
这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
状态变量状态变量确定系统状态的最小一组变量,如果知道这些变量确定系统状态的最小一组变量,如果知道这些变量在任意初始时刻在任意初始时刻的值以及的值以及的系统输入,便能的系统输入,便能够完整地确定系统在任意时刻够完整地确定系统在任意时刻的状态。
(状态变量的选择的状态。
(状态变量的选择可以不同)可以不同)状态空间状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间,称为状态空间。
线性空间,称为状态空间。
状态方程状态方程描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。
描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。
输出方程输出方程描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。
描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。
系统的状态方程和输出方程总合,称为系统状态空间表达式,或系统的状态方程和输出方程总合,称为系统状态空间表达式,或称为系统动态方程,或称系统方程。
称为系统动态方程,或称系统方程。
基本概念基本概念例例:
如下图所示电路,:
如下图所示电路,为输入量,为输入量,为为输出量。
输出量。
建立方程:
建立方程:
初始条件:
初始条件:
和和可以表征该电路系统的行为,就是该系统的一可以表征该电路系统的行为,就是该系统的一组状态变量组状态变量前面电路的微分方程组可以改写如下,并且写成矩阵形式:
前面电路的微分方程组可以改写如下,并且写成矩阵形式:
基本概念基本概念基本概念基本概念设:
设:
则可以写成状态空间表达式:
则可以写成状态空间表达式:
推广到一般形式:
推广到一般形式:
A:
系统矩阵B:
输入(控制)矩阵C:
输出矩阵D:
直接传递矩阵基本概念基本概念基本概念基本概念如果矩阵如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时,则称这样的系中的所有元素都是实常数时,则称这样的系统为线性定常(统为线性定常(LTI,即:
,即:
LinearTime-Invariant)系统。
系统。
如果这些元素中有些是时间如果这些元素中有些是时间t的函数,则称系统为线性时变系统。
的函数,则称系统为线性时变系统。
基本概念基本概念状态变量的选取状态变量的选取
(1)状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
(2)状态变量选取的非惟一性)状态变量选取的非惟一性(3)系统状态变量的数目是惟一的)系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中,如果重新选择状态变量在前面的例子中,如果重新选择状态变量则其状态方程为则其状态方程为输出方程为:
输出方程为:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立三种途径:
三种途径:
由系统方块图建立由系统方块图建立首先将系统方块图转换为相应模拟结构图,然后直首先将系统方块图转换为相应模拟结构图,然后直接列写。
接列写。
由系统物理或电气特性出发进行推理由系统物理或电气特性出发进行推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立由系统物理或电气特性出发进行推理由系统物理或电气特性出发进行推理例例建立右图所示机械系统的状态空间表达式(注:
建立右图所示机械系统的状态空间表达式(注:
质量块质量块m的重量已经和弹簧的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消)的初始拉伸相抵消)根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律即:
即:
选择状态变量选择状态变量则:
则:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立机械系统的系统方程为机械系统的系统方程为该系统的状态图如下该系统的状态图如下状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立例例建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为电枢回路的电压方程为系统运动方程式为系统运动方程式为(式中,(式中,为电动势常数;为电动势常数;为转矩常数;为转矩常数;为为折合到电动机轴上的转动惯量;折合到电动机轴上的转动惯量;为折合到电动机轴上的粘为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
)性摩擦系数。
)可选择电枢电流可选择电枢电流和角速度和角速度为状态变量,电动为状态变量,电动机的电枢电压机的电枢电压为输入量,角速度为输入量,角速度为输出量。
为输出量。
状态空间表达式状态空间表达式状态图如图:
状态图如图:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立由系统高阶微分方程或传递函数演化推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理微分方程中不含有输入信号导数项微分方程中不含有输入信号导数项考察三阶系统,其微分方程为:
考察三阶系统,其微分方程为:
选取状态变量选取状态变量则有则有写成矩阵形式写成矩阵形式状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立状态图如下:
状态图如下:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立一般情况下,一般情况下,n阶微分方程为:
阶微分方程为:
选择状态变量如下:
选择状态变量如下:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立写成矩阵形式:
写成矩阵形式:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统的状态图如下:
系统的状态图如下:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立微分方程中含有输入信号导数项微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统,其微分方程为首先考察三阶系统,其微分方程为
(一)待定系数法
(一)待定系数法选择状态变量:
选择状态变量:
其中,待定系数为:
其中,待定系数为:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立于是于是写成矩阵形式写成矩阵形式状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统的状态图系统的状态图状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立一般情况下,一般情况下,n阶微分方程为:
阶微分方程为:
选择选择n个状态变量为个状态变量为状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统方程为系统方程为状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统状态图如下系统状态图如下状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立
(二)辅助变量法
(二)辅助变量法设设n阶微分方程为:
阶微分方程为:
Laplace变换,求传递函数变换,求传递函数引入辅助变量引入辅助变量z状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立返回到微分方程形式:
返回到微分方程形式:
以及以及选择状态变量如下:
选择状态变量如下:
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立注:
如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同,则有注:
如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同,则有d。
状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立例例已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。
试求系统的状态空间表达式。
解解
(1)待定系数法)待定系数法选择状态变量如下选择状态变量如下其中其中状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立
(2)辅助变量法)辅助变量法引入辅助变量引入辅助变量z选择状态变量选择状态变量于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵在初始松弛时(即:
初始条件为零)在初始松弛时(即:
初始条件为零),求,求Laplace变换,并且化简变换,并且化简状态变量对输入量状态变量对输入量(输入到状态输入到状态)的传递函数的传递函数输出量对输入量输出量对输入量(输入到输出输入到输出)的传递函数(即:
传递函数)的传递函数(即:
传递函数)单入单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为单出线性定常系统的状态空间表达式为状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵例例系统状态方程式为系统状态方程式为求系统传递函数。
求系统传递函数。
解解:
状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵多输入多输入-多输出系统多输出系统状态空间表达式为状态空间表达式为进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换如果如果存存在,则在,则如果如果,则,则状态变量对输入向量状态变量对输入向量(输入到状态输入到状态)的传递函数矩阵:
的传递函数矩阵:
状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵而而输出对输入向量输出对输入向量(输入到输出输入到输出)的传递函数矩阵:
的传递函数矩阵:
其结构为其结构为式中,式中,表示只有第表示只有第j个输入作用时,第个输入作用时,第i个输出量个输出量对第对第j个输入量个输入量的传递函数。
的传递函数。
状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵例例线性定常系统状态空间表达式为线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。
求系统的传递函数矩阵。
解解传递函数(矩阵)描述和状态空间描述的比较:
传递函数(矩阵)描述和状态空间描述的比较:
1)传递函数是系统在初始松弛的假定下输入)传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述,输出间的关系描述,非初始松弛系统,不能应用这种描述;状态空间表达式即可以描述非初始松弛系统,不能应用这种描述;状态空间表达式即可以描述初始松弛系统,也可以描述非初始松弛系统。
初始松弛系统,也可以描述非初始松弛系统。
2)传递函数仅适用于线性定常系统;而状态空间表达式可以在定)传递函数仅适用于线性定常系统;而状态空间表达式可以在定常系统中应用,也可以在时变系统中应用。
常系统中应用,也可以在时变系统中应用。
3)对于数学模型不明的线性定常系统,难以建立状态空间表达式;)对于数学模型不明的线性定常系统,难以建立状态空间表达式;用实验法获得频率特性,进而可以获得传递函数。
用实验法获得频率特性,进而可以获得传递函数。
4)传递函数仅适用于单入单出系统;状态空间表达式可用于多入)传递函数仅适用于单入单出系统;状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。
多出系统的描述。
5)传递函数只能给出系统的输出信息;而状态空间表达式不仅给)传递函数只能给出系统的输出信息;而状态空间表达式不仅给出输出信息,还能够提供系统内部状态信息。
出输出信息,还能够提供系统内部状态信息。
综上所示,传递函数(矩阵)和状态空间表达式这两种描述各综上所示,传递函数(矩阵)和状态空间表达式这两种描述各有所长,在系统分析和设计中都得到广泛应用。
有所长,在系统分析和设计中都得到广泛应用。
离散系统的数学模型离散系统的数学模型首先,考察三阶差分方程首先,考察三阶差分方程差分方程中不含有输入量差分项差分方程中不含有输入量差分项选取状态变量选取状态变量写成矩阵形式写成矩阵形式离散系统的数学模型离散系统的数学模型可以表示为可以表示为其中其中输出方程输出方程或者或者其中其中离散系统的数学模型离散系统的数学模型推广到推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统阶线性定常差分方程所描述的系统选取状态变量选取状态变量,系统状态方程系统状态方程输出方程输出方程线性变换线性变换状态变量的选取是非唯一的。
选择不同的状态变状态变量的选取是非唯一的。
选择不同的状态变量,则得到的状态空间表达式也不相同。
量,则得到的状态空间表达式也不相同。
由于它们都是同一个系统的状态空间描述,它们由于它们都是同一个系统的状态空间描述,它们之间必然存在某种关系。
这个关系就是矩阵中的线性之间必然存在某种关系。
这个关系就是矩阵中的线性变换关系。
变换关系。
求线性变换的目的:
将系统矩阵变成为标准形,便求线性变换的目的:
将系统矩阵变成为标准形,便于求解状态方程。
于求解状态方程。
线性变换线性变换线性定常系统线性定常系统
(1)为为n维状态向量;维状态向量;为为r维输入向量;维输入向量;为为m维输出向量;维输出向量;、为相应维数的矩阵。
为相应维数的矩阵。
引入非奇异变换矩阵引入非奇异变换矩阵P或者或者代入方程(代入方程
(1)其中其中线性变换线性变换于是,系统状态方程变为于是,系统状态方程变为
(2)方程(方程
(1)与方程
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- 控制系统 状态 空间 表达式